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Rendita finanziaria

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Unarendita finanziaria è una successione di importi, chiamaterate, da riscuotere (o da pagare) in epoche differenti, chiamate scadenze, a intervalli di tempo determinati.

Una rendita S è quindi individuata da tre argomenti:

$R_{k}\;$ : rata da riscuotere (o da pagare) alla scadenza $t_{k}\;$

$t_{k}\;$ : scadenza, cioè il momento all'interno del k-esimo intervallo in cui viene riscossa (o pagata) la rata $R_{k}\;$

$n\;$ : numero di rate totali

e si può indicare con $S=(R_{k},\;t_{k}\;)$ dove $k\;=0,1,2,...,n$

Classificazione delle rendite

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Una rendita può essere classificata in base alle caratteristiche dei suoi argomenti:

$\mathbf {n}$ :numerosità delle rate

Se n è un numero finito la rendita si chiamatemporanea
- Se n è stabilito a priori ed è indipendente da qualsiasi evento la rendita temporanea si dicecerta
- Se invece n non è stabilito a priori e dipende, ad esempio, dall'esistenza in vita di una persona si dicevitalizia

Se n è infinito la rendita si chiamaperpetua

$\mathbf {t_{k}}$ :periodicità e scadenza

Se le scadenze sono separate da un intervallo di tempo uguale la rendita èperiodica e la quantità $p\;=\;t_{k}\;-\;t_{k-1}$ corrisponde a un periodo:
- Se p = 1 mese la rendita è dettamensile, se p = 1 anno la rendita è dettaannuale, se p = 3 mesi la rendita è dettatrimestrale e così via.

Se la scadenza è fissata all'inizio di un intervallo di tempo la rendita èanticipata
Se la scadenza è fissata al termine di un intervallo la rendita èposticipata

$\mathbf {R_{k}}$ :decorrenza

Se la prima rata viene riscossa (o pagata) all'inizio la rendita è dettaimmediata.

Se la prima rata viene riscossa (o pagata) a cominciare da un certo istante $\;t_{p}$ successivo a $\;t_{0}$ , la rendita si dicedifferita di un periodo p.

Esempio:

È evidente che una rendita anticipata differita di un periodo p coincide con una rendita posticipata differita di un periodo p-1

Una rendita può essere infine arata costante se tutte le rate non nulle hanno lo stesso valore, oppure arata variabile se non hanno lo stesso valore

Valore di una rendita

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Il valore $\;V(t_{j})$ di una rendita finanziaria all'istante $\;t_{j}$ è la somma deimontanti delle rate con scadenze antecedenti a $\;t_{j}$ , dei valori attuali delle rate con scadenze successive a $\;t_{j}$ , ed eventualmente della rata $\;R_{j}$ con scadenza $\;t_{j}$

Nel caso più generale quindi:

$V(t_{j})=\sum _{k=0}^{j-1}R_{k}\;f(t_{j}\;-\;t_{k})\;+\;R_{j}\;+\sum _{k=j+1}^{n}R_{k}\;g(t_{k}\;-\;t_{j})$

dove

$f(t_{j}\;-\;t_{k})$ è ilfattore di montante e $g(t_{k}\;-\;t_{j})$ è ilfattore di sconto nel regime dicapitalizzazione prescelto.

Valore attuale di una rendita

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Ilvalore attuale di una rendita è il valore $\;V(t_{0})$ calcolato al tempo $\;t=t_{0}$ ed equivale alla somma dei valori attuali delle singole rate della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

Regime di capitalizzazione composta

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Nel caso di una rendita periodica posticipata immediata di n rate costanti, nel regime di sconto composto in cui il tasso di interesse, per un periodo $\;p=t_{k+1}-t_{k}$ , è $\;i$ , il fattore di sconto per un periodo p è

$g(t_{k}-t_{0})={\frac {1}{(1+i)^{k}}}$

quindi

$\;V(t_{0})=\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;g(t_{k}\;-\;t_{0})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;{\frac {1}{(1+i)^{k}}}$

essendo la rendita posticipata immediata e a rata costante: $\;R_{0}=0\quad$ e $\;R_{1}=R_{2}=...=R_{n}=R$

$\;V(t_{0})=R\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}$

osservando che

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}$ è unaserie geometrica di ragione $v={\frac {1}{(1+i)}}$

e sapendo che per una serie geometrica

$\sum _{k=1}^{n}v^{k}\;=\;v\;{\frac {1-v^{n}}{1-v}}\;=\;\left({\frac {1}{1+i}}\right)\;{\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{1-{\frac {1}{1+i}}}}\;=\;{\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{i}}=a_{n^{\urcorner }i}$

Si consideri infatti una rendita periodica posticipata din rate unitarie, quindi con $\;R=1$ ; il suo valore attuale si indica con $a_{n^{\urcorner }i}$ (da leggersi comea posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

$a_{n^{\urcorner }i}={\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{i}}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}$

quindi il valore attuale $\;V(t_{0})$ di una generica rendita din rate $\;R$ costanti eposticipate si può scrivere

$\;V(t_{0})=R\cdot {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}=R\cdot a_{n^{\urcorner }i}$

Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta conn pagamenti periodali anticipati; il suo valore attuale si indica con ${\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}$ (da leggersi comea anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

${\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}={\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{\frac {i}{1+i}}}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i(1+i)^{-1}}}={\frac {(1+i)[1-(1+i)^{-n}]}{i}}$

quindi il valore attuale $\;V(t_{0})$ della generica rendita din rate $\;R$ costanti eanticipate si può scrivere

$\;V(t_{0})=R\cdot {\frac {(1+i)[1-(1+i)^{-n}]}{i}}=R\cdot {\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}$

Formule ed esempi

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Valore attuale di una rendita posticipata a rate costanti al tasso i per n anni:

\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)={\frac {R\,\left(1-{\frac {1}{{\left(i+1\right)}^{n}}}\right)}{i}}

Ad esempio calcolare il valore attuale di una rendita posticipata di 900 euro annue, che dura 17 anni, al tasso 7,15%. Utilizzando il softwarewxMaxima si ha:

i:0.0715;n:17;R:900;V(t_0)=R*(1-(1+i)^-n)/i;(i)0.0715(n)17(R)900V(t_0)=8696.338623521242

Rata costante di una rendita posticipata per n anni al tasso i con valore attuale V(t_0):

R={\frac {i\,{{\left(i+1\right)}^{n}}\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n}}-1}}

Numero di rate di una rendita posticipata al tasso i con rata R e valore attuale V(t_0):

n={\frac {\log {\left({\frac {R}{R-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}}\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}

Tasso di interesse di una rendita posticipata con rata R e valore attuale V(t_0) per n anni:

Ad esempio il valore attuale, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata, di una rendita costituita da 9 rate, ciascuna di 300, è di 1929,868. Determinare quale tasso è stato usato per il calcolo del valore attuale. Utilizzando il softwarewxMaxima si ottiene un tasso del 7,3% :

V:1929.868;n:9;R:300;to_poly_solve([V=R*(1-(1+r)^-n)/r],[r]);%union([r=0.07300001206811242],[r=-0.7835774717891064*%i-0.9178453579311091],[r=-0.6467956796649063*%i-1.411920484012052],[r=-0.5890569779386072*%i-0.4132408829284167],[r=-0.2486807974679337*%i-1.715767757965928],[r=0.2486807974679337*%i-1.715767757965928],[r=0.5890569779386072*%i-0.4132408829284167],[r=0.6467956796649063*%i-1.411920484012052],[r=0.7835774717891064*%i-0.9178453579311091])

Valore attuale di una rendita anticipata a rate costanti:

\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)={\frac {R\,\left(i+1\right)\,\left(1-{\frac {1}{{\left(i+1\right)}^{n}}}\right)}{i}}

Ad esempio calcolare il valore attuale di una rendita annua, che ha 10 rate anticipate ciascuna di 1680 al 7%. Utilizzando il softwarewxMaxima si ha :

i:0.07;n:10;R:1680;V(t_0)=R*(1+i)*(1-(1+i)^-n)/i;(i)0.07(n)10(R)1680V(t_0)=12625.59017798044

Rata costante di una rendita anticipata per n anni al tasso i con valore attuale V(t_0):

R={\frac {i\,{{\left(i+1\right)}^{n}}\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n+1}}-i-1}}

Numero di rate di una rendita anticipata al tasso i con rata R e valore attuale V(t_0):

n={\frac {\log {\left({\frac {Ri}{-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)+Ri+R}}+{\frac {R}{-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)+Ri+R}}\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}

Montante di una rendita

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Il montante di una rendita è il valore $\;V(t_{n})$ calcolato al tempo $\;t=t_{n}$ ed equivale alla somma dei montanti delle singole rate calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

Regime di capitalizzazione composta

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Nel caso del montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate, nel regime a interesse composto in cui il tasso di interesse, per un periodo $\;p=t_{k+1}-t_{k}$ , è $\;i$ , il fattore di montante è

$\;f(t_{n}-t_{k})=(1+i)^{n-k}$

quindi

$\;V(t_{n})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;f(t_{n}\;-\;t_{k})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;(1+i)^{n-k}$

essendo la rendita anticipata immediata e a rata costante l'ultima rata viene pagata all'istante $t_{n-1}$ , quindi $\;R_{n}=0$ , e $\;R_{0}=R_{1}=R_{2}=...=R_{n-1}=R$

$V(t_{n})=\;R\;\left[(1+i)^{n}+(1+i)^{n-1}+....+(1+i)\right]\;=\;R\;\sum _{k=1}^{n}\;(1+i)^{k}$

osservando che

$\sum _{k=1}^{n}\;(1+i)^{k}$ è unaserie geometrica di ragione $\;r=(1+i)$

e sapendo che per una serie geometrica

$\sum _{k=1}^{n}r^{k}\;=\;r\;{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\;=\;(1+i){\frac {1-(1+i)^{n}}{1-(1+i)}}=\;(1+i){\frac {1-(1+i)^{n}}{-i}}=\;(1+i){\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}$

Si consideri infatti una rendita periodica anticipata di $\;n$ rate unitarie, quindi con $\;R=1$ ; il suo montante si indica con ${\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}$ (da leggersi comes anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

${\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{\frac {i}{1+i}}}=(1+i)\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\frac {(1+i)[(1+i)^{n}-1]}{i}}$

quindi il montante $\;V(t_{n})$ di una generica rendita di $\;n$ rate $\;R$ costanti eanticipate si può scrivere

$\;V(t_{n})=R\cdot {\frac {(1+i)[(1+i)^{n}-1]}{i}}=R\cdot {\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}$

Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con $\;n$ pagamenti periodali posticipati; il suo montante si indica con $s_{n^{\urcorner }i}$ (da leggersi comes posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

$s_{n^{\urcorner }i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$

quindi il montante $\;V(t_{n})$ della generica rendita di $\;n$ rate $\;R$ costanti eposticipate si può scrivere

$\;V(t_{n})=R\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=R\cdot s_{n^{\urcorner }i}$

Formule ed esempi

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Montante di una rendita posticipata a rate costanti al tasso i per n anni:

\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)={\frac {R\,\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}{i}}

Ad esempio calcolare il montante di una rendita posticipata di 225 euro annue, che dura 12 anni, al tasso 5,15%. Utilizzando il softwarewxMaxima si ha :

i:0.0515;n:12;R:225;V(t_n)=R*((1+i)^n-1)/i;(i)0.0515(n)12(R)225V(t_n)=3612.606469918203

Rata costante di una rendita posticipata per n anni al tasso i con montante V(t_n):

R={\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n}}-1}}

Numero di rate di una rendita posticipata al tasso i con rata R e montante V(t_n):

n={\frac {\log {\left({\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{R}}+1\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}

Tasso di interesse di una rendita posticipata con rata R e montante V(t_n) per n anni:

Ad esempio il montante, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata, di una rendita costituita da 12 rate, ciascuna di 225 euro, è di 3612,606. Determinare quale tasso è stato usato per il calcolo del montante. Utilizzando il softwarewxMaxima si ottiene un tasso del 5,15% ::

V:3612.606;n:12;R:225;to_poly_solve([V=R*((1+r)^n-1)/r],[r]);%union([r=0.05149997702944824],[r=-1.296632309996783*%i-1.253146252056517],[r=-1.205001868082515*%i-0.5451415647133405],[r=-0.9856479822954306*%i-1.908202369486541],[r=-0.7441198833435381*%i-0.0208893551040657],[r=-0.3668230430389623*%i-2.298370447418818],[r=0.3668230430389623*%i-2.298370447418818],[r=0.7441198833435381*%i-0.0208893551040657],[r=0.9856479822954306*%i-1.908202369486541],[r=1.205001868082515*%i-0.5451415647133405],[r=1.296632309996783*%i-1.253146252056517])

Montante di una rendita anticipata a rate costanti:

\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)={\frac {R\left(i+1\right)\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}{i}}

Ad esempio calcolare il montante di una rendita annua, che ha 13 rate anticipate ciascuna di 340 euro al 6%. Utilizzando il softwarewxMaxima si ha :

i:0.06;n:13;R:340;V(t_n)=R*(1+i)*((1+i)^n-1)/i;(i)0.06(n)13(R)340(%o12)V(t_n)=6805.12241594175

Rata costante di una rendita anticipata per n anni al tasso i con montante V(t_n):

R={\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{\left(i+1\right)\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}}

Valore attuale di una rendita con rate variabili

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Nelle sezioni precedenti si è visto che se i pagamenti sono periodici (annui, semestrali, ecc.) e le rate costanti è possibile ricavare formule in forma chiusa per il valore attuale e il montante di una rendita. Tuttavia, nella realtà, le rate possono variare. Se le rate sono variabili ma si ha periodicità delle scadenze e se le rate variano in modo "regolare", si possono ancora ricavare delle formule chiuse. Qui di seguito vengono proposti alcuni casi notevoli, nell'ipotesi di pagamenti annui posticipati.

Valore attuale di una rendita con rate variabili in progressione aritmetica

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Una rendita annua posticipata a rate variabili, con rate in progressione aritmetica di ragione $\Delta \in \mathbb {R}$ e prima rata $\displaystyle R$ (con la condizione che $R+(n-1)\Delta \geq 0$ ), ha valore attuale

$A:=Rv+(R+\Delta )v^{2}+\cdots +(R+(n-1)\Delta )v^{n}=\sum _{k=1}^{n}(R+(k-1)\Delta )v^{k}.$

dove $v={\frac {1}{1+i}}$ .

Allora si ha: $A=R(v+v^{2}+\cdots +v^{n})+\Delta (v^{2}+2v^{3}+\cdots +(n-1)v^{n}).$

La sommatoria tra parentesi del primo addendo è il valore attuale di una rendita annua unitaria posticipata che già conosciamo. Sviluppiamo la sommatoria tra parentesi del secondo addendo. Scriviamo:

$S=v^{2}+2v^{3}+\cdots +(n-1)v^{n}$