Ilrapporto incrementale di unafunzionereale di variabile reale${\displaystyle f}$ è un numero che, intuitivamente, misura "quanto velocemente" la funzione cresce o decresce al variare della coordinata indipendente attorno a un dato punto. Dal punto di vista geometrico, esso fornisce il valore delcoefficiente angolare di unaretta secante passante per il dato punto e un altro punto sul grafico della funzione. Il concetto di rapporto incrementale è strettamente legato alla nozione diderivata, e può essere definito per funzioni più generali, come lefunzioni a più variabili.

Sia${\displaystyle E\subset \mathbb{R}}$ un intervallo non vuoto e${\displaystyle f:E\to \mathbb{R}}$ una funzione reale nella variabile reale${\displaystyle x}$; si definisceincremento della funzione (o della variabile dipendente) attorno al punto di ascissa${\displaystyle x_0\in E}$ la quantità${\displaystyle \mathrm{\Delta }f(x_0):=f(x_0+h)-f(x_0)}$, per una fissata quantità${\displaystyle h}$ diversa da zero (e tale che${\displaystyle (x_0+h)\in E}$); si definisceincremento della variabile indipendente la corrispettiva quantità${\displaystyle \mathrm{\Delta }x:=(x_0+h)-x_0=h}$. Si definisce quindi rapporto incrementale della funzione attorno a${\displaystyle x_0}$ e rispetto all'incremento${\displaystyle h}$ il numero reale:

${\displaystyle R_f(x_0,h):=\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$,

cioè il rapporto degli incrementi.

Si parla di rapporto incrementale "destro" o "sinistro" quando si vuole evidenziare che si sta considerando un incremento (rispettivamente) positivo o negativo.

Come si può vedere in Figura 1,${\displaystyle R_f(x_0,h)}$ equivale alcoefficiente angolare dellaretta secante che interseca il grafico della funzione${\displaystyle f}$ nei punti di ascissa${\displaystyle x_0}$ e${\displaystyle x_0+h}$; l'equazione di tale retta è infatti:

${\displaystyle y=y(x)=f(x_0)+R_f(x_0,h)(x-x_0)}$.

Un modo equivalente di interpretare il rapporto incrementale è cometangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta secante con l'asse delle ascisse (misurato in maniera standard, cioè in senso antiorario); considerando il triangolo rettangolo di cateti${\displaystyle \mathrm{\Delta }f}$ e${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$, infatti, si può notare che la tangente in questione vale appunto${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}(x_0)}$.

Quando l'incremento${\displaystyle h}$ tende a${\displaystyle 0}$, la retta secante tende a coincidere con latangente al grafico della funzione nel punto${\displaystyle (x_0,f(x_0))}$, purché questa sia ivi sufficientemente regolare (esistono problemi nel definire la tangente al grafico della funzione qualora questa presentipunti di non derivabilità). Il rapporto incrementale tende contestualmente alladerivata prima di${\displaystyle f}$ nel punto${\displaystyle x_0}$:

${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x_0):=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$.

Per questo motivo, si definisce la retta tangente in${\displaystyle x_0}$ al grafico di${\displaystyle f}$ (ivi derivabile) la retta di equazione:

${\displaystyle y=y(x):=f(x_0)+f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)}$.

Particolarmente illuminante è l'analogia tra la notazione${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}(x_0)}$ per il rapporto incrementale e lanotazione di Leibniz per la derivata:

${\displaystyle \frac{df}{dx}(x_0)}$,

dove le${\displaystyle d}$ possono essere interpretate come gli "incrementi infinitesimi" delle variabili dipendente e indipendente^[1], ovvero come "limite" per${\displaystyle h\to 0}$ dei${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$, intesi comeoperatori. Questa analogia è ulteriormente sviluppata nel calcolo delle differenze, che mira a generalizzare ilcalcolo differenziale nel caso di incrementifiniti, anziché infinitesimi^[2].

La generalizzazione del concetto dirapporto incrementale viene effettuata in previsione della generalizzazione della nozione diderivata; pertanto, prendendo opportunamente il limite per l'incremento che tende a 0 delle seguenti definizioni generalizzate si ottengono, rispettivamente, laderivata vettoriale, laderivata olomorfa, laderivata direzionale.

Sia${\displaystyle \mathbf{f}:E\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^m}$ una funzione vettoriale nella variabile reale${\displaystyle x}$. Si definiscerapporto incrementale attorno a${\displaystyle x_0}$ rispetto all'incremento${\displaystyle h}$ ilvettore:

${\displaystyle {\mathbf{R}}_{\mathbf{f}}(x_0,h):=\frac{\mathbf{f}(x_0+h)-\mathbf{f}(x_0)}{h}}$;

in altre parole, esso è il vettore${\displaystyle {\mathbf{R}}_{\mathbf{f}}=\left(R_1,R_2,\cdots ,R_m\right)}$ la cui${\displaystyle i}$-esima componente è${\displaystyle R_{f_i}(x_0,h)}$, cioè il rapporto incrementale relativo all'${\displaystyle i}$-esima componente di${\displaystyle \mathbf{f}}$.

Lo stesso argomento in dettaglio:Funzione olomorfa.

Sia${\displaystyle f:\mathrm{\Omega }\subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}}$ unafunzione complessa nella variabilecomplessa${\displaystyle z}$. Si può definire ilrapporto incrementale attorno a${\displaystyle z_0}$ e rispetto all'incremento${\displaystyle h\in \mathbb{C}\setminus \{0\}}$ il numero (complesso):

${\displaystyle R_f(z_0,h):=\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}}$.

Dato l'isomorfismo tra lo spazio${\displaystyle \mathbb{C}}$ e${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$, questo caso può essere interpretato come caso particolare del prossimo paragrafo; tuttavia, per definire in modo soddisfacente la derivata è indispensabile aggiungere determinate condizioni volte a specificare la struttura complessa dello spazio in questione, la quale altrimenti andrebbe persa; ciò viene effettuato attraversoparticolari equazioni delle coordinate.

Sia${\displaystyle f:\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}}$ una funzione (reale, per semplicità) nella variabile vettoriale${\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}$. Si può definire un rapporto incrementale attorno a${\displaystyle {\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}}$ lungoqualunque direzione individuata da unversore${\displaystyle \mathbf{v}=\left(v_1,v_2,\cdots ,v_n\right)}$ (con${\displaystyle {\mathrm{\infty }}^{n-1}}$ gradi di libertà nella scelta della direzione^[3]). Si indichi con${\displaystyle \mathbf{h}:=t\mathbf{v}}$ l'incremento della variabile indipendente lungo tale direzione (per un fissato${\displaystyle t\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$). Allora si definiscerapporto incrementale attorno a${\displaystyle {\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}}$ lungo la direzione${\displaystyle \mathbf{v}}$ e relativamente all'incremento${\displaystyle t}$ la quantità (reale):

${\displaystyle R_f({\mathbf{x}}_{\mathbf{0}},\mathbf{h})=R_f({\mathbf{x}}_{\mathbf{0}},\mathbf{v},t):=\frac{f({\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}+\mathbf{h})-f({\mathbf{x}}_{\mathbf{0}})}{\Vert \mathbf{h}\Vert }=\frac{f({\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}+t\mathbf{v})-f({\mathbf{x}}_{\mathbf{0}})}{t}}$.

Affinché questo numero esista, è necessario richiedere che l'insieme di definizione di${\displaystyle f}$ contenga ilsegmento${\displaystyle [{\mathbf{x}}_{\mathbf{0}},{\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}+\mathbf{h}]}$. Ad esempio, si può richiedere che l'insieme${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ di definizione siaconvesso.

• Derivata
• Tangente (geometria)

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «rapporto incrementale»

• incrementale, rapporto, suTreccani.it – Enciclopedie on line,Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• rapporto incrementale, inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN)difference quotient, suEnciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein,Difference Quotient, suMathWorld, Wolfram Research.

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