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Potenziale vettore

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Incalcolo vettoriale ilpotenziale vettore è uncampo vettoriale il cuirotore è un dato campo vettoriale. È l'analogo delpotenziale scalare, che è uncampo scalare il cuigradiente è un dato campo vettoriale.

Definizione

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Dato uncampo vettorialeα:Ω2⊆R3⟶R3{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}:{\boldsymbol {\Omega }}_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}} di classeC1{\displaystyle C^{1}}, il potenziale vettore diα{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} è un campoβ2:Ω2⊆R3⟶R3{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}:{\boldsymbol {\Omega }}_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}} di classeC2{\displaystyle C^{2}} definito formalmente dalla relazione

α=∇×β2{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\nabla \times {\boldsymbol {\beta }}_{2}}

ovveroα{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} è ilrotore diβ2{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}}.

Poiché la divergenza di un rotore di un campoC2{\displaystyle C^{2}} è nulla,α{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} deve averedivergenza nulla, cioè:

∇⋅α=0{\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=0}

Esplicitando le componenti del rotore diβ2{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}} si ottiene il seguente sistema di 3funzioni a 3variabili con, quindi, 9 gradi di libertà:

{∂β2z∂y−∂β2y∂z=αx∂β2x∂z−∂β2z∂x=αy∂β2y∂x−∂β2x∂y=αz{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial \beta _{2z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \beta _{2y}}{\partial z}}=\alpha _{x}\\{\frac {\partial \beta _{2x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \beta _{2z}}{\partial x}}=\alpha _{y}\\{\frac {\partial \beta _{2y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \beta _{2x}}{\partial y}}=\alpha _{z}\end{matrix}}\right.}

doveαx,αy,αz{\displaystyle \alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z}} sono le tre componenti del campo.

Un ulteriore metodo di calcolo del potenziale vettore si può ottenere applicando ilteorema del rotore. Con un'opportuna scelta della superficie aperta, la cuitraccia èS{\displaystyle S}, ilflusso del campo è uguale al flusso delrotore

∫Sα⋅ d⁡s=∫S(∇×β2)⋅d⁡s=∮∂Sβ2⋅d⁡r{\displaystyle \int _{S}{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \ \operatorname {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {\beta }}_{2})\cdot \operatorname {d} {\boldsymbol {s}}=\oint _{\partial S}{\boldsymbol {\beta }}_{2}\cdot \operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}

dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che, per la definizione del potenziale, il flusso è uguale allacircuitazione diβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} lungo lafrontiera. Il potenziale vettore di un campo è definito a meno di ungradiente poiché ilrotore del gradiente di una funzione di classeC2{\displaystyle C^{2}} è sempre nullo. Siaβ2+∇β1{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}+\nabla \beta _{1}}, doveβ2{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}} è un potenziale vettore diα{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} eβ1{\displaystyle \beta _{1}} è unpotenziale scalare della secondaclasse di continuità. Applicando la definizione:

∇×(β2+∇β1)=∇×β2+∇×∇β1=α{\displaystyle \nabla \times ({\boldsymbol {\beta }}_{2}+\nabla \beta _{1})=\nabla \times {\boldsymbol {\beta }}_{2}+\nabla \times \nabla \beta _{1}={\boldsymbol {\alpha }}}

Si evince come∇β1{\displaystyle \nabla \beta _{1}} non influisca sulla definizione del potenziale vettore. Quest'ultima trasformazione è un esempio diinvarianza di gauge.

Esempi

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Potenziale magnetico

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Lo stesso argomento in dettaglio:Potenziale magnetico.

Il potenziale vettore del campo magnetico, indicato solitamente conA, è un campo vettoriale tale che il vettorecampo magneticoB sia uguale alrotore diA:[1]

B0(x,y,z)=∇×A0(x,y,z){\displaystyle \mathbf {B} _{0}(x,y,z)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}(x,y,z)}

Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitrariaV{\displaystyle V} (Trasformazione di Gauge). Infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:

∇×(A0+∇V)=∇×A0{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times (\mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } V)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}}

Applicando il rotore all'equazione del potenziale vettore si ottiene, sapendo che la divergenza di un campo solenoidale è nulla:

∇×B0=∇×∇×A0=∇(∇⋅A0)−∇2A0=−∇2A0{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} _{0})-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}=-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}}

e ricordando laLegge di Ampère si ha che:

∇×B0=−∇2A0=μ0ρEv{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}=-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}=\mu _{0}\rho _{E}\mathbf {v} }.

Questo implica che le componenti diA0{\displaystyle \mathbf {A} _{0}} verificano l'equazione di Poisson:[2]

{∇2A0x=−μ0ρEvx∇2A0y=−μ0ρEvy∇2A0z=−μ0ρEvz{\displaystyle {\begin{cases}\nabla ^{2}A_{0x}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{x}\\\nabla ^{2}A_{0y}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{y}\\\nabla ^{2}A_{0z}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{z}\end{cases}}}

La soluzione dell'equazione esiste ed è unica:[3]

A0(r)=μ04π∫V′ρEv(r′)|Δr|dV′{\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V'}{\frac {\rho _{E}\mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{|\Delta \mathbf {r} |}}dV'}

In particolare, per circuiti filiformi:

A0(r)=μ04πI∫l′dl′|Δr|{\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{l'}{\frac {d\mathbf {l} '}{|\Delta \mathbf {r} |}}}.

Potenziale vettore in fluidodinamica

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In fluidodinamica, la dinamica di unflusso incomprimibile (avente quindi divergenza nulla) può essere descritta introducendo un potenziale vettoreb→{\displaystyle {\vec {b}}}, tale per cui valganou→=∇×b→{\displaystyle {\vec {u}}=\nabla \times {\vec {b}}} eω→=−∇2b→{\displaystyle {\vec {\omega }}=-\nabla ^{2}{\vec {b}}}, in cuiu→{\displaystyle {\vec {u}}} è il campo di velocità eω→{\displaystyle {\vec {\omega }}} quello divorticità. Tale formulazione è utile nellesimulazioni numeriche, in quanto elimina la necessità di calcolare il campo di pressione.

Nel caso in cui il moto sia confinato in due dimensioni, l'unica componente non nulla del potenziale vettore (quella nella direzione perpendicolare al moto) costituisce la cosiddettafunzione di correnteψ{\displaystyle \psi }, ostream function, definita come:

ux=∂ψ∂y,uy=−∂ψ∂x.{\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}

L'equazione per la funzione di corrente (ottenuta partendo dall'equazione di Navier-Stokes incomprimibile, o anche dall'equazione della vorticità) è dunque:

∂∂t(∇2ψ)+∂ψ∂y∂∂x(∇2ψ)−∂ψ∂x∂∂y(∇2ψ)=ν∇4ψ.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi .}

Nel caso il flusso sia contemporaneamenteirrotazionale e incomprimibile, la funzione di corrente dovrà soddisfare l'equazione di Laplace∇2ψ=0{\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0} , e soprattuttopotenzialeϕ{\displaystyle \phi } e stream function saranno legati dallecondizioni di Cauchy-Riemann:

ux=∂ϕ∂x=∂ψ∂y,uy=∂ϕ∂y=−∂ψ∂x{\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad u_{y}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}

ciò implica la possibilità di utilizzare la teoria dellefunzioni olomorfe per trovare una soluzione analitica all'equazione di Laplace∇2w=0{\displaystyle \nabla ^{2}w=0}, in cuiw{\displaystyle w} è unpotenziale complesso definito comew=ϕ+iψ{\displaystyle w=\phi +i\psi }.

Note

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  1. ^Mencuccini, Silvestrini, Pag. 273.
  2. ^Mencuccini, Silvestrini, Pag. 274.
  3. ^Mencuccini, Silvestrini, Pag. 260.

Bibliografia

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Voci correlate

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Controllo di autoritàThesaurus BNCF22345 ·GND(DE) 4279475-4
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