In geometria, lapodaria di uncurva rispetto ad unpunto${\displaystyle P}$ dettopolo è illuogo geometrico formato dalleproiezioni di${\displaystyle P}$ sullerette tangenti alla curva; tali proiezioni sono anche i piedi dellenormali alle rette tangenti alla curva passanti per il polo stesso (da cui il termine podaria). La curva originaria è detta ancheantipodaria.

Siano date leequazioni parametriche della curva${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$:

dove${\displaystyle f}$ e${\displaystyle g}$ sono duefunzioni derivabili su unintervallo${\displaystyle I\in \mathbb{R}}$. La tangente di${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ nel suo punto${\displaystyle \left(f(t),g(t)\right)}$ ha equazione

${\displaystyle y-g(t)=\frac{g^{\mathrm{\prime }}(t)}{f^{\mathrm{\prime }}(t)}\left(x-f(t)\right).}$

La proiezione di${\displaystyle P\left(x_0,y_0\right)}$ sulla tangente si trova sulla retta perpendicolare a questa e passante per${\displaystyle P}$:

${\displaystyle y-y_0=-\frac{f^{\mathrm{\prime }}(t)}{g^{\mathrm{\prime }}(t)}\left(x-x_0\right).}$

Intersecando queste due rette si ottiene il generico punto della podaria, che ha le seguenti equazioni parametriche:

Utilizzando l'equazione sopra descritta si possono calcolare alcuni casi significativi di podaria.

La podaria di una circonferenza è lalumaca di Pascal.

Per dimostrarlo, si considera una circonferenza passante per l'origine di raggio 1 ecentro nel punto${\displaystyle (1,0)}$, di equazioni parametriche:

Possiamo limitarci a considerare i poli${\displaystyle P(a,0)}$, posti sull'asse delle ascisse, con${\displaystyle a\le 1}$. Le equazioni della podaria sono allora:

I casi possibili sono:

• ${\displaystyle P}$ è il centro della circonferenza: la podaria è la circonferenza stessa;
• ${\displaystyle P}$ è interno alla circonferenza: la podaria è senza nodi; se P dista dal centro meno di metà raggio, la podaria racchiude una regione convessa, altrimenti una regione concava;
• ${\displaystyle P}$ è sulla circonferenza: la podaria è unacardioide;
• ${\displaystyle P}$ è esterno alla circonferenza: la podaria è una curva intrecciata.

Consideriamo la parabola di equazione${\displaystyle y=x^2}$; le sue equazioni parametriche sono${\displaystyle x=t}$ e${\displaystyle y=t^2}$; dalla formula generale si ricavano le equazioni della podaria per un polo${\displaystyle P(0,a)}$ che giace sull'asse della parabola:

Alcune podarie notevoli sono:

• ${\displaystyle a=1/4}$: il polo coincide con il fuoco della parabola; la podaria è l'asse delle ascisse;
• ${\displaystyle a=0}$: il polo coincide con il vertice della parabola; la podaria è unacissoide di Diocle;
• ${\displaystyle a=-3/4}$: il polo è il simmetrico del fuoco rispetti alla direttrice; la podaria è latrisettrice di Mac Laurin.

• Evoluta di una curva

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file suPodaria

• (ES)Costruzione della podaria di una circonferenza, sumatematicas.net(archiviato dall'url originale il 10 marzo 2007).
• Una applet interattiva sulla podaria della parabola, suxoomer.alice.it.

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