Inlogica, ilparadosso del mentitore (più propriamenteantinomia del mentitore) è descritto come: data unaproposizione autonegante come "Questa frase è falsa", nessuno riuscirà mai a dimostrare se tale affermazione siavera o falsa;
se infatti fosse vera, allora la frase non sarebbe veramente falsa (la verità della proposizione non invalida la falsità espressa nel contenuto della proposizione).
se invece la proposizione fosse falsa, allora il contenuto si capovolgerebbe (è come se dicesse "Questa frase è vera") quando abbiamo appena affermato il contrario.
Se assumiamo che l'affermazione sia vera, allora sarebbe vero che Epimenide, in quanto cretese, è un bugiardo. Ma allora la sua affermazione «i Cretesi sono sempre bugiardi» non sarebbe vera ed otterremmo una contraddizione. Se invece assumiamo che l'affermazione sia falsa, allora sarebbe vera la negazione di «i Cretesi sono sempre bugiardi», cioè sarebbe vero che alcuni cretesi dicono la verità e alcuni mentono. In questo caso non vi sarebbe alcuna contraddizione e potremmo identificare Epimenide come uno dei cretesi che mentono. Per quanto argomentato nel caso precedente, non può infatti esser vero che Epimenide dica la verità.
Diogene Laerzio[2] ha attribuito l'ideazione del paradosso al filosofomegaricoEubulide di Mileto (IV secolo a.C.), il quale riformulò l'affermazione di Epimenide dicendo ψευδόμενος (pseudòmenos), «io sto mentendo». Da notare in primo luogo che la frase è «io sto mentendo», e non «io sono bugiardo», nel senso che «quello che sto dicendo in questo momento è una menzogna».
Con Eubulide si ripropone lo stesso dilemma di Epimenide: può essere vera la frase di uno che afferma «io sto dicendo il falso»? La frase di Eubulide non può essere vera, ma non può essere neanche falsa, perché c'è un elemento nuovo rispetto a «tutti i Cretesi mentono»: l'autoriferimento: Eubulide sta parlando di se stesso, cioè sta affermando di se stesso che mente, e questo non può essere né vero né falso.
Il paradosso del mentitore: elaborazioni successive
Dal paradosso del mentitore sono derivate elaborazioni diversificate di molti autori attraverso i secoli, e anche attualmente l'argomento è assai discusso.
Tra le più note riformulazioni del paradosso del mentitore vi sono:
è possibile giurare di rompere il giuramento che si sta prestando?
è possibile ordinare di disobbedire all'ordine che si sta impartendo?
quella diDiogene Laerzio (II secolo d.C.): un coccodrillo gigante ghermisce un bambino che gioca sulle rive del Nilo; la madre del piccolo implora il coccodrillo di restituirle il figlio, ma il coccodrillo fa la seguente proposta: "Se indovini quello che farò, ti restituirò il bambino. Altrimenti lo mangerò". La madre allora dice al coccodrillo: "Mangerai il piccolo". Se la madre ha detto il vero, se ha cioè indovinato che il coccodrillo mangerà il bambino, allora in questo caso il coccodrillo deve restituire il bimbo. Ma se il coccodrillo restituisce il bimbo, significherebbe che non lo ha mangiato, e quindi la donna non avrebbe indovinato e non potrebbe riavere il figlio. Risultato: in tutti i casi, se la madre dice "tu lo mangerai", non potrà mai riavere il piccolo se il coccodrillo mantiene la promessa. Né il coccodrillo può mangiarlo.
quella diGiovanni Buridano, o meglio Jean Buridan, filosofo francese morto aParigi circa nel1361. Fino a quell'epoca, durante laScolastica, si era sempre pensato che i problemi logici derivanti dal paradosso del mentitore derivassero dal carattere diautoreferenza. Buridano dimostrò che il problema non era l'autoreferenza, ma il riferimento reciproco, detto circolare, elaborando un paradosso nel quale l'autoriferimento era per così dire spezzato in due. Egli immaginò due protagonisti,Socrate ePlatone, ciascuno dei quali pronuncia una sola frase. Socrate dice "Platone dice il falso"; Platone dice "Socrate dice il vero". Vista isolatamente, ciascuna delle due frasi non è affatto paradossale, ma la loro congiunzione lo diventa. Se Socrate dice effettivamente il vero, allora Platone mente davvero e di conseguenza (contraddicendo alla premessa) Socrate dice il falso. Non è possibile sostenere che la frase di Socrate sia vera e poi arrivare alla conclusione che è falsa.
quella elaborata daMiguel de Cervantes nel Don Chisciotte (1615), dove si narrava di Sancio Panza che divenne governatore di Barataria e si trovò a dover decidere sul caso accaduto a dei giudici, incaricati di impiccare tutti coloro che mentivano circa il motivo per cui volevano oltrepassare un ponte. I giudici raccontarono che un giorno era arrivato un tale a cui fu domandato perché voleva passare il ponte. A questa domanda, il tale "giurò che passava e andava a morire su quelle forche ch'erano ivi alzate".[3] Se fosse vero che costui voleva farsi impiccare, allora aveva detto la verità e quindi non doveva essere impiccato. Se stesse mentendo, e poi fosse stato impiccato, avrebbe detto la verità e avrebbe dovuto essere lasciato libero.
quella diPhilip Jourdain, che nel1913riformulò il paradosso di Buridano, il cui punto chiave è la referenzialità circolare, eliminando il riferimento a personaggi celebri, ponendo semplicemente due affermazioni: "la frase seguente è falsa" e "la frase precedente è vera".
quella diKurt Gödel, che sostituisce la proposizione "quest'affermazione è falsa" con "quest'affermazione non è dimostrabile", e che è alla base dei suoi dueTeoremi di incompletezza.
quella di Stephen Yablo, che nel1993riformulò ilparadosso di Buridano-Jourdain eliminando la richiesta che la referenzialità sia circolare usando una lista di enunciati infiniti numerabili; paradossi che usano la referenzialità come questo vengono detti anche "rettilinei", in opposizione ai paradossi che usano il riferimento circolare.
La soluzione data daCrisippo dice semplicemente che il paradosso è il rovesciamento del buon senso: ci sono frasi delle quali «non si deve dire che esse dicono il vero e (neppure) il falso; né si deve congetturare in un altro modo, cioè che lo stesso (enunciato) esprima simultaneamente il vero e il falso, bensì che esse sono completamente prive di significato».
La soluzione prospettata daAristotele è la seguente: le frasi paradossali si fondano sulla confusione trauso emenzione. Quando si dice "io sto mentendo", si stausando la frase, nel senso che si tratta di un paradosso di tipo autoreferenziale, catalogato tra gliinsolubilia; chi enuncia una fraseinsolubile, non dice letteralmente nulla e pertanto la proposizione (o meglio, la pseudoproposizione) deve essere semplicementecassata.
NelMedioevo, una proposta di soluzione fu avanzata daGuglielmo di Ockham (1285-1347). Dal momento che lacassatio di Aristotele non forniva una soluzione concreta, egli introdusse la distinzione tralinguaggio emetalinguaggio. Solo le frasi autoreferenziali mescolano i due livelli in uno solo, perché dire "io sto mentendo" è una frase che si pone nel metalinguaggio (per quanto riguarda il verbo mentire, il cui concetto trova spiegazione non nella frase stessa ma in un altro livello), ma è espressa mediante il linguaggio.
La proposta di soluzione di Buridano fu dettata dall'intuizione dellalogica temporale: un'affermazione non è vera o falsa in assoluto, ma solo relativamente a un certo momento storico. Mentre non è possibile che una frase sia vera o falsa nello stesso tempo, essa può esserlo in tempi diversi: Basterebbe dire "Platone dirà il falso quando pronuncerà la prossima frase" e "Socrate disse il vero quando pronunciò la frase precedente".
Nelle logiche non classiche in cui non vale ilprincipio di non-contraddizione, le proposizioni come quelle del mentitore non generano alcun paradosso. Per esempio nellalogica sfumata, dove ilvalore di verità può variare tra 0 e 1, tali frasi hanno un valore di verità pari a 0,5.
