I numeri razionali formano uncampo, indicato con il simbolo, che sta perquoziente, usato per la prima volta nel 1895 dal matematico italianoGiuseppe Peano. In gran parte dell'analisi matematica, i numeri razionali sono visti come particolarinumeri reali, nel senso che esiste unisomorfismo tra i numeri reali dotati di parte decimale finita o periodica e i numeri razionali, il quale preserva la struttura di come(sotto)-campo di; i numeri reali che non sono razionali sono dettiirrazionali. Ad esempio, sono irrazionali i seguenti:
,,.
Nessuno di questi numeri può infatti essere descritto come rapporto di due numeri interi. I numeri e indicano rispettivamente lacostante di Nepero epi greco.
Mentre oggi, spesso, l'insieme dei numeri razionali è visto come sottoinsieme di quello deinumeri reali, storicamente e naturalmente i razionali sono stati introdotti prima dei reali, per permettere l'operazione didivisione franumeri interi. I numeri reali si possono introdurre servendosi dei numeri razionali in vari modi: mediante lesezioni di Dedekind, con unacostruzione tramite successioni di Cauchy, con serie convergenti di numeri razionali.
Infisica, il risultato di una misurazione è solitamente esprimibile come numero razionale, dipendente dalla precisione dello strumento.
I numeri razionali (positivi[1]) furono il primo tipo di numeri, dopo inaturali (ossia gli interi positivi), ad essere riconosciuti come numeri e ad essere comunemente usati in matematica.
Gli antichiEgizi li usavano scomponendoli come somme di frazioni dal numeratore unitario (ancora oggi chiamatefrazioni egiziane), rappresentandoli ponendo un simbolo sopra la rappresentazione dell'intero corrispondente; i Babilonesi usavano invece una scrittura posizionale (come per gli interi) abase sessagesimale.
Pitagora e ipitagorici basavano la loro concezione del mondo sui rapporti tra numeri interi, ovvero sui numeri razionali, e pensavano che ogni cosa esistente al mondo potesse essere ridotta a tali numeri: la loro scoperta dell'irrazionalità dellaradice quadrata di due distrusse questa concezione. Lo stesso concetto di "rapporto" non è del tutto chiaro nemmeno negliElementi diEuclide, dove l'intero quinto libro è dedicato alla teoria delle proporzioni. Secondo le sue definizioni, un rapporto è un "tipo di relazione dimensionale tra due grandezze dello stesso tipo"[2], mentre due grandezze possono essere poste in rapporto se "esiste un multiplo intero della prima che supera l'altro"[3] (definizione dovuta probabilmente aEudosso, che ricalca quello che viene oggi chiamatoassioma di Archimede). L'uguaglianza di rapporti implica un'altra definizione complicata: in notazione moderna, equivale a dire che se e solo se, dati due numerim edn, si ha che
ma <nb implicamc <nd;
ma =nb implicamc =nd;
ma >nb implicamc >nd.
La definizione digrandezze commensurabili è invece la prima del libro X, e stabilisce che queste sono le grandezze che hanno una misura comune, ovvero sono multipli interi dello stesso numero.
La notazione decimale dei numeri fu introdotta daStevino verso la fine del XVI secolo, sebbene lui non accettasse sviluppo decimali che non si concludessero, lasciando fuori così un gran numero di razionali. Più tardiClavius eNepero eliminarono questa limitazione.
Il terminerazionale deriva dallatinoratio, nel suo significato dirapporto.
Molte entità e strutture matematiche, come ipolinomi o glispazi vettoriali, nella loro definizione fanno riferimento ad uncampo; l'aggettivo "razionale" attribuito ad una di queste entità è spesso usato per specificare che il campo scelto è quello dei numeri razionali. Per esempio si dice polinomio razionale ogni polinomio i cui coefficienti sono solo numeri razionali.
Va rilevato che sono detteoperazioni razionali le quattro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione definite su strutture algebriche come i campi o glianelli. Ne consegue che in vari casi l'aggettivo "razionale" riguarda entità ottenibili servendosi delle quattro operazioni razionali a partire da certi oggetti di base. Ad esempio si diconofunzioni razionali (in una o più variabili) le funzioni ottenibili componendo con operazioni razionali la variabile o le variabili e gli elementi di un campo.
Costruzione dei numeri razionali: ogni classe di equivalenza può essere rappresentata come una retta passante per l'origine, che passa per ogni coppia ordinata che rappresenta quel numero razionale.
Da un punto di vista formale, non è possibile definire i numeri razionali semplicemente come coppie di numeri interi (cioè come l'insieme delle frazioni del tipo), perché in questo caso, ad esempio, le coppie (3,2) e (6,4) sarebbero numeri diversi, mentre tra i razionali vale l'uguaglianza
L'addizione e la moltiplicazione di numeri razionali sono definite come
Si verifica che entrambe le operazioni così definite sono compatibili con la relazione di equivalenza: il loro risultato, infatti, non dipende dalle particolari coppie ordinate scelte per indicare i numeri razionali da sommare o moltiplicare. L'insieme quoziente di questa relazione è quindiQ.
Si noti che le operazioni ora definite non sono altro che la formalizzazione delle consuete operazioni trafrazioni:
Con le operazioni di cui sopra, risulta un campo, ove la classe di gioca il ruolo dello zero, e la classe di quello di uno. L'opposto della classe di è la classe di. Inoltre, se, ovvero la classe di è diversa da zero, allora la classe di è invertibile, ed ha per inverso la classe di.
La classe di equivalenza corrisponde all'esistenza di più rappresentazioni come frazione dello stesso numero razionale:
per ognik intero non nullo.
Possiamo definire anche unordine totale suQ nel modo seguente:
Come tutti inumeri reali, i numeri razionali possono essere rappresentati tramite ilsistema numerico decimale. Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essereperiodico: un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre (dettaperiodo) che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola.[4]
Si può facilmente dimostrare che nessun numero razionale, nel suo sviluppo decimale in base 10, può ammettere periodo 9.
Ad esempio:
(si ripete il periodo "3" all'infinito)
Un numero razionale può essere descritto quindi "soprallineando" il periodo, come in questi esempi.
Questa equivalenza tra razionali e numeri periodici implica che nessun numero razionale ènormale in una qualunque base. Può essere usata anche per dimostrare l'irrazionalità di molti numeri: ad esempio
dove ogni 1 è separato da una sequenza di zeri di lunghezza crescente, è irrazionale in qualsiasi base, in quanto, se fosse razionale, il suo periodo conterrebbe una sequenza finita di zeri separati da 1. Tuttavia nell'espansione possono essere trovati gruppi di zeri di qualsiasi lunghezza, e quindi un periodo di tal genere non può esistere. Con metodi simili si può dimostrare che lacostante di Copeland-Erdősformata, in base dieci, dalla giustapposizione deinumeri primi, è irrazionale.
Questa tecnica è tuttavia inutile per provare l'irrazionalità di numeri non definiti in base alla loro espansione decimale, come epi greco.
I numeri razionali hanno una rappresentazione infrazione continua semplice finita, e sono gli unici a possedere questa proprietà. Inoltre sono gli unici in cui la rappresentazione non è unica, ma doppia: ad esempio
L'unico sottocampo del campo dei numeri razionali è se stesso. Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1. Lacaratteristica del campo è 0; si può dimostrare inoltre che ogni campo con caratteristica 0 contiene unsottocampoisomorfo ai numeri razionali, e quindi che ogni campo di questo tipo può essere considerato come un'estensione dei razionali. In particolare, i razionali ne formano ilsottocampo fondamentale.
Schema che illustra la dimostrazione di Cantor: le frazioni in rosso sono quelle che non rappresentano nuovi numeri razionali.
ènumerabile, cioè esiste unacorrispondenza biunivoca tra i razionali e i numeri naturali. Questo risultato, apparentemente paradossale (è naturale, infatti, pensare che le frazioni siano "molte di più" degli interi), è stato dimostrato daGeorg Cantor. Il suo ragionamento si basa sul diagramma a fianco: possiamo infatti ordinare i razionali positivi, seguendo le frecce, in modo che ad ognuno di essi sia assegnato un numero naturale[5]; anzi, ogni numero sarà contato infinite volte (perché ognuno ha un'infinità di rappresentazioni diverse), ma questo non può rendere l'insieme più grande. Lo stesso argomento può essere usato per dimostrare che i razionali negativi sono numerabili. Poiché l'unione di due insiemi numerabili è ancora numerabile, risulta essere numerabile.
Al contrario, l'insieme dei numeri reali non è numerabile, e quindi "quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali. Questo implica che, sebbene siadenso in, abbiamisura di Lebesgue nulla.
L'anello deipolinomi a coefficienti razionali si indica con. Al contrario dei polinomi a coefficienti reali ocomplessi, non esiste un criterio semplice per individuare l'eventualeirriducibilità di un polinomio a coefficienti razionali.
La maggior parte dei criteri usati si basano sullemma di Gauss, il quale afferma che un polinomio a coefficienti interi èriducibile nell'anello se e solo se è riducibile in fattori di grado maggiore di 0 nell'anello dei polinomi a coefficienti interi. Poiché ogni polinomio a coefficienti razionali può essere trasformato in uno a coefficienti interi moltiplicando per ilmassimo comun divisore dei denominatori senza cambiare la sua irriducibilità, questo lemma permette di applicare ai polinomi a coefficienti razionali alcuni criteri, come ilcriterio di Eisenstein, che si applicano sui polinomi a coefficienti interi.
In particolare, questo criterio permette di costruire polinomi irriducibili di qualunque grado: ad esempio
è irriducibile. Questo non avviene negli anelli di polinomi a coefficienti reali o complessi: nel primo caso i polinomi irriducibili possono essere solamente di primo o di secondo grado, mentre nel caso complesso, in conseguenza delteorema fondamentale dell'algebra, ogni polinomio si scompone in fattori di primo grado.
Al contrario di quanto avviene con leradici reali (o complesse), esiste unalgoritmo molto veloce per stabilire quali siano (se esistono) gli zeri razionali di un polinomio (a coefficienti interi, forma a cui può essere ridotto ogni polinomio a coefficienti razionali). Ilteorema delle radici razionali afferma infatti che, se
con gli interi, allora, nelle eventuali radici razionalip/q,p è un divisore di eq di. Poiché i divisori di questi due numeri sono in numero finito, sarà sufficiente, per ilteorema del resto, controllare se per ogni coppia di divisori si ha P(p/q)=0 (nel qual casop/q è una radice) oppure no.
Irazionali complessi, orazionali gaussiani per analogia con gliinteri gaussiani, sono queinumeri complessi nella formaa+ib, dovea eb sono razionali ei rappresenta l'unità immaginaria. L'insieme dei razionali gaussiani forma un campo, che è ilcampo dei quozienti dell'anello degli interi gaussiani.
Tale insieme si denota generalmente con, cioè il più piccolo campo contenente i razionali e l'unità immaginariai.
Poiché i razionali sonodensi in, possono essere usati perapprossimare i numeri reali. Il primo risultato ad essere dimostrato è che per ogniirrazionale esistono infiniti razionalip/q tali che
Un risultato importante è il teorema di Liouville, dimostrato nel 1844 daJoseph Liouville: esso asserisce che se è unnumero algebrico di gradon, allora esiste una costantec>0 tale che
per ogni razionalep/q. Da questo Liouville riuscì a costruire i primi esempi dinumeri trascendenti (detti ogginumeri di Liouville), mostrando che per questi esistevano delle successioni di razionali che rendevano impossibile l'esistenza di un talec.
Nel 1955Klaus Roth dimostrò[6] che per ogni algebrico e per ogni la disuguaglianza
può avere solamente un numero finito di soluzioni in cuip eq sonointeri coprimi. Tale risultato migliorava quelli ottenuti in precedenza daAxel Thue eCarl Ludwig Siegel.
↑Inumeri negativi erano ritenuti nell'antichità "assurdi", così come le equazioni che li avevano per soluzioni. Di conseguenza, l'uso dei numeri razionali era limitato alle quantità positive.
↑Nel calcolo delle cifre decimali del quoziente fra numeri interi, si può arrivare a un resto nullo (nel qual caso il calcolo si interrompe, e il quoziente risulta essere decimale limitato), oppure si continuerà sempre ad avere un resto maggiore di zero e minore del divisore. Quando nel calcolo delle singole cifre decimali si trova un resto già trovato in precedenza, da lì in poi parte una nuova serie di cifre/resti identica alla serie di cifre/resti che iniziava al ritrovamento precedente dello stesso resto: la lunghezza del periodo sarà quindi sempre compresa fra 1 e il divisore ridotto di un'unità (es. 1/3=0,333... in cui ogni cifra decimale del quoziente è 3 mentre il resto vale sempre e solo 1; e 1/7=0,142857... in cui il calcolo presenta un ciclo che comprende tutti i resti possibili, da 1 a 6). Ecco quindi esclusa la possibilità che la rappresentazione decimale di un numero razionale possa avere uno sviluppo infinito non periodico.
↑Ad esempio, la funzione data da assegna un numero diverso a elementi diversi di una tabella, le cui coordinate sono (n,m). Intuitivamente, questa funzione "percorre" le diagonali della tabella, partendo dal vertice in alto a sinistra.
↑K. F. Roth,Rational approximations to algebraic numbers andCorrigendum, Mathematika,2, pages 1-20 and 168 (1955)
