Nel 1998, all'età di diciassette anni, conquistò iltitolo nazionale su strada Under-19 e il titolo nazionale di mountain bike. Negli ultimi mesi del 2001 gareggiò quindi da stagista su strada con laFassa Bortolo diGiancarlo Ferretti, ma, nonostante il quarto posto allaSter Elektrotoer neiPaesi Bassi, non ottenne il contratto da professionista per l'anno successivo.
Lasciata la Phonak si trasferì tra le file dellaLiquigas-Bianchi, squadra italiana con la quale, nel 2005, conquistò il primo successo fra i professionisti, la quinta tappa delTour de Suisse. Malgrado un terzo posto alGrand Prix de Fourmies 2006, una vittoria di tappa alCircuit de la Sarthe 2007 – che concluse al quinto posto della classifica generale – e ancora un quarto posto aicampionati svizzeri nello stesso anno, Albasini tardò a confermarsi. Sempre nel 2007 andò comunque vicino ad una vittoria di tappa alTour de France, piazzandosi terzo, dopo una lunga fuga, nella frazione con arrivo aMarsiglia vinta daCédric Vasseur.
Nel 2012 viene messo sotto contratto dalla neonata formazione australianaGreenEDGE. In marzo, dopo aver conseguito due vittorie di tappa consecutive, si aggiudica la classifica generale dellaVolta Ciclista a Catalunya, prova valida per l'UCI World Tour; in aprile è invece secondo allaFreccia Vallone, preceduto dal soloJoaquim Rodríguez. Nello stesso anno si aggiudica anche la penultima tappa delTour de Suisse (terza in carriera per lui).
Negli anni successivi continua a correre per la stessa squadra, che cambia sponsor diventando Orica. Nel2014 ottiene la sua prima vittoria inItalia, vincendo laTre Valli Varesine al termine di una volata tra una decina di corridori, davanti aSonny Colbrelli eFilippo Pozzato. In stagione aveva già vinto tre tappe alTour de Romandie, vestendo per un giorno la maglia dileader.
Nel 2017 si prepara specificamente per le classiche del nord piazzandosi dapprima al terzo posto all'Amstel Gold Race: non riesce a rispondere all'attacco decisivo diPhilippe Gilbert eMichał Kwiatkowski ma poi si impone nella volata a quattro per il terzo posto. Successivamente si piazza quinto allaFreccia Vallone e settimo allaLiegi-Bastogne-Liegi. Pochi giorni dopo la Liegi si impone nuovamente in una tappa delTour de Romandie, per la settima volta in carriera, vincendo una voltata di una cinquantina di corridori sul pedalabile arrivo in salita diChampéry.[1]
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