Inmatematica, larappresentazione spettrale dei segnali è una descrizione formale deisegnali (funzioni nel tempo) neldominio della frequenza, cioè in termini della lorofrequenza, che viene utilizzata in molti ambiti della scienza, come l'ingegneria e lafisica. In tale descrizione ogni frequenza di cui è composto un segnale è dettaarmonica, e da un punto di vista matematico ad ogni armonica si fa corrispondere un vettore di unabase di unospazio vettoriale infinito-dimensionale conprodotto interno (prodotto scalare) sul campo complesso, ovvero la base di unospazio di Hilbert. Il segnale viene allora scritto come unacombinazione lineare in tale spazio. L'analisi in frequenza del comportamento di unsistema dinamico è dettarisposta in frequenza del sistema dinamico.

Lo stesso argomento in dettaglio:Spazio di Hilbert.

Uno spazio di Hilbert è unospazio vettoriale conprodotto scalare sulcamporeale ocomplesso che ècompleto rispetto alladistanza indotta da tale prodotto scalare. Considerando un insieme di vettori${\displaystyle \{{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2,\dots \}}$ di uno spazio di Hilbert complesso${\displaystyle \mathcal{H}}$ si ha dunque che la somma e il prodotto per uno scalare mantengono questi vettori nello spazio:

${\displaystyle {\mathbf{s}}_1+{\mathbf{s}}_2=\mathbf{s}\in \mathcal{H}\alpha {\mathbf{s}}_1=\mathbf{s}\in \mathcal{H}}$

con${\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}}$ (o${\displaystyle \mathbb{C}}$). Inoltre esiste unico l'inverso della somma${\displaystyle -\mathbf{s}}$ tale che${\displaystyle \mathbf{s}+(-\mathbf{s})=\mathbf{0}}$. In questo contesto si può definire ladipendenza e indipendenza lineare di vettori e il concetto dibase. Una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che siano anche un sistema di generatori, cioè che un sistema di vettori${\displaystyle \{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,\dots \}}$ è linearmente indipendente e forma un sistema completo tale che ogni altro vettore sia rappresentabile come combinazione lineare, eventualmente infinita, di vettori di una base:

${\displaystyle \mathbf{s}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i\cdot {\mathbf{u}}_i}$

dove${\displaystyle c_i\in \mathbb{C}}$ sono i coefficienti della combinazione lineare. Uno spazio di Hilbert è unospazio normato, cioè è definita lanorma di un vettore, essa è un numero reale tale che:

${\displaystyle \Vert \mathbf{s}\Vert \ge 0,\Vert \mathbf{s}\Vert =0\iff s=0}$

${\displaystyle \Vert \alpha \mathbf{s}\Vert =|\alpha |\cdot \Vert \mathbf{s}\Vert }$

${\displaystyle \Vert {\mathbf{s}}_1+{\mathbf{s}}_2\Vert \le \Vert {\mathbf{s}}_1\Vert +\Vert {\mathbf{s}}_2\Vert }$

Esistono diverse norme per gli spazi astratti, ma nella teoria dei segnali è utile introdurre la seguente:

${\displaystyle \Vert \mathbf{s}\Vert =\sqrt{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{s}^2(t)\cdot dt}}$

oppure nel caso generale di segnali complessi:

${\displaystyle \Vert \mathbf{s}\Vert =\sqrt{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}s(t)\cdot s^{\ast }(t)\cdot dt}}$

dove si è utilizzato ilprodotto scalare dello spazio di Hilbert:^[1]

${\displaystyle ({\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathbf{s}}_1(t)\cdot {\mathbf{s}}_2^{\ast }(t)\cdot dt}$

che ha le proprietà:

${\displaystyle ({\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)\ge 0({\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)=({\mathbf{s}}_2,{\mathbf{s}}_1)}$

${\displaystyle (\alpha \cdot {\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)=\alpha ({\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)({\mathbf{s}}_1+{\mathbf{s}}_2,{\mathbf{s}}_3)=({\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_3)+({\mathbf{s}}_2,{\mathbf{s}}_3)}$

In particolare due vettori${\displaystyle {\mathbf{s}}_1}$ e${\displaystyle {\mathbf{s}}_2}$ si dicono ortogonali se vale:

${\displaystyle ({\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)=0}$

Supponendo di disporre di una base di vettori ortogonali, allora essi si possono normalizzare dividendoli per la loro norma in modo che:

e in questo modo si ottiene unabase ortonormale.

La rappresentazione spettrale si basa sul fatto che una qualsiasi funzione (segnale) definita in un intervallo${\displaystyle [t_1,t_2]}$ può essere sviluppata inserie di Fourier comecombinazione lineare di vettori${\displaystyle {\mathbf{u}}_i(t)}$ (a loro volta funzioni del tempo) appartenenti ad una base ortonormale:

${\displaystyle \mathbf{s}(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i\cdot {\mathbf{u}}_i(t)}$

dove i coefficienti${\displaystyle c_i}$ sono automaticamente determinati dal prodotto scalare:^[2]

${\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\mathbf{s}(t){\mathbf{u}}_j(t)dt=(\mathbf{s},{\mathbf{u}}_j)=c_j}$

La base ortonormale più comune è quella dellefunzioni esponenziali (definite in${\displaystyle [0,T]}$):

${\displaystyle \{u_n=e^{int}:n\in \mathbb{Z};t\in [0,T]\}}$

Lo stesso argomento in dettaglio:Serie di Fourier.

I segnaliperiodici sono tali che${\displaystyle s(t)=s(t+T)}$, dove${\displaystyle T}$ è ilperiodo: si tratta dei segnali che si ripetono identicamente dopo un tempo${\displaystyle T}$. Si consideri un segnale periodico${\displaystyle s(t)}$ continuo, la cui serie di Fourier è:

${\displaystyle s(t)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_m\cdot u_m(t)}$

dove${\displaystyle c_m=(s,u_m)}$ sono coefficienti determinabili con il prodotto scalare, e${\displaystyle \{u_m=e^{imt},m\in \mathbb{Z}\}}$ è la base ortonormale di funzioni esponenziali. Se${\displaystyle {\omega }_1=2\pi /T}$ è lapulsazione fondamentale (la frequenza più bassa del segnale), la precedente sommatoria assume la forma:^[3]

${\displaystyle s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[a_n\cos (n{\omega }_{1}t)+b_n\sin (n{\omega }_{1}t)\right]}$

Il primo termine è costante e tutti gli altri termini sono unacombinazione lineare di opportuni coefficienti${\displaystyle a_n}$ e${\displaystyle b_n}$ delle funzioni esponenziali. Per determinare i coefficienti${\displaystyle a_n}$ e${\displaystyle b_n}$ si utilizza in genere il prodotto scalare.

La costante${\displaystyle a_0/2}$ è uguale alvalore medio del segnale nel periodo di definizione, infatti:

${\displaystyle {\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)dt={\int }_{-T/2}^{T/2}\frac{a_0}{2}dt+{\int }_{-T/2}^{T/2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[a_n\cos (n{\omega }_{1}t)+b_n\sin (n{\omega }_{1}t)\right]dt=\frac{a_0}{2}T}$

dove il secondo integrale del secondo termine si annulla poiché l'integrale su un periodo delle funzioni esponenziali è nullo per simmetria. Si ha quindi:

${\displaystyle \frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)dt}$

cioè il valore medio del segnale nel periodo${\displaystyle T}$. Per determinare i restanti coefficienti${\displaystyle a_n}$ si esegue il prodotto scalare:

${\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}s(t)\cdot u_m(t)dt=c_m=(s,u_m)}$

da cui si ottiene:

${\displaystyle {\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \cos (n{\omega }_{1}t)dt=\frac{a_0}{2}{\int }_{-T/2}^{T/2}\cos (n{\omega }_{1}t)dt+{\int }_{-T/2}^{T/2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[a_n{\cos }^2(n{\omega }_{1}t)+b_n\sin (n{\omega }_{1}t)\cos (n{\omega }_{1}t)\right]dt={\int }_{-T/2}^{T/2}{a}_n{\cos }^2(n{\omega }_{1}t)dt}$

Tutti i termini con il seno e coseno sono nulli nel periodo, così anche i termini misti. Per cui:

${\displaystyle {\int }_{-T/2}^{T/2}{a}_n{\cos }^2(n{\omega }_{1}t)dt=a_n\frac{T}{2}}$

ovvero:

${\displaystyle a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \cos (n{\omega }_{1}t)dt}$

Per determinare i coefficienti${\displaystyle b_n}$ si esegue il prodotto scalare allo stesso modo:

${\displaystyle {\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \sin (n{\omega }_{1}t)dt={\int }_{-T/2}^{T/2}{b}_n{\sin }^2(n{\omega }_{1}t)dt}$

Tutti i termini con il coseno e seno sono nulli nel periodo, così anche i termini misti. Per cui:

${\displaystyle {\int }_{-T/2}^{T/2}{b}_n{\sin }^2(n{\omega }_{1}t)dt=b_n\frac{T}{2}}$

cioè:

${\displaystyle b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \sin (n{\omega }_{1}t)dt}$

Nella rappresentazione del segnale tramite la serie di Fourier un segnale periodico viene decomposto in un insieme infinito frequenze multiple di quella fondamentale${\displaystyle {\omega }_1}$, ovvero${\displaystyle {\omega }_n=n{\omega }_1}$, e sono dettearmoniche (termine non collegato con il concetto difunzione armonica). Ognuna di queste componenti spettrali ha un'ampiezza pari a:

${\displaystyle A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}}$

e una fase iniziale:

${\displaystyle {\phi }_n=\arctan \frac{b_n}{a_n}}$

Definendo:

${\displaystyle a_n=A_n\cdot \cos {\phi }_n{b}_n=A_n\cdot \sin {\phi }_n}$

si può riscrivere la serie come:

${\displaystyle s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cdot \cos (n{\omega }_{1}t-{\phi }_n)}$

Se il segnale è una funzione pari del tempo, cioè se${\displaystyle s(t)=s(-t)}$, allora tutte le armoniche che contengono il seno (che è una funzione dispari) si annullano. Per cui la serie diventa:

${\displaystyle s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cdot \cos (n{\omega }_{1}t)}$

con coefficienti:

${\displaystyle a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \cos (n{\omega }_{1}t)dt}$

Allo stesso modo se il segnale è una funzione dispari del tempo, cioè se${\displaystyle s(t)=-s(-t)}$, tutte le armoniche che contengono il coseno si annullano (così anche il valore medio) e la serie diventa:

${\displaystyle s(t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\cdot \sin (n{\omega }_{1}t)}$

con coefficienti:

${\displaystyle b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \sin (n{\omega }_{1}t)dt}$

Si possono utilizzare ancora le formule di Eulero:

${\displaystyle \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

per ottenere una forma alternativa alla serie di Fourier:

${\displaystyle s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[a_n\frac{e^{in{\omega }_{1}t}+e^{-in{\omega }_{1}t}}{2}+b_n\frac{e^{in{\omega }_{1}t}-e^{-in{\omega }_{1}t}}{2i}\right]}$

il termine tra parentesi può essere riscritto mettendo in evidenza gli esponenziali:

${\displaystyle a_n\frac{e^{in{\omega }_{1}t}+e^{-in{\omega }_{1}t}}{2}+b_n\frac{e^{in{\omega }_{1}t}-e^{-in{\omega }_{1}t}}{2i}=\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{in{\omega }_{1}t}+\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-in{\omega }_{1}t}}$

poiché:

${\displaystyle \frac{a_n-i{b}_n}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)e^{-in{\omega }_{1}t}dt}$

${\displaystyle \frac{a_n+i{b}_n}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)e^{in{\omega }_{1}t}dt}$

I nuovi coefficienti sono:

${\displaystyle c_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2}{c}_n^{\ast }=c_{-n}=\frac{a_n+i{b}_n}{2}}$

Tramite queste trasformazioni matematiche si può riscrivere la serie di Fourier come:

${\displaystyle s(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\cdot e^{in{\omega }_{1}t}}$

dove:

${\displaystyle c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)e^{-in{\omega }_{1}t}dt}$

Da notare che la serie è definita anche per${\displaystyle n}$ negativi.

Anche la rappresentazione di segnali non periodici viene svolta utilizzando labase ortonormale formata dalle funzioni armoniche, a patto che la funzione non periodica decresca all'infinito con sufficiente regolarità. Questo vincolo è dovuto al fatto che il metodo utilizzato per la rappresentazione in frequenza consiste nella costruzione di un segnale periodico dato dalla ripetizione infinita di un segnale non periodico, che deve essere definito in un intervallo di tempo al di fuori del quale è nullo.

La rappresentazione di segnali non periodici avviene solitamente attraverso l'utilizzo dellatrasformata di Fourier o latrasformata di Laplace, che fornisce una scrittura del tipo:

${\displaystyle s(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\varphi (\omega )\cdot e^{i\omega t}d\omega }$

dove la funzione${\displaystyle \varphi (\omega )}$ si chiamadensità spettrale ed è uguale all'antitrasformata:^[4]

${\displaystyle \varphi (\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}s(t)\cdot e^{-i\omega t}dt}$

Queste relazioni sono valide sotto certe condizioni, la più importante delle quali è che esista e sia finito ovunque:

dove${\displaystyle f}$ sta per${\displaystyle s}$ o${\displaystyle \varphi }$. Se questa condizione è valida la trasformata${\displaystyle s}$ e l'antitrasformata${\displaystyle \varphi }$ sono funzioni continue, limitate e vale:

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|s(t){|}^{2}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|\varphi (\omega ){|}^{2}d\omega }$

Dalla linearità dell'integrale consegue immediatamente la linearità delle trasformate integrali. Esplicitamente, denotando con${\displaystyle \mathcal{F}}$ l'operatore trasformata si ha:

${\displaystyle \mathcal{F}(\alpha f+\beta g)=\alpha \mathcal{F}(f)+\beta \mathcal{F}(g)}$

per ogni${\displaystyle f,g\in L^1(\mathbb{R})}$ e${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb{C}}$.

Laderivata del segnale nel tempo corrisponde, nel dominio della frequenza, alla moltiplicazione per${\displaystyle i\omega }$ della trasformata del segnale non derivato. Infatti, sia${\displaystyle s(t)}$ un segnale e${\displaystyle S(\omega )}$ la sua trasformata. Allora la derivata del segnale è:

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{ds(t)}{dt}{e}^{-i\omega t}dt={\left[s{e}^{-i\omega t}\right]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}s(t)\left[-i\omega e^{-i\omega t}\right]dt=0+i\omega S(\omega )}$

Per cui la trasformata di${\displaystyle ds(t)/dt}$ è${\displaystyle i\omega S(\omega )}$ e la trasformata di${\displaystyle d^{n}s(t)/d{t}^n}$ è${\displaystyle (i\omega {)}^{n}S(\omega )}$.

Lo spettro dell'integrale di un segnale è invece dato dalla divisione per${\displaystyle i\omega }$ della trasformata del segnale (non integrato). Sia${\displaystyle s(t)}$ un segnale e${\displaystyle S(\omega )}$ la sua trasformata, allora la trasformata dell'integrale del segnale:

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}s(\tau )d\tau }$

è il rapporto:

${\displaystyle \frac{1}{i\omega }S(\omega )}$

Una particolarità particolarmente utile della rappresentazione spettrale è che laconvoluzione nel tempo di due funzioni equivale al prodotto algebrico delle loro trasformate nel dominio della frequenza. Infatti, scrivendo la trasformata del prodotto${\displaystyle s(t)=u(t)\cdot v(t)}$ di due segnali come:

${\displaystyle S(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}u(t)\cdot v(t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}u(t)\left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}V(\xi )e^{i\xi t}d\xi \right]e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}V(\xi )\left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}u(t)e^{-i(\omega -\xi )t}dt\right]d\xi }$

dove nel primo passaggio si è scritta la funzione di partenza come antitrasformata della trasformata (tra parentesi quadre), mentre nel secondo il termine tra parentesi quadre è la trasformata${\displaystyle U(\omega -\xi )}$ della funzione${\displaystyle u}$ traslata dalla moltiplicazione per l'esponenziale. Quindi:

${\displaystyle S(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}V(\xi )\cdot U(\omega -\xi )d\xi }$

questo integrale è un prodotto di convoluzione e si scrive simbolicamente come:

${\displaystyle s(t)=u(t)\cdot v(t)S(\omega )=U(\omega )\ast V(\omega )}$

Vale anche l'inverso, se si ha il prodotto ordinario di due spettri:

${\displaystyle S_1(\omega )\cdot S_2(\omega )s_1(t)\ast s_2(t)}$

La trasformata di un segnale reale${\displaystyle s(t)}$ si può scrivere genericamente come:

${\displaystyle S(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}s(t)\cos (\omega t)dt-i\cdot {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}s(t)\sin (\omega t)dt=A(\omega )-iB(\omega )}$

con${\displaystyle A(\omega )=A(-\omega )}$ è la parte reale della trasformata ed è unafunzione pari, mentre${\displaystyle B(\omega )=-B(-\omega )}$ è la parte immaginaria dello spettro ed è unafunzione dispari. Se si esegue l'antitrasformata si ottiene nuovamente il segnale reale nel tempo:

${\displaystyle s(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[A(\omega )-iB(\omega )]\cdot [\cos (\omega t)+i\cdot \sin (\omega t)]d\omega }$

Sviluppando il prodotto entro l'integrale si ha:

${\displaystyle s(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[A(\omega )\cos (\omega t)+B(\omega )\sin (\omega t)]+i\cdot [A(\omega )\sin (\omega t)-B(\omega )\cos (\omega t)]d\omega }$

Affinché il segnale sia reale deve necessariamente succedere che la parte reale ed immaginaria siano entrambe nulle, cioè:

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}A(\omega )\sin (\omega t)d\omega =0{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}B(\omega )\cos (\omega t)d\omega t=0}$

e questa condizione è soddisfatta solo se la parte reale è pari e la parte immaginaria è dispari. È vero anche il contrario, quindi se la parte reale della trasformata di un segnale è pari e la parte immaginaria è dispari allora si ottiene un segnale reale.

• Serge Lang,Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992,ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Walter Rudin,Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970,ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon,Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980,ISBN 0-12-585050-6.

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