Inmatematica, e più precisamente intopologia, ilmapping class group (letteralmente,gruppo delle classi dimappe) è un importante invariantealgebrico di unospazio topologico. Detto brevemente, è ungruppo discreto di "simmetrie" dello spazio.

Il termine "mapping class group" ha un utilizzo flessibile; nella maggior parte dei casi è usato riferendosi a unavarietàM. Il mapping class group diM viene interpretato come ilgruppo delleclassi diisotopia degliautomorfismi diM. Cioè, seM è unavarietà topologica, il mapping class group diM è il gruppo delle classi di isotopia degliomeomorfismi daM in sé; seM è unavarietà differenziabile, il mapping class group è il gruppo delle classi di isotopia deidiffeomorfismi daM in sé.

Ogni volta che${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(X)}$ (il gruppo degli automorfismi di uno spazioX) possiede unatopologia naturale (nel caso diX spazio topologico, generalmente si tratta dellatopologia compatto-aperto), il mapping class group di uno spazioX è definito come ilgruppo quoziente${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(X)/{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_0(X)}$, dove${\displaystyle {\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_0(X)}$ è lacomponente connessa di${\displaystyle i{d}_X}$, e assume quindi latopologia quoziente.

Nella letteratura riguardante latopologia in dimensione bassa, il mapping class group diX viene denotato di solito con${\displaystyle MCG(X)}$. Altre volte viene denotato${\displaystyle {\pi }_{0}Aut(X)}$, sostituendo ad${\displaystyle Aut}$ la nozione appropriata di automorfismo per lacategoria di cuiX è un oggetto.${\displaystyle {\pi }_0}$ in questo contesto denota lo 0-esimogruppo di omotopia di uno spazio.

Si ha quindi la seguentesuccessione esatta corta:

${\displaystyle 1\to {\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_0(X)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(X)\to \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}(X)\to 1.}$

la quale, frequentemente, nonspezza^[1].

Se si sta lavorando nella

categoria di omotopia, il mapping class group diX è il gruppo delle classi diomotopia diequivalenze di omotopia diX.

Vi sono moltisottogruppi dei mapping class group che sono frequentemente studiati. SeM è unavarietà orientata,${\displaystyle Aut(M)}$ può essere considerato come il gruppo degli omeomorfismi o diffeomorfismi diM che ne preservano l'orientazione: è questa la definizione standard del mapping class group di una varietà orientata, chiamato anchegruppo modulare (${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(M)}$), visto come generalizzazione delgruppo modulare classico. Il mapping class group definito a partire da omeomorfismi o diffeomorfismi che non preservano necessariamente l'orientazione è detto talvoltamapping class group generalizzato (e viene denotato${\displaystyle {\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}}^{\pm }(M)}$ o${\displaystyle {\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}^{\pm }(M)}$). Chiaramente${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(M)}$ è un sottogruppo di${\displaystyle {\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}}^{\pm }(M)}$, di indice 2 seM ammette almeno un automorfismo che ne inverte l'orientazione.

Analogamente, il sottogruppo del mapping class group che agiscebanalmente sull'omologia diM è dettogruppo di Torelli diM; può essere considerato come il mapping class group definito a partire dagli automorfismi di una varietà marcata non con un'orientazione ma tramite l'omologia.

In qualunque categoria (differenziabile,lineare a tratti, topologica, di omotopia)^[2] vale

${\displaystyle {\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}}^{\pm }(S^2)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},}$

corrispondente alle applicazioni digrado${\displaystyle \pm 1}$.

Nella categoria dell'omotopia,

${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}(T^n)\simeq \mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{Z}).}$

Ciò è dovuto al fatto che${\displaystyle T^n=(S^1{)}^n}$ è unospazio di Eilenberg-MacLane.

Per${\displaystyle n\ge 5}$^[3], ci sono successioni esatte che spezzano:

• nella categoria deglispazi topologici,

${\displaystyle 0\to {\mathbb{Z}}_2^{\mathrm{\infty }}\to MCG(T^n)\to GL(n,\mathbb{Z})\to 0}$

• nella categorialineare a tratti,

${\displaystyle 0\to {\mathbb{Z}}_2^{\mathrm{\infty }}\oplus (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}){\mathbb{Z}}_2\to MCG(T^n)\to GL(n,\mathbb{Z})\to 0}$

• nella categoriadifferenziabile,

${\displaystyle 0\to {\mathbb{Z}}_2^{\mathrm{\infty }}\oplus (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}){\mathbb{Z}}_2\oplus \sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\mathrm{\Gamma }}_{i+1}\to MCG(T^n)\to GL(n,\mathbb{Z})\to 0}$

dove i${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_i}$ sono igruppi abeliani finiti di Kervaire-Milnor dellesfere di omotopia, e${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$ è il gruppo di ordine 2.

I mapping class group dellesuperfici sono stati ampiamente studiati. Citiamo qui solo alcuni risultati:

• ilteorema diDehn-Nielsen-Baer afferma che per ogni superficie (topologica o differenziabile)Scompatta,chiusa, orientata, digenere almeno 1, l'omomorfismo naturale${\displaystyle {\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}}^{\pm }(S)\to \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}({\pi }_1(S))}$ è unisomorfismo (${\displaystyle \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}({\pi }_1(S))}$ è il gruppo degliautomorfismi esterni diS).

• seS è una varietà senzabordo, si definisce ilmapping class group puro diS come il sottogruppo di${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(S)}$ degli automorfismi che fissano ognipuntura diS. ilteorema di Dehn afferma che tale sottogruppo è generato da un numero finito diDehn twists attorno a curve suS che non la sconnettono.

• è noto che ogni gruppo finito è sottogruppo del mapping class group di un'opportuna superficie orientabile e chiusa^[4]. Inoltre è possibile realizzare ogni gruppo finito come gruppo delle isometrie di qualchesuperficie di Riemann compatta.

Alcune superfici non orientabili hanno mapping class groups conpresentazioni semplici. Per esempio, ogni omeomorfismo delpiano proiettivo reale${\displaystyle {\mathbb{P}}^2\mathbb{R}}$ è isotopo all'identità:

${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}({\mathbb{P}}^2\mathbb{R})=1.}$

Il mapping class group dellabottiglia di Klein${\displaystyle K}$ è:

${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}(K)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.}$

i quattro elementi sono l'identità, unDehn twist attorno alla curva che non borda unnastro di Möbius (e che quindi ha due lati), loy-omeomorfismo diLickorish, e la composizione di questi ultimi due. Mostrare che il Dehn twist al quadrato è isotopo all'identità è un esercizio interessante.

Inoltre, la superficie chiusa compatta non orientabile di genere 3 ha:

${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}(N_3)=\mathrm{G}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z}).}$

Questo perché${\displaystyle N_3}$ ha un'unica curva con un lato solo (cioè, tale che un suo intorno piccolo è omeomorfo al nastro di Möbius); tagliando la superficie lungo questa, si ottiene un toro con una componente di bordo.Ciò viene discusso in un articolo diMartin Scharlemann.

Anche i mapping class group delle3-varietà sono stati molto studiati, e sono fortemente legati a quelli delle 2-varietà. Per esempio, ognigruppo finito può essere realizzato come il mapping class group (e anche ilgruppo di isometrie) di una 3-varietà iperbolica^[5].

Data unacoppia di spazi${\displaystyle (X,A)}$, il mapping class group della coppia è costituito dalle classi di isotopia degli automorfismi della coppia, dove un automorfismo di${\displaystyle (X,A)}$ è definito come un automorfismo diX che preservaA: vale a dire,${\displaystyle f:X\to X}$ è invertibile e${\displaystyle f(A)=A}$.

Se${\displaystyle K\subset S^3}$ è unnodo o unlink, ilgruppo di simmetria del nodo (o link) è definito come il mapping class group cella coppia${\displaystyle (S^3,K)}$. È noto che il gruppo di simmetria di unnodo iperbolico èdiedrale ociclico, e che ogni gruppo diedrale o ciclico può essere realizzato come gruppo di simmetria di nodi. Il gruppo di simmetria di unnodo torico è${\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$.

Il mapping class group induce un'azione sull'omologia (e sullacoomologia) di uno spazioX: infatti la (co) omologia èfuntoriale e${\displaystyle {\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_0}$ agisce banalmente (tutti i suoi elementi sono isotopi all'identità, e l'azione sulla (co) omologia è invariante per omotopia).

Ilnucleo di quest'azione è il "gruppo diTorelli", indicato con${\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(X)}$

Nel caso di una superficie orientabile${\displaystyle \mathrm{\Sigma }}$ di genereg, l'azione di cui sopra è di fatto l'azione sul primo gruppo di omologia${\displaystyle H^1(\mathrm{\Sigma })\cong {\mathbb{Z}}^{2g}}$, in quanto le applicazioni che preservano l'orientazione sono esattamente quelle che agiscono banalmente sul gruppo di coomologia più elevato${\displaystyle H^2(\mathrm{\Sigma })\cong \mathbb{Z}}$.${\displaystyle H^1(\mathrm{\Sigma })}$ possiede una strutturasimplettica, proveniente dalprodotto cup; visto che le applicazioni che stiamo considerando sono automorfismi, e preservano il prodotto cup, il mapping class group agisce tramite automorfismi simplettici; e tutti gli automorfismi simplettici vengono realizzati. Si ha quindi una successione esatta corta:

${\displaystyle 1\to \text{Tor}(\mathrm{\Sigma })\to \text{MCG}(\mathrm{\Sigma })\to \text{Sp}(H^1(\mathrm{\Sigma }))\cong {\text{Sp}}_{2g}(\mathbb{Z})\to 1}$

che può essere estesa a

${\displaystyle 1\to \text{Tor}(\mathrm{\Sigma })\to {\text{MCG}}^{\pm }(\mathrm{\Sigma })\to {\text{Sp}}^{\pm }(H^1(\mathrm{\Sigma }))\cong {\text{Sp}}_{2g}^{\pm }(\mathbb{Z})\to 1}$

Ilgruppo simplettico ha una struttura in gran parte conosciuta, dunque il problema di capire lastruttura algebrica del mapping class group spesso si riconduce a problemi sul gruppo di Torelli.

Si noti che per il toro (${\displaystyle g=1}$), l'applicazione verso il gruppo simplettico è un isomorfismo, e il gruppo di Torelli è nullo.

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La superficie orientabile${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{g,1}}$ di genereg e a bordo connesso può essere inclusa con unembedding in${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{g+1,1}}$ attaccando un ulteriore buco alla fine (vale a dire, incollando fra loro${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{1,1}}$ e${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{g,2}}$); dunque gli automorfismi della superficie più piccola che lasciano invariati i punti del bordo si estendono alla superficie più grande. Illimite diretto dei gruppi${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}({\mathrm{\Sigma }}_{g,1})}$ al variare dig è dettomapping class group stabile.L'anello di coomologia di tale gruppo^{[non chiaro]} è stato congetturato daDavid Mumford. L'anello di coomologia su${\displaystyle \mathbb{Z}}$ è stato calcolato nel2002 da Ib Madsen e Michael Weiss, provando la congettura di Mumford.

• Joan Birman,Braids, Links, and Mapping Class Groups.
• Andrew Casson,Steve Bleiler,Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston.
• Nikolai V. Ivanov, "Mapping Class Groups", inHandbook of Geometric Topology.
• Benson Farb, Dan Margalit,A Primer on Mapping Class Groups
• Athanase Papadopoulos (a cura di),Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2007,DOI:10.4171/029,ISBN 978-3-03719-029-6,MR 2284826.
• Athanase Papadopoulos (a cura di),Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2009,DOI:10.4171/055,ISBN 978-3-03719-055-5,MR 2524085.

• Ib Madsen, Michael S. Weiss,The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture, 2002

  pubblicato come: Ib Madsen, Michael S. Weiss,The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture, 2007, Annals of Mathematics

• Gruppo di omotopia

• Madsen-Weiss MCG Seminar per ulteriori riferimenti.

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