È uncentravanti[1] completo, dalla falcata potente,[1] tecnico, imprevedibile, dinamico e allo stesso tempo dotato di un innato senso del gol, può essere impiegato anche da seconda punta o comeattaccante esterno in un4-3-3.[1]
Il 5 luglio 2013 ilNorimberga lo acquista a titolo definitivo dalloZurigo. Nella stagione 2013-2014 Drmić mette a segno 17 goal con il club, e il 12 maggio 2014 ilBayer Leverkusen ne annuncia l'acquisto insieme al dettaglio del contratto della durata di 5 anni.[2]
Il 17 giugno 2015, dopo un solo anno trascorso con leaspirine, viene acquistato dalBorussia Mönchengladbach, con cui firma un contratto quadriennale.[3]
Il 25 giugno 2019 firma un contratto triennale, per ilNorwich City, club neo-promosso in Premier League.[4] Il 5 febbraio 2021 è stato ceduto in prestito fino a fine stagione tra le file delRijeka.[5][6][7] Il 6 luglio seguente il prestito viene rinnovato.[8][9]
Gioca la sua prima partita con laSvizzera Under-21 aVarese il 10 agosto 2011 in occasione dell'amichevole contro l'Italia Under-21. Segna nella stessa occasione la sua prima rete con la maglia rossocrociata battendo il portiere azzurroCarlo Pinsoglio.[11]
L'11 settembre 2012 fa il suo esordio con la nazionale maggiore alloSwissporarena diLucerna sostituendoGranit Xhaka nei minuti di recupero della partita controAlbania, valida per le qualifiche della Coppa del Mondo 2014 e vinta per 2-0.[12] Il 5 marzo 2014, nell'AFG Arena diSan Gallo gioca la sua prima gara da titolare in occasione della partita contro laCroazia, di cui è originario, e segna le sue prime reti con la maglia rossocrociata con una doppietta.[13]
Josip è stato convocato per iMondiali 2014[14] e anche per iMondiali 2018[15] dalla Nazionale elvetica, andando a segno in occasione della sua seconda partecipazione alla rassegna, nella partita della fase a gironi pareggiata 2-2 contro laCosta Rica. Dopo iMondiali 2018 viene convocato per la fase finale della UEFA Nations League[16] giocando la semifinale contro ilPortogallo persa 3-1 e la finale per il terzo e quarto posto contro l'Inghilterra, finita con la sconfitta della nazionale svizzera airigori a causa del suo errore dal dischetto.[17][18]