SoprannominatoBurru, iniziò la sua carriera nelle giovanili dell'Arsenal de Sarandí e delRiver Plate, per poi passare all'Independiente Avellaneda dove giocò il suo primo match da professionista il 12 febbraio1982. Segnò il suo primo gol con l'Independiente il 27 febbraio, contro l'Unión San Vicente.
Nel1985 si trasferisce alNantes, dove a fine stagione viene eletto miglior giocatore del campionato francese. Nel1992Burru si è trasferito alValenciennes, ma nel1993 è stato sospeso per due anni dal calcio francese, essendo coinvolto nello scandalo conosciuto comeAffaire VA-OM.
Ritornato in Argentina, nell'Independiente, giocò qui fino al1998, quando si ritirò.
Ha fatto parte, con il n°7, della squadra che ha vinto ilCampionato mondiale di calcio 1986, segnando due gol, tra cui la rete che ha consentito la vittoria per 3-2 dell'Argentina contro laGermania Ovest in finale, all'84º minuto.
Da allora frequenti infortuni alle ginocchia ne limitano il rendimento, anche se mantiene il posto in nazionale: Burruchaga ha anche partecipato come titolare a tutte le partite dell'Argentina alCampionato mondiale di calcio 1990, segnando un gol nella seconda partita della fase a gironi contro l'Unione Sovietica.
Il 20 maggio2008 trova l'intesa per allenare il prossimo campionato ilBanfield.[11] Il 23 marzo2009 si dimette dalla guida.[12] Il 5 maggio viene nominato allenatore dell'Arsenal de Sarandì.[13] Il 1º maggio2010 decide di dimettersi, venendo rimpiazza con l'esordiente David Ruiz.[14]
Il 2 luglio2011 viene nominato allenatore della squadra paraguaiana delClub Libertad, con lui arriva anche il preparatore atletico Eduardo Urtasún.[15]
Il 4 dicembre2012 diventa allenatore dell'Atlético de Rafaela, sostituendo il dimissionario Ruben Darío Forestello.[16] Il 26 maggio2014 dopo aver ottenuto la salvezza si dimette dall'incarico.[17]