Glasgow al college giocò a football con i Memphis Tigers dal 2013 al 2016. Fu scelto daiCincinnati Bengals nel corso del quinto giro (153º assoluto) delDraft NFL 2017.[1] Dopo essere stato battuto dal veteranoRandy Bullock per il posto di kicker titolare fu svincolato e rifirmò il giorno successivo con la squadra di allenamento dei Bengals.
Il 12 settembre 2017, Elliott firmò con i Philadelphia Eagles dopo l'infortunio diCaleb Sturgis. Il 24 settembre 2017 alLincoln Financial Field diFiladelfia, Elliott calciò unfield goal da 61yard che diede alla squadra la vittoria suiNew York Giants nell'ultima giocata della partita (l'azione iniziò con un secondo al termine della gara sul risultato di 24-24). Fu il settimo field goal più lungo della storia della NFL, il più lungo nella storia degli Eagles, il più lungo nello stadio di Filadelfia e il più lungo della storia per unrookie.[2] Per questa prestazione fu premiato come miglior giocatore deglispecial team dellaNFC della settimana e comerookie della settimana[3] Nel divisional round dei playoff si appropriò anche del record di franchigia nellapost-season, segnando da 53 yard nella vittoria sugliAtlanta Falcons che portò gli Eagles in finale di conference.[4] Il 4 febbraio 2018 alloU.S. Bank Stadium diMinneapolis segnò tre field goal nelSuper Bowl LII vinto contro iNew England Patriots per 41-33, il primo trionfo della storia della franchigia.[5]
Nel 2021 Elliott fu convocato per il suo primoPro Bowl al posto diMatt Gay, impegnato nelSuper Bowl LVI, dopo avere segnato 30 field goal su 33 tentativi.