L'orbita della Luna è studiata da quella che, in gergo anglosassone, viene definitaLunar Theory, la quale tenta di spiegare i moti del nostrosatellite. Ci sono molte irregolarità (operturbazioni) nel moto dellaLuna, e molti tentativi sono stati fatti fin dalla antichità per tenere conto di queste. Dopo secoli di forte problematicità, i moti lunari sono al giorno d'oggimodellati con un grado molto elevato diaccuratezza. Diversi aspetti della Teoria dellaLuna sono diventati un classico dellastoria della scienza. Di recente si sono raggiunti livelli di accuratezza che hanno trasformato laLunar Theory in uno strumento adeguato per nuovi test delleteorie fisiche. Si può osservare che:

• il moto dellaLuna, dopo il lavoro dei coniugi francesiMichelle Chapront-Touzé eJean Chapront, si può considerare noto conprecisione
• la discussione diHugh Godfray sottolinea il significato fisico delleperturbazioni (quale causa le produce e di quale entità sono)
• in parte, quei termini matematici sono latrasposizione algebrica dei vecchiepicicli geometrici
• ildeferente dà ilmoto circolare, il primoepiciclo include la prima ineguaglianza (eccentricità), il secondoepiciclo include la seconda ineguaglianza (moto kepleriano)
• gliepicicli sono definiti sulla base dell'osservato, che aveva ai tempi molti limiti, e ne ha anche oggi, pertanto ilmodello può arrivare solo ad un certo puntopredizione
• itermini algebrici, che nascono da sviluppi in serie completamente noti, possono predireperturbazioni aggiuntive, ancorché non ancora osservate; il limite è solo la capacità di calcolo
• Tycho eKeplero, con i dati a loro disposizione, hanno fatto "miracoli" di formalizzazione in ambito dimeccanica celeste

LaLunar Theory include

• il “background” della teoria generale; comprese le tecniche matematiche utilizzate per analizzare il movimento dellaLuna e per generareformule ealgoritmi per la stima suoi movimenti;
• formule quantitative,algoritmi e schemi geometrici che possono essere utilizzati per calcolare la posizione dellaLuna ad un tempo determinato, spesso con l'aiuto di tabelle basate sualgoritmi.

La teoria ha una storia di oltre 2000 anni di indagini. I suoi sviluppi più moderni sono stati utilizzati nel corso degli ultimi tre secoli per fondamentali scopi scientifici e tecnologici, e lo sono ancora oggi.

• Nel XVIII secolo, il confronto tra laLunar Theory e l'osservazione è stato utilizzato per testare la legge diNewton dellagravitazione universale, il movimento dell'apogeo lunare.
• Nei secoli XVIII e XIX, letabelle di navigazione basate sullaLunar Theory, inizialmente nelNautical Almanac, erano molto utilizzate per la determinazione dellalongitudine in mare con ilmetodo delle distanze lunari.
• Nei primi anni del secolo ventesimo, il confronto tra laLunar Theory e l'osservazione è stato utilizzato in un altro test della teoria gravitazionale, per verificare il suggerimento diSimon Newcomb secondo cui una discrepanza nota nel moto delperielio diMercurio avrebbe potuto essere spiegata da un aggiustamento minimo dell'esponente 2 nellalegge dell'inverso del quadrato della gravitazione diNewton: la differenza fu poi spiegata con lateoria della relatività generale.
• Nella metà del ventesimo secolo, prima dello sviluppo degliorologi atomici, laLunar Theory e l'osservazione sono state utilizzate congiuntamente per realizzare una base tempi astronomica (tempo delle effemeridi) libera dalle irregolarità deltempo solare medio.
• Nel tardo ventesimo secolo e all'inizio del ventunesimo, moderni sviluppi dellaLunar Theory sono in uso, in abbinamento alle osservazioni di alta precisione, per verificare l'esattezza dei rapporti fisici associati con lateoria della relatività generale, compreso ilprincipio forte di equivalenza, lagravitazione relativistica, laprecessione geodetica, e la costanza dellacostante gravitazionale.

Di seguito viene fornita una lista delle variabili che si incontreranno nel corso della esposizione delle singoleperturbazioni dellaLuna. Ad esse viene assegnato dapprima un valore numerico approssimato (quello utilizzato popolarmente ai tempi del Godfray) e quindi una stima moderna migliore.

Alcune quantità che compaiono come argomento delle funzioni "seno", e che ne costituiscono la fase iniziale, sono semplicemente date come definizione verbale.

In ogni caso viene fornita per ogniperturbazione la possibilità di calcolo numerico completo, ad una data qualunque, con formulario ricavato dal libro del Meeus.

${\displaystyle \theta =}$longitudineeclittica "vera" dellaLuna (funzione del tempo), misurata sull'eclittica

${\displaystyle m\simeq \frac{1}{13}=}$ rapporto tra moto medioSole e moto medioLuna; il valore preciso è${\displaystyle m=\frac{1}{\mathrm{13,379}20}=\mathrm{0,074}743}$

${\displaystyle p=}$ moto medioLuna${\displaystyle =\mathrm{13,186}{81}^{\circ }/giorno=p=\mathrm{0,230}153\cdot \frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}}{\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}}}$

${\displaystyle m\cdot p=}$ moto medioSole${\displaystyle =\mathrm{0,985}{62}^{\circ }/giorno=p=\mathrm{0,017}202\cdot \frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}}{\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}}}$

${\displaystyle k=\tan ({\mathrm{5,145}}^{\circ })=\mathrm{0,080}994}$ =tangente della inclinazione dell'orbita della Luna

${\displaystyle c=1-\frac{3}{4}\cdot m^2-\frac{225}{32}\cdot m^3=\mathrm{0,992}874}$

${\displaystyle \alpha =}$ longitudine delperigeo dellaLuna al tempo zero, misurata sul piano orbitale

${\displaystyle {\alpha }^{\prime }=\alpha +(1-c)\cdot p\cdot t}$ =longitudine “vera” delperigeo dellaLuna (funzione del tempo), misurata sulpiano orbitale

${\displaystyle \beta =}$longitudine delSole al tempo zero, misurata sull'eclittica

${\displaystyle \gamma =}$longitudine delnodo dellaLuna al tempo zero, misurata sull'eclittica

${\displaystyle \zeta =}$longitudine delperigeo delSole al tempo zero, misurata sull'eclittica

${\displaystyle e\simeq \frac{1}{20}=}$eccentricità dell'orbita dellaLuna al tempo zero; il valore preciso vale${\displaystyle e=\frac{1}{\mathrm{18,050}54}=\mathrm{0,055}4}$

${\displaystyle (1-c)\cdot p=\mathrm{0,001}64\cdot \frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}}{\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}}}$ =velocità angolare degliapsidi dellaLuna

${\displaystyle (1-c^2)=\frac{3}{2}\cdot m^2=\mathrm{0,014}2}$

${\displaystyle g=1+\frac{3}{4}\cdot m^2-\frac{9}{32}\cdot m^3=\mathrm{1,004}0724}$

La soluzione del problema costitutivo dellaLunar Theory è oggi completata. Di seguito sarà fornito il dettaglio espresso con una precisione al secondo ordine di dettaglio. I vari termini sinusoidali sono formati da un coefficiente che ne indica l'ampiezza massima, e un argomento da cui è possibile ricavarne la periodicità. Dopo lunghissimi passaggi algebrici si può affermare che lalongitudine, al secondo ordine, è data dalla seguente espressione:

${\displaystyle \theta =p\cdot t+2\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c\cdot p\cdot t-\alpha )+\frac{5}{4}\cdot e^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (c\cdot p\cdot t-\alpha ))+}$

${\displaystyle +\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}((2-2\cdot m-c)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta +\alpha )+}$

${\displaystyle +\frac{11}{8}\cdot m^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}((2-2\cdot m)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta )-}$

${\displaystyle -3\cdot m\cdot e^{\prime }\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(m\cdot p\cdot t+\beta -\zeta )-}$

${\displaystyle -\frac{1}{4}\cdot k^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (g\cdot p\cdot t-\gamma ))}$

Il contributo dei termini di questa espressione è discusso nel seguito:

Trascurando tutti i termini periodici, rimane solo la componente lineare nel tempo:

${\displaystyle \theta =p\cdot t}$

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=p}$

ciò indica unavelocità angolare uniforme: la Luna si muove uniformemente su un cerchio; il periodo di rivoluzione vale${\displaystyle \frac{2\cdot \pi }{p}\simeq 27,33}$ giorni, che è pertanto la espressione delmese siderale. Per la precisione, nell'anno 1801 il valore è stato 27 giorni 7 ore 43 minuti 11,26 secondi. Questa prima parte del termine è quella che nei tempi antichi era rappresentata dal cerchio definito "deferente".

Il valore dip è dato, al terzo ordine, da:

${\displaystyle p=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\cdot (1-\frac{3}{2}\cdot k^2-m^2-\frac{3}{2}\cdot e^2)}$

dovem è dovuto all'azione disturbante delSole; si può osservare che il moto mediop ottenuto dalla terza legge diKeplero (e quindi lavelocità angolare media) è minore a causa degli elementi perturbanti, pertanto il tempo periodico medio sarebbe maggiore in assenza delleperturbazioni.

Questa ineguaglianza tiene conto dellavelocità angolare non uniforme (in accordo con laseconda legge di Keplero) e della rotazione dellalinea degli apsidi; fenomeni entrambi noti già aIpparco e rappresentati da lui e daTolomeo con opportuni epicicli. Si osservi che Ipparco, il cui modello era puramente descrittivo, cioè non pretendeva di derivare i parametri numerici da una legge fisica, poteva raggiungere il livello di precisione desiderato semplicemente aggiustando opportunamente la discrepanza fra la velocità di rotazione sull'epiciclo e quella sul deferente^[1]. Dedurre, invece, dalle leggi di gravitazione il moto rilevato degli astronomi fu particolarmente difficile.

Per valutare l'ineguaglianza ellittica si aggiunge al moto medio l'azione combinata degli altri due termini della prima riga:

${\displaystyle \theta =p\cdot t+2\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c\cdot p\cdot t-\alpha )+\frac{5}{4}\cdot e^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (c\cdot p\cdot t-\alpha ))}$

essa può essere riscritta:

${\displaystyle \theta =p\cdot t+2\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(p\cdot t-(\alpha +(1-c)\cdot p\cdot t))+\frac{5}{4}\cdot e^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (p\cdot t-(\alpha +(1-c)\cdot p\cdot t)))}$

si ricorda la similitudine formale tra lalongitudine e il tempo lungo unaellisse con il corpo centrale in unfuoco, terminata alla precisione del secondo ordine:

${\displaystyle \theta =n\cdot t+2\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(n\cdot t-{\alpha }^{\prime })+\frac{5}{4}\cdot e^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (n\cdot t-{\alpha }^{\prime }))}$

dove${\displaystyle n}$ è il moto medio,${\displaystyle e}$ la eccentricità e${\displaystyle {\alpha }^{\prime }}$ lalongitudine degliapsidi.

I termini considerati, pertanto, indicano il moto su unaellisse; il moto medio èp, la eccentricitàe, lalongitudine degliapsidi${\displaystyle \alpha +(1-c)\cdot p\cdot t}$; ciò indica in modo chiaro che la linea degliapsidi non è stazionaria, ma ha un moto progressivo uniforme pari a${\displaystyle (1-c)\cdot p}$, dove vale la seguente relazione:

${\displaystyle c=1-\frac{3}{4}\cdot m^2}$, approssimata al secondo ordine

se al posto di${\displaystyle c}$ si mette l'espressione sopra citata, lavelocità angolare diventa${\displaystyle \frac{3}{4}\cdot m^2\cdot p}$ perciò, mentre laLuna descrive un giro, l'asse precede di${\displaystyle \frac{3}{4}\cdot m^2\cdot 360\simeq 1,6^{\circ }}$ circa, essendom pari a circa${\displaystyle \frac{1}{13}}$.

Questo risultato è qualitativamente equivalente al modello del moto dellaLuna messo a punto dagli astronomi greci. GiàIpparco aveva trovato, e tutte le osservazioni moderne lo hanno confermato, che il moto degliapsidi è circa 3° per ciascuna rivoluzione dellaLuna. Dimensioni evelocità angolare sudeferente ed epicicli erano determinate in modo da ottenere valori del moto lunare corrispondenti all'esperienza.

Il valore calcolato precedentemente, tuttavia, non corrisponde al dato osservativo.Newton stesso era consapevole di questa apparente discrepanza tra la sua teoria e le osservazioni^[2]; ma si è condotti dalle sue stesse parole (Scolio alla Proposizione 35, libro III nella prima edizione deiPrincipia), a concludere che egli avesse superato l'ostacolo. Ciò è reso probabile dal fatto che egli risolse un simile problema nel caso del moto dell'asse deinodi; egli, tuttavia, non ha fornito alcun calcolo o alcuna spiegazione a supporto della sua affermazione.

Clairaut, che nel1750 trovò la causa della discrepanza e ne pubblicò la soluzione, giunse inizialmente alla conclusione che ci fosse un piccolo errore nella legge di gravitazione e fu sul punto di pubblicare una nuova ipotesi. Fortunatamente decise di procedere all'approssimazione di terzo ordine e così trovò che il termine successivo nello sviluppo dic era quasi altrettanto grande di quello già trovato. In altre parole l'espressione${\displaystyle c=1-\frac{3}{4}\cdot m^2}$ utilizzata sopra deve essere sostituita col seguente valore dic approssimato al terzo ordine:

${\displaystyle c=1-\frac{3}{4}\cdot m^2-\frac{225}{32}\cdot m^3}$

${\displaystyle (1-c)=\frac{3}{4}\cdot m^2+\frac{225}{32}\cdot m^3}$

${\displaystyle (1-c)\cdot 360\simeq 2,75}$° valore che riconcilia teoria ed osservazione e che rimuove ciò che è stato vissuto come un immenso inciampo nella storia della astronomia. Quando il valore di${\displaystyle c}$ è approssimato ad ordini ancora superiori, viene raggiunta una corrispondenza ancora migliore.

Allo scopo di calcolare accuratamente la posizione dellaLuna in un dato istante, è necessario prendere in considerazionemigliaia di termini periodici nel calcolo della relativalongitudine,latitudine e distanza. Ci si fermerà qui a trattare solo quelli evidenziati dalla presente trattazione semplificata. Per avere i dati completi è necessario consultare leLunar Tables and Programs di Chapront.

Si presuppone noto il concetto diGiorno Giuliano delleEffemeridi JDE, da cui si ricava il parametro ausiliario${\displaystyle T}$, fornito dalla presente formula

${\displaystyle T=\frac{JDE-2451545}{36525}}$

È necessario dapprima calcolare alcuni coefficienti, alla data richiesta, da inserire come argomento nella funzione trigonometrica che rappresenta laperturbazione in oggetto

Elongazione media della Luna (angolo rispetto alla direzione delSole, misurato sull'eclittica)

${\displaystyle D=\mathrm{297,850}1921+\mathrm{445267,111}4034\cdot T-\mathrm{0,001}8819\cdot T^2+\frac{T^3}{545868}-\frac{T^4}{113065000}}$

Anomalia media del Sole (angolo rispetto alperigeo, misurato sull'eclittica)

${\displaystyle M=\mathrm{357,529}1092+\mathrm{35999,050}2909\cdot T-\mathrm{0,000}1536\cdot T^2+\frac{T^3}{24490000}}$

Anomalia media della Luna (angolo rispetto alperigeo, misurato sull'orbita)

${\displaystyle M^{\prime }=\mathrm{134,963}3964+\mathrm{477198,867}5055\cdot T+\mathrm{0,008}7414\cdot T^2+\frac{T^3}{69699}-\frac{T^4}{14712000}}$

Argomento della latitudine della Luna (angolo rispetto alnodo ascendente, misurato sull'orbita)

${\displaystyle F=\mathrm{93,272}0950+\mathrm{483202,017}5233\cdot T-\mathrm{0,003}6539\cdot T^2-\frac{T^3}{3526000}+\frac{T^4}{863310000}}$

Ineguaglianza ellittica odequazione del centro

In modo numerico essa è data dalla seguente espressione, dove il coefficiente delseno è espresso in milionesimi di grado angolare

${\displaystyle 6288774\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(M^{\prime })+213618\cdot sen(2\cdot M^{\prime })\simeq }$

${\displaystyle \simeq (6,{29}^{\circ })\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(M^{\prime })+(0,{21}^{\circ })\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot M^{\prime })}$

L'espressione raggiunge il suo massimo nella seguente configurazione:

${\displaystyle (6,{29}^{\circ })\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(86,2^{\circ })+(0,{21}^{\circ })\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(172,4^{\circ })\simeq }$

${\displaystyle \simeq (\mathrm{6,303}{33}^{\circ })}$

Si tratta in buona sostanza di un'ampia sinusoide di ampiezza 6,29 ricamata con una piccola sinusoide di ampiezza 0,21. Esse hanno frequenze diverse e la funzione complessiva raggiunge il suo massimo quando l'argomento M' vale circa 86,2°.

.

Lo stesso argomento in dettaglio:Evezione.

Il termine${\displaystyle +\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}((2-2\cdot m-c)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta +\alpha )}$ è denominatoEvezione. I suoi effetti si possono considerare in due prospettive diverse:

Esso è dunque un termine correttivo di

${\displaystyle \theta =p\cdot t+\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}((2-2\cdot m-c)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta +\alpha )}$

si definiscano le seguenti grandezze:

${\displaystyle \mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{a}=p\cdot t=}$longitudine media dellaLuna

${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}=m\cdot p\cdot t+\beta =}$longitudine media delSole

${\displaystyle {\alpha }^{\prime }=(1-c)\cdot p\cdot t+\alpha =}$longitudine media dell'asse degliapsidi

raccogliendo opportunamente i termini

${\displaystyle \theta =p\cdot t+\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (p\cdot t-(m\cdot p\cdot t+\beta ))-(p\cdot t-(1-c)\cdot p\cdot t+\alpha )))=}$

${\displaystyle =p\cdot t+\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (luna-sole)-(luna-{\alpha }^{\prime }))}$

Gli effetti di questo termine sono:

• alleSizigie, quandoSole eLuna sono allineati, cioè quando hanno la stessalongitudine, la prima parte dell'argomento delseno si annulla, e pertanto rimane${\displaystyle \theta =p\cdot t-\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(luna-{\alpha }^{\prime })}$, cioè la posizione “vera” dellaLuna è prima o dopo quella “media” a seconda del segno dell'argomento della funzione "seno";
• alleQuadrature, quandoSole eLuna distano 90º, la prima parte dell'argomento delseno vale pi greco e pertanto rimane${\displaystyle \theta =p\cdot t+\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(luna-{\alpha }^{\prime })}$, in cui le circostanze sono esattamente invertite.

In entrambi i casi la correzione globale si annulla quando la linea degliApsidi è alleSizigie o alleQuadrature nello stesso momento dellaLuna. Nelle posizioni intermedie la natura della correzione è più complessa, ma si annulla sempre quando ilSole è a metà tra laLuna e la linea degliApsidi, o quando dista 90º o 180º da quel punto. Se:

${\displaystyle sole=\frac{luna+{\alpha }^{\prime }}{2}-r\cdot 90}$ dove${\displaystyle r=0,-1,1,2}$

allora

${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (luna-sole)-(luna-{\alpha }^{\prime }))=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(luna+{\alpha }^{\prime }-2\cdot sole)=}$

${\displaystyle =\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(r\cdot 180)=0}$

Il secondo e più usuale metodo è quello di considerare gli effetti di questo termine in combinazione con i due termini della “Ineguaglianza Ellittica”, come segue: “Determinare la variazione della posizione della linea degliApsidi e la variazione nellaEccentricità dell'orbita dellaLuna, prodotta dallaEvezione”.Si prendano allora assieme la “Ineguaglianza Ellittica” e la “Evezione”:

${\displaystyle \theta =p\cdot t+2\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c\cdot p\cdot t-\alpha )+\frac{5}{4}\cdot e^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (c\cdot p\cdot t-\alpha ))+\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}((2-2\cdot m-c)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta +\alpha )}$

sia${\displaystyle {\alpha }^{\prime }}$ laLongitudine della linea degliApsidi al tempo${\displaystyle t}$, nella ipotesi di avanzamento uniforme

${\displaystyle {\alpha }^{\prime }=(1-c)\cdot p\cdot t+\alpha }$

${\displaystyle sole=m\cdot p\cdot t+\beta }$

allora la precedente può essere riscritta

${\displaystyle \theta =p\cdot t+2\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c\cdot p\cdot t-\alpha )+\frac{5}{4}\cdot e^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (c\cdot p\cdot t-\alpha ))+\frac{15}{4}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c\cdot p\cdot t-\alpha +2\cdot ({\alpha }^{\prime }-sole))}$

combinando insieme il secondo ed il quarto termine in uno solo

${\displaystyle 2\cdot E\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c\cdot p\cdot t-\alpha +\delta )}$

e si assuma

${\displaystyle E\cdot \cos (\delta )=e+\frac{15}{8}\cdot m\cdot e\cdot \cos (2\cdot ({\alpha }^{\prime }-sole))}$

${\displaystyle E\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\delta )=\frac{15}{8}\cdot m\cdot e\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot ({\alpha }^{\prime }-sole))}$

da cui si possono ricavare${\displaystyle E}$ e${\displaystyle \tan (\delta )}$; approssimativamente vale

${\displaystyle E=e\cdot (1+\frac{15}{8}\cdot m\cdot \cos (2\cdot ({\alpha }^{\prime }-sole))}$

${\displaystyle \delta =\frac{15}{8}\cdot m\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot ({\alpha }^{\prime }-sole))}$

il termine${\displaystyle \frac{5}{4}\cdot e^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (c\cdot p\cdot t-\alpha ))}$ può anche, al secondo ordine, essere espresso da

${\displaystyle \frac{5}{4}\cdot E^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (c\cdot p\cdot t-\alpha +\delta ))}$

e così leLongitudini diventano

${\displaystyle \theta =p\cdot t+2\cdot E\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c\cdot p\cdot t-\alpha +\delta )+\frac{5}{4}\cdot E^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (c\cdot p\cdot t-\alpha +\delta ))}$

${\displaystyle \theta =p\cdot t+2\cdot E\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(p\cdot t-{\alpha }^{\prime }+\delta )+\frac{5}{4}\cdot E^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (p\cdot t-{\alpha }^{\prime }+\delta ))}$

Gli ultimi due termini costituiscono la “Ineguaglianza Ellittica” di un'orbita di eccentricità${\displaystyle E}$ elongitudine della linea degliApsidi${\displaystyle {\alpha }^{\prime }-\delta }$ [${\displaystyle E}$ è variabile nel tempo]; pertanto laEvezione, presa in unione con l'Ineguaglianza Ellittica, ha l'effetto di rendere l'eccentricità dell'orbita dellaLuna variabile, incrementandola di${\displaystyle \frac{15}{8}\cdot m\cdot e}$ quando la linea degliApsidi transita per leSizigie, e diminuendola della stessa quantità quando la linea degliApsidi passa per leQuadrature; l'espressione generale dell'incremento vale

${\displaystyle \frac{15}{8}\cdot m\cdot e\cdot \cos (2\cdot ({\alpha }^{\prime }-sole))}$

un altro effetto di questo termine è quello di diminuire lalongitudine dell'asse, calcolata nell'ipotesi di moto uniforme, della quantità${\displaystyle \delta =\frac{15}{8}\cdot m\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot ({\alpha }^{\prime }-sole))}$; così l'asse della linea degliApsidi è dietro a quello medio nel primo o il terzo quadrante quando è in anticipo rispetto alSole, e davanti quando è nel secondo o quarto quadrante. Il ciclo di queste variazioni dovrà essere evidentemente completato in un periodo di mezza rivoluzione delSole rispetto all'asse degliApsidi, cioè circa in${\displaystyle \frac{9}{16}}$ di un anno.

Il periodo dellaEvezione in sé, indipendentemente dagli effetti sull'orbita, è il tempo in cui l'argomento

${\displaystyle (2-2\cdot m-c)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta +\alpha }$

si incrementa di${\displaystyle 2\cdot \pi }$. Pertanto il periodo dellaEvezione vale

${\displaystyle \frac{2\cdot \pi }{(2-2\cdot m-c)\cdot p}=\frac{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{o}}{2-2\cdot \mathrm{m}-\mathrm{c}}=}$

${\displaystyle =\frac{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{o}}{1-2\cdot \mathrm{m}+\frac{3}{4}\cdot {\mathrm{m}}^2}\simeq 31,8}$ giorni, circa; il valore accurato vale 31,8119 giorni.Newton ha considerato laEvezione nella Proposizione 66, Corollario 9 deiPrincipia.

Il coefficiente delseno è espresso in milionesimi di grado angolare

${\displaystyle 1274027\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot D-M^{\prime })\simeq (1,{27}^{\circ })\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot D-M^{\prime })}$

Si deve spiegare il significato del termine${\displaystyle +\frac{11}{8}\cdot m^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}((2-2\cdot m)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta )}$ inserito nella espressione dellaLongitudine dellaLuna

${\displaystyle \theta =p\cdot t+\frac{11}{8}\cdot m^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}((2-2\cdot m)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta )}$

siano

${\displaystyle luna=p\cdot t=}$ Longitudine media della Luna

${\displaystyle sole=m\cdot p\cdot t+\beta =}$ Longitudine media del Sole

allora il valore di${\displaystyle \theta }$ diventa

${\displaystyle \theta =p\cdot t+\frac{11}{8}\cdot m^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (luna-sole))}$

ciò mostra come dalleSizigie alleQuadrature la posizione “vera” dellaLuna sia prima dellaLuna “media”, e dopo dalleQuadrature alleSizigie; la massima differenza è data da${\displaystyle \frac{11}{8}\cdot m^2}$ negliottanti. Lavelocità angolare dellaLuna, per quanto riguarda questo singolo termine, vale circa

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=p+\frac{11}{4}\cdot (1-m)\cdot m^2\cdot p\cdot \cos (2\cdot (luna-sole))=}$

${\displaystyle =p\cdot (1+\frac{11}{4}\cdot m^2\cdot \cos (2\cdot (luna-sole)))}$

il secondo termine mostra come essa superi${\displaystyle p}$ alleSizigie, sia uguale a${\displaystyle p}$ negliottanti, sia minore dip nelleQuadrature. Questa ineguaglianza è chiamata “Variazione” e il suo periodo è dato dall'argomento${\displaystyle (2-2\cdot m)\cdot p\cdot t-2\cdot \beta }$ incrementato di${\displaystyle 2\cdot \pi }$

periodo della variazione =${\displaystyle =\frac{2\cdot \pi }{2\cdot (1-m)\cdot p}=}$

=${\displaystyle =\frac{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{o}}{2}\simeq 14,75}$ giorni.

La quantità${\displaystyle \frac{11}{8}\cdot m^2}$ è solo il primo di una interminabile serie di termini che costituiscono il coefficiente della Variazione; gli altri termini sono ottenuti con approssimazioni ad ordini superiori. Il termine successivo vale${\displaystyle =\frac{59}{12}\cdot m^3}$, che è circa${\displaystyle =\frac{3}{11}}$ del primo termine; ci sono molti altri termini importanti, ed è solo con l'approssimazione agli ordini superiori (almeno al 5º ordine) che il valore del coefficiente può essere ottenuto con sufficiente accuratezza a partire dalla teoria. Infatti il termine${\displaystyle =\frac{11}{8}\cdot m^2}$ dà un coefficiente di 26' 27'’, mentre il valore accurato vale 39' 30'’. Le stesse considerazioni si applicano ai coefficienti degli altri termini.

Espresso con la precisione del secondo ordine${\displaystyle \frac{11}{8}\cdot m^2}$, questo coefficiente della Variazione è indipendente dall'eccentricità${\displaystyle e}$ e dall'inclinazione dell'orbita${\displaystyle k}$. Questaperturbazione capiterebbe dunque anche in un'orbita originariamente circolare, il cui piano coincidesse col piano dell'Eclittica: è certo cheNewton ne ha tenuto conto.Principia Proposizione 66, Corollari 3, 4, 5.

Variazione calcolata con metodo numerico moderno

Il coefficiente delseno è espresso in milionesimi di grado angolare

${\displaystyle 658314\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot D)\simeq (0,{66}^{\circ })\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot D)}$

Si deve spiegare il significato del termine${\displaystyle -3\cdot m\cdot e^{\prime }\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(m\cdot p\cdot t+\beta -\zeta )}$ inserito nell'espressione dellaLongitudine dellaLuna

${\displaystyle \theta =p\cdot t-3\cdot m\cdot e^{\prime }\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(m\cdot p\cdot t+\beta -\zeta )=}$

${\displaystyle =p\cdot t-3\cdot m\cdot e^{\prime }\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e})}$

${\displaystyle =p\cdot t-3\cdot m\cdot e^{\prime }\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e})}$

pertanto, mentre ilSole si muove dal suoperigeo a suoapogeo, la posizione vera dellaLuna è dietro a quella media; e dall'apogeo alperigeo prima di quella media. Il periodo è dato dall'anno anomalistico ed è per questo che viene denominataEquazione Annua.

si differenzi ora${\displaystyle \theta }$ rispetto al tempo:

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=p\cdot (1-3\cdot m^2\cdot e^{\prime }\cdot \cos (\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}))}$

pertanto, per quanto riguarda questaperturbazione, lavelocità angolare dellaLuna è minore quando ilSole è alPerigeo, il che accade attualmente attorno a primi di gennaio; è maggiore quando ilSole è all'apogeo, attorno ai primi di luglio.

L'Equazione Annua è, a questo ordine di precisione, indipendente dall'eccentricità e inclinazione dell'orbita dellaLuna, e pertanto sarebbe identica anche nel caso diorbita originariamente circolare.Newton,Principia, Proposizione 66, Corollario 6.

Equazione annua calcolata con metodo numerico moderno

Il coefficiente delseno è espresso in milionesimi di grado angolare

${\displaystyle -185116\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(M)\simeq (-0,{19}^{\circ })\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(M)}$

Si deve spiegare il significato del termine${\displaystyle -\frac{k^2}{4}\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot (g\cdot p\cdot t-\gamma ))}$

L'argomento della funzioneseno è dato dal doppio dello "Argomento dellaLatitudine" dellaLuna. Il terminine, pertanto, equivale alla differenza tra lalongitudine misurata sull'orbita e lalongitudine misurata sull'eclittica; la Riduzione è semplicemente una conseguenza geometrica dell'inclinazione dell'orbita; misurando sull'orbita, i termini periodici svaniscono.

Riduzione calcolata con metodo numerico moderno

Il coefficiente delseno è espresso in milionesimi di grado angolare

${\displaystyle -114332\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot F)\simeq (-0,{11}^{\circ })\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\cdot F)}$

Lo stesso argomento in dettaglio:Accelerazione secolare della Luna.

Halley, intorno al 1693, trovò, comparando leeclissi degli antichi con quelle moderne, che la rivoluzione media dellaLuna era alla sua epoca percorsa in un tempo più breve di quello registrato tramite leeclissi dai Caldei e dai Babilonesi.

La causa di questo fenomeno rimase sconosciuta fino a che, nel 1787,Laplace ne diede una spiegazione convincente.Laplace scoprì che il moto${\displaystyle p}$ dellaLuna è anche influenzato dallaeccentricità${\displaystyle e^{\prime }}$ dell'orbita delSole attorno allaTerra (si ricorda che in questa trattazione il riferimento è geocentrico).

La eccentricità dell'orbita dellaTerra (o quella delSole, in un riferimento geocentrico), è infatti perturbata dal moto di tutti gli altri pianeti.

All'epoca presente il valore di${\displaystyle p}$ è in aumento, pertanto il moto risulta accelerato, e continuerà così per molto, ma non per sempre. In tempi lontanissimi l'azione dei pianeti cambierà segno e${\displaystyle p}$ comincerà a decrescere.

È interessante osservare come l'azione dei pianeti sulla Luna, ad essa trasmessa attraverso leperturbazioni dell'orbita terrestre, sia più importante della loro azione diretta.

L'accelerazione dovuta alla variazione di${\displaystyle e^{\prime }}$ è solo una delle componenti. Un'altra componente diaccelerazione, lineare nel tempo, è legata agli attriti mareali che la Luna impone alla Terra, con enormi dissipazioni di energia e rallentamento della rotazione terrestre. Per laconservazione della quantità di moto del sistemaTerra-Luna, considerato energeticamente isolato, laLuna deve compensare allontanandosi (oggi al tasso di 3,8 centimetri l'anno).

Pertanto, in un sistema di riferimento siderale laLuna rallenta. Ma larotazione dellaTerra diminuisce, come si è già detto. Il risultato finale è che, in un riferimento geocentrico, laLuna accelera.

A causa della non perfetta sfericità dellaTerra, devono essere introdotte ulteriori correzioni.

Laplace, nell'esaminare questi effetti, trovò che essi potevano con adeguatezza essere spiegati come termini correttivi dellalongitudine dellaLuna, comeMayer aveva scoperto tramite osservazione, e che l'argomento dellafunzione periodica era laLongitudine "vera" delnodo ascendente dellaLuna.

Di converso, dalla comparazione dell'osservato con le espressioni formali dei coefficienti di questi termini, si può dedurre loschiacciamento terrestre con grande accuratezza, paragonabile a quella delle misure effettuate sulla superficie stessa.

Proseguendo le sue investigazioni,Laplace trovò che, nella espressione dellalatitudine dellaLuna, compare un termine il cui argomento è lalongitudine "vera" dellaLuna stessa.

Questo termine, mai ipotizzato prima, è altresì utile al calcolo delloschiacciamento terrestre, e la corrispondenza col misurato è quasi perfetta; fornisce una compressione di circa${\displaystyle \frac{1}{305}}$, che corrisponde ad una media degli equivalenti valori ottenuti con altri metodi.

Dopo che l'espressione dellalongitudine dellaLuna è stata ottenuta col "modello dei tre corpi ristretto", furono trovate ulteriori deviazioni mediante osservazione.

Intorno al1848 il professorHansen, diSeeberg in Gotha, aveva iniziato una revisione della Teoria dellaLuna, trovando due termini, fino a quel momento trascurati, dovuti alla azione diVenere.

• Il primo agisce in modo diretto e scaturisce da una significativa relazione numerica tra il moto anomalistico dellaLuna e il moto siderale diVenere;
• Il secondo agisce in modo indiretto e scaturisce da una ineguaglianza di lungo periodo tra i moti dellaTerra e quelli diVenere.

I periodi delle due ineguaglianze sono estremamente lunghi, il primo di 273 anni ed il secondo di 239 anni; le loro ampiezze sono rispettivamente di 27,4'' e 23,2'' (arcosecondi). Ne vediamo un commento nelle parole di Sir John Hershel in una prolusione alla Royal Astronomical Society:

«Queste sono quantità significative in paragone ad alcune delle ineguaglianze già riconosciute nel moto dellaLuna ... la loro scoperta può essere considerata un completamento di fatto della Teoria dellaLuna, almeno nel nostro tempo, e stabilisce la conformità assoluta della teoria diNewton e delle sue applicazioni analitiche a questosatelliteribelle»

• (EN) Hugh Godfray,An Elementary Treatise on the Lunar Theory. M.A., Fourth Edition - London & New York -MacMillan and Co., (1885).
• Isaac Newton, a cura di Ludovico Geymonat,Principi Matematici della Filosofia Naturale. Classici della Scienza, UTET, 1989.
• (EN)Lunar Tables and Programs from 4000 B.C. to A.D. 8000 M.Chapront-Touzé,Willmann-Bell, 1991.
• (FR) J. Chapront, M. Chapront-Touzé, G. Francou,Introduction dans ELP 2000-82B de nouvelles valeurs des paramètres de la Lune et du barycentre Terre-Lune. Parigi, gennaio 1998.
• (EN)Astronomical Algorithms Jean Meeus -William-Bell, Inc, 1998

• (EN)NASA Planetary Fact Sheets, sunssdc.gsfc.nasa.gov.

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