Integrale di. Area sottesa dal grafico dalla funzione nel dominio. Si assume che l'area abbia valore negativo quando è negativa.
Inanalisi matematica, l'integrale è unoperatore lineare che, nel caso di unafunzione di una sola variabile a valori reali non negativi, associa alla funzione l'area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale può essere interpretato geometricamente come l'areaorientata sottesa dal grafico della funzione.
La definizione di integrale per le funzioni continue in un intervallo venne inizialmente formulata daAugustin-Louis Cauchy, che a partire dal lavoro di Mengoli, descrisse l'integrale utilizzando la definizione di limite. In seguitoBernhard Riemann propose la sua definizione, in modo da comprendere classi più estese di funzioni. Nel1875,Gaston Darboux riformulò la definizione già individuata da Cauchy in modo da evitare l'uso di limiti e dimostrando che era del tutto equivalente alla definizione data da Riemann. Per questo motivo spesso si parla di integrale di Riemann-Darboux. Allo scopo di comprendere una classe molto più estesa di funzioni,Henri Lebesgue produsse una definizione di integrale più complessa, attraverso l'introduzione dellateoria della misura. In seguitoThomas Stieltjes fu in grado di generalizzare l'integrale di Riemann introducendo il concetto difunzione integratrice e, con un procedimento del tutto analogo,Johann Radon generalizzò l'integrale di Lebesgue. Una definizione d'integrale alternativa a quella di Lebesgue-Radon venne fornita daPercy J. Daniell, che la ricavò a partire dall'integrale di Riemann-Stieltjes.
Il simbolo di integrale nella letteratura (da sinistra) inglese, tedesca e russa
Il simbolo che rappresenta l'integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo. Il simbolo si basa sul carattereſ (esse lunga), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parolasumma (ſumma), inlatinosomma, poiché questi considerava l'integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali.
La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una variabile muta, cioè ha lo stesso significato di e di. La forma differenziale è ildifferenziale della variabile di integrazione.
Esistono leggere differenze nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse: il simboloinglese è inclinato verso destra, quellotedesco è dritto mentre la varianterussa è inclinata verso sinistra.
Si consideri una funzione reale di variabile reale limitata e definita su un intervallo sull'asse delle ascisse. Quando si procede a calcolare l'integrale di su, allora è dettafunzione integranda e l'intervallo è dettointervallo di integrazione e gli estremi e sono dettiestremi di integrazione. La figura che ha per bordi ilgrafico di, l'asse delle ascisse e i segmenti verticali condotti dagli estremi dell'intervallo di integrazione agli estremi del grafico della funzione è dettatrapezoide. Il valore dell'integrale della funzione calcolato sull'intervallo di integrazione è uguale all'area (con segno) del trapezoide, cioè ilnumero reale che esprime tale area orientata viene chiamato integrale (definito) della funzione esteso all'intervallo di integrazione. Con il termine "integrale" o "operatore integrale" si indica anche l'operazione stessa che associa il valore dell'area orientata alla funzione.
Sono stati ideati diversi modi per definire in modo rigoroso l'integrale; a seconda della procedura adottata cambia anche l'insieme delle funzioni che è possibile misurare con un integrale. Un metodo è quello di "approssimare" il grafico della funzione con una linea costituita da uno o più segmenti, in modo che la figura si può scomporre in uno o più trapezi di cui è facile calcolare l'area: lasomma algebrica delle aree di tutti i trapezi è allora l'integrale cercato. Un tale approccio è utilizzato per definire l'integrale di Riemann, in cui il calcolo dell'area viene eseguito suddividendo la figura in sottili strisce verticali ottenendo così dei rettangoli. Nello specifico, dividendo un intervallo di integrazione in intervalli del tipo, per, e con e, per ciascun intervallo si può considerare un punto la cui immagine è. Si costruisce allora il rettangolo che ha per base l'intervallo e per altezza. La figura costituita da tutti i rettangoli così costruiti è dettaplurirettangolo e l'area del plurirettangolo è dettasomma integrale di Cauchy osomma integrale di Riemann-Darboux:
Se al diminuire dell'ampiezza degli intervalli i valori così ottenuti si concentrano in unintorno sempre più piccolo di un numero, la funzione è integrabile sull'intervallo e è il valore del suo integrale.
Se lafunzione integrabile è positiva allora l'integrale assume il significato diarea della regione:
Se lafunzione cambia segno su allora l'integrale rappresenta unasomma diaree con segno diverso.
L'integrale di Lebesgue consente di integrare una più vasta classe di funzioni rispetto all'integrale di Riemann. Per mostrare la relazione tra i due integrali è necessario utilizzare la classe dellefunzioni continue asupporto compatto, per le quali l'integrale di Riemann esiste sempre. Siano e due funzioni continue a supporto compatto su. Si può definire la lorodistanza nel seguente modo:[1]
Munito della funzione distanza, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è unospazio metrico. Ilcompletamento di tale spazio metrico è l'insieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.[2][3]
In letteratura esistono diversi altri operatori di integrazione, tuttavia essi godono di minore diffusione rispetto a quelli di Riemann e Lebesgue.
Sia l'insieme delle funzioni limitate econtinue a tratti sull'intervallo, e tali da essere continue da destra:
Lanorma di tali funzioni può essere definita come:
Consideriamo punti. L'insieme viene detto partizione di. Costruiamo gli intervalli. Sia lafunzione indicatrice del-esimo intervallo della partizione. Consideriamo inoltre numeri reali. Chiamiamofunzione costante a tratti, o funzione a scala, una funzione che vale in per ogni. Esplicitamente:
Osserviamo che la funzione è definita solo nell'intervallo, ma possiamo definire. Osserviamo inoltre che le funzioni a scala così definite sono continue da destra e continue a tratti in.
Ogni funzione a scala si può scrivere in forma compatta:
Si può dimostrare che somma e prodotto di funzioni a scala è ancora una funzione a scala. In particolare l'insieme delle funzioni a scala definite nell'intervallo costituisce unospazio vettoriale normato, con norma data da:
Si dimostra che unoperatore lineare limitato che mappa unospazio vettoriale normato in uno spazio normatocompleto può essere sempre esteso in modo unico a un operatore lineare limitato che mappa il completamento dello spazio di partenza nel medesimo spazio di arrivo. Poiché i numeri reali costituiscono un insieme completo, l'operatore può quindi essere esteso a un operatore che mappa il completamento di in.
Si definisce integrale di Riemann-Darboux l'operatore, e si indica con:[5]
Sia unamisura su unasigma-algebra di sottoinsiemi di un insieme. Ad esempio, può essere unn-spazio euclideo o un qualche suo sottoinsiemeLebesgue-misurabile, la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di e la misura di Lebesgue.
Nella teoria di Lebesgue gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamatefunzioni misurabili. Una funzione è misurabile se lacontroimmagine di ogni insieme aperto del codominio è in, ossia se è un insieme misurabile di per ogni aperto.[6] L'insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, e in particolare la classe è chiusa rispetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni.
L'integrale di Lebesgue di una funzione semplice è definito nel seguente modo:
Sia una funzione misurabile non negativa su a valori sullaretta reale estesa. L'integrale di Lebesgue di sull'insieme rispetto alla misura è definito nel seguente modo:[8]
dove l'estremo superiore è valutato considerando tutte le funzioni semplici tali che. Il valore dell'integrale è un numero nell'intervallo.
L'insieme delle funzioni tali che:
è detto insieme delle funzioni integrabili su secondo Lebesgue rispetto alla misura, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con.
Anche l'integrale di Lebesgue è unfunzionale lineare, e considerando una funzione definita su un intervallo ilteorema di Riesz permette di affermare che per ogni funzionale lineare su è associata unamisura di Borel finita su tale che:[9]
In questo modo il valore del funzionale dipende con continuità dalla lunghezza dell'intervallo di integrazione.
Sia un vettore nel campo reale. Un insieme del tipo:
è detto-cella. Sia definita su una funzione continua a valori reali, e si definisca:
Tale funzione è definita su ed è a sua volta continua a causa della continuità di. Iterando il procedimento si ottiene una classe di funzioni continue su che sono il risultato dell'integrale di rispetto alla variabile sull'intervallo. Dopo volte si ottiene il numero:
Si tratta dell'integrale di su rispetto a, e non dipende dall'ordine con il quale vengono eseguite le integrazioni.
In particolare, sia. Allora si ha:
Inoltre, sia unafunzione a supporto compatto e si ponga che contenga il supporto di. Allora è possibile scrivere:
Nell'ambito della teoria dell'integrale di Lebesgue è possibile estendere questa definizione a insiemi di funzioni più ampi.
Una proprietà di notevole importanza dell'integrale di una funzione in più variabili è la seguente. Siano:
L'integrando ha un supporto compatto grazie all'invertibilità di, dovuta all'ipotesi per ogni che garantisce la continuità di in per ilteorema della funzione inversa.
dove il termine indica che l'integrale è effettuato su un'ascissa curvilinea. Se il dominio della funzione è, l'integrale curvilineo si riduce al comuneintegrale di Riemann valutato nell'intervallo. Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gliintegrali ellittici di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza dellacurva di Lorenz.
Si suddivida l'intervallo in sottointervalli di uguale ampiezza:
Si scelga in ogni intervallo un punto interno a e si definisce la somma integrale:
Ponendo e il massimo e il minimo di in ogni intervallo si costruiscono quindi le somme:
All'aumentare di, si ha che diminuisce e cresce. Essendo allora le duesuccessionimonotone, esse ammettono un limite, il quale è finito. Sia ora:
Si ha che:
Per ilteorema di esistenza del limite di successioni monotone risulta e, con. All'affinarsi della partizione di risulta, infatti è possibile fissare un piccolo a piacere e un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare:
poiché per la continuità uniforme di si ha:
Cioè, per un numero di suddivisioni abbastanza elevato:
Per il teorema del confronto delle successioni si ha:
ossia:
da cui, data l'arbitrarietà del fattore, risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero. Da questo segue che:
In definitiva, essendo:
per il teorema del confronto risulta, da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto allora l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli, ovvero la funzione è integrabile.
Una funzione si dice assolutamente integrabile su unintervallo aperto del tipo se su tale intervallo è integrabile. Non tutte le funzioni integrabili sono assolutamente integrabili: un esempio di funzione di questo tipo è. Viceversa, il teorema sull'esistenza degli integrali impropri all'infinito garantisce che una funzione assolutamente integrabile sia integrabile su un intervallo del tipo.
Il teorema di Vitali-Lebesgue è un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio che sianointegrabili secondo Riemann. Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italianoGiuseppe Vitali contemporaneamente e indipendentemente con il matematico franceseHenri Lebesgue.
Data una funzione su che sialimitata e nulla al di fuori di unsottoinsieme limitato di, essa è integrabile secondo Riemann se e solo se è trascurabile l'insieme dei suoipunti di discontinuità. Se si verifica questo, la funzione è ancheintegrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono. Nel caso in cui l'enunciato assume la seguente forma: una funzione limitata in un intervallo è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è dimisura nulla rispetto allamisura di Lebesgue.[12]
Ilproblema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. Nel caso in cui sia una primitiva di (cioè se) allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:
che differisca da per una costante arbitraria, risulta essere primitiva di. Infatti:
Quindi, se una funzione ammette primitiva allora esiste un'intera classe di primitive del tipo:
Viceversa, tutte le primitive di sono della forma.
L'insieme delleprimitive di una funzione si chiamaintegrale indefinito di tale funzione. Il simbolo:
denota l'integrale indefinito della funzione rispetto a e rappresenta un insieme di funzioni. La funzione è detta anche in questo casofunzione integranda. In un certo senso (non formale), si può vedere l'integrale indefinito come "l'operazione inversa della derivata". Tuttavia, da un punto di vista formale, la derivazione non è iniettiva e quindi non è invertibile e l'operatore integrale restituisce l’insieme delle primitive che è vuoto oppure contiene infiniti elementi.
Ognifunzione continua in un intervallo ammette primitiva, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva, allora l'integrale indefinito di è:
Sia una funzione definita su un intervallo. Se la funzione èintegrabile su ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in, al variare dell'intervallo varia il valore dell'integrale. Si ponga, dove è fissato e l'altro estremo è variabile: l'integrale di su diventa allora una funzione di. Tale funzione si dicefunzione integrale di ointegrale diTorricelli, e si indica con:
La variabile di integrazione è dettavariabile muta, e varia tra e.
La seconda parte del teorema è dettasecondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.
e tale relazione è dettaformula fondamentale del calcolo integrale.
Sia continua e definita in un intervallo e sia. Allora:
Dimostrazione
Infatti, dalla definizione si ha che:
da cui se si ha esistono un valore e un valore la cui somma è tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti:
Distribuendo la misura dell'intervallo:
in cui. Considerando l'intervallo, l'indice può essere riscritto come in quanto è il valore superiore del primo intervallo della partizione di. Ricordando che:
Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e tali che in. Allora:
Dimostrazione
Infatti, se si verifica che nel compatto, effettuando una partizione di tale intervallo la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore si ottiene:
per ogni. A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente:
Come conseguenza del corollario delteorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata:
Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.
L'integrazione di una funzione reale è un calcolo matematico di non semplice risoluzione generale. Il caso più semplice si ha quando si riconosce la funzione integranda essere laderivata di una funzione nota. In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la ricerca della primitiva dell'integranda sono queste due:
se l'integranda è il prodotto di due funzioni, l'integrazione per parti riduce l'integrale alla somma di una funzione e un altro integrale che può ricondursi al caso più semplice descritto sopra in cui l'integranda è la derivata di una funzione nota;
se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l'integrazione per sostituzione riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di differenziabilità che dipende dalla trasformazione in gioco.
Un metodo che consente di ottenere lastima asintotica di una somma è l'approssimazione di una serie tramite il suo integrale. Sia una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni e ogni intero si ha:
Infatti, se la proprietà è banale, mentre se si osserva che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di, e che per ogni vale la relazione:
Sommando per si ottiene dalla prima disuguaglianza:
mentre dalla seconda segue che:
Aggiungendo ora e alle due somme precedenti si verifica la relazione.
Accanto agli integrali di Riemann e Lebesgue sono stati introdotti diversi altri operatori integrali. L'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, ed è a sua volta generalizzato dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes, che è anche un'estensione dell'integrale di Lebesgue.
Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, alcune delle quali sono dovute aDenjoy,Perron,Henstock e altri. I tre nominati condividono la validità delteorema fondamentale del calcolo integrale in una forma più generale rispetto alla trattazione di Riemann e Lebesgue.
Il primo in ordine cronologico a essere introdotto è stato l'integrale di Denjoy, definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza lefunzioni assolutamente continue. Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato lasua definizione con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux. In ultimo,Ralph Henstock e (indipendentemente)Jaroslaw Kurzweil forniscono una terza definizione equivalente, detta ancheintegrale di gauge: essa sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.
L'integrale diItō fa parte dell'analisi di Itō per iprocessi stocastici. In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni, una delle quali è la seguente:
dove è ilprocesso di Wiener. L'integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto il processo di Wiener havariazione totale infinita. In particolare, gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti. L'utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvoltiintegrali stocastici, che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (come il moto aleatorio delle particelle o il prezzo delle azioni nei mercati finanziari) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell'evoluzione del fenomeno stesso.
In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale si può effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare. A questo scopo possono essere d'aiuto letavole d'integrazione. Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula:
la cui derivata coincide proprio con. Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione e integrandola si ottiene:
Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
esattamente lo stesso risultato ottenuto in precedenza.
Si supponga di fissare unsistema di riferimento cartesiano attraverso leretteortogonali e orientate delle ascisse e delle ordinate. Si supponga ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è. Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto situato sull'asse delle ascisse. Si supponga per semplicità che i punti e si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi. Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto è uguale all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza uguale a, base maggiore e base minore. L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula, ovvero.
Nell'ottica del calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto si effettua una partizione di tale intervallo, dividendolo in parti uguali:
Nel generico intervallo si sceglie come punto arbitrario il punto più esterno (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione nel generico punto interno all'intervallo. Si avrà quindi, e la somma integrale di Riemann diventa:
nella quale la progressione aritmetica restituisce un'espressione delle somme di Riemann uguale a:
Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:
Calcolando il limite per, dato che, si ottiene:
dalla quale, eseguendo la somma si ricava:
la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta sul piano insieme all'asse delle ascisse.
(EN) Walter Rudin,Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970,ISBN0-07-054234-1.
(EN) Michael Reed, Barry Simon,Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980,ISBN0-12-585050-6.
