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Sigma-algebra

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Inmatematica, unaσ-algebra (pronunciatasigma-algebra) otribù (termine introdotto dal gruppoBourbaki) su di uninsieme $\Omega$ è una famiglia di sottoinsiemi di $\Omega$ che ha delleproprietà di chiusura rispetto ad alcune operazioni insiemistiche, in particolare l'operazione diunione numerabile e dipassaggio al complementare. La struttura di σ-algebra è particolarmente utile nellateoria della misura e in quella dellaprobabilità ed è alla base di tutte le nozioni di misurabilità, sia di insiemi che difunzioni. Essa è un caso particolare dialgebra di insiemi e, rispetto a quest'ultima, è utilizzata molto più ampiamente inanalisi matematica (per via delle numerose proprietà che lemisure definite su σ-algebre hanno rispetto alle operazioni dipassaggio al limite).

Le σ-algebre che ricorrono più spesso in matematica sono laσ-algebra boreliana e laσ-algebra di Lebesgue. Anche storicamente queste due classi di σ-algebre hanno motivato lo sviluppo del concetto stesso di σ-algebra, nato a cavallo diXIX secolo eXX secolo col fine di formalizzare la teoria della misura. Esso, infatti, precisa l'idea euristica di evento o insieme misurabile. Molte importanti strutture astratte, al centro dei progressi della matematica dell'ultimo secolo, sono definibili mediante σ-algebre.^[1]

Definizione e prime proprietà

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Dato un insieme $\Omega$ , si definisce σ-algebra su $\Omega$ una famiglia ${\mathfrak {F}}$ di sottoinsiemi di $\Omega$ tale che:^[2]

L'insieme $\Omega$ appartiene a ${\mathfrak {F}}$ .
Se un insieme $A {\displaystyle A}$ è in ${\mathfrak {F}}$ , allora il suocomplementare è in ${\mathfrak {F}}$ .
Se gli elementi $A_{i}$ di una famiglianumerabile di insiemi $\{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ sono in ${\mathfrak {F}}$ , allora la lorounione:

A=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}

appartiene a

{\mathfrak {F}}

Se ${\mathfrak {F}}$ è una σ-algebra su $\Omega$ , allora $\Omega$ si dicespazio misurabile e gli elementi di ${\mathfrak {F}}$ sono dettiinsiemi misurabili in $\Omega$ .^[2]

Una σ-algebra, in particolare, è un'algebra di insiemi, poiché la terza condizione sopraindicata implica la stabilità per unionefinita richiesta nella definizione di struttura di algebra. In tal caso si richiede la stabilità anche per unioni numerabili, da cui l'identificativo σ, un'abbreviazione persuccessione.

Dalla definizione segue che:^[3]

L'insieme vuoto appartiene a ${\mathfrak {F}}$ , essendo il complementare di $\Omega$ .
Una σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ è stabile perintersezione numerabile. Infatti, se $A_{i}\in {\mathfrak {F}}$ per ogni $i\in \mathbb {N}$ , allora:

\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{c}\right)^{c}\in {\mathfrak {F}}.

Se gli insiemi $A {\displaystyle A}$ e $B {\displaystyle B}$ appartengono a ${\mathfrak {F}}$ , allora:

A-B=B^{c}\cap A\in {\mathfrak {F}}.

Date due σ-algebre ${\mathfrak {F}}$ , ${\mathfrak {G}}$ su di uno stesso insieme $\Omega$ , si dice che ${\mathfrak {F}}$ èmeno fine di ${\mathfrak {G}}$ se ${\mathfrak {F}}$ è contenuta in ${\mathfrak {G}}$ , ovvero se ogni sottoinsieme $E\subset \Omega$ appartenente ad ${\mathfrak {F}}$ appartiene anche a ${\mathfrak {G}}$ . La relazioneessere meno fine di definisce unordinamento parziale sull'insieme delle σ-algebre su di un dato insieme $\Omega$ .

Dati due insiemi $(\Omega _{1},{\mathfrak {F}})$ e $(\Omega _{2},{\mathfrak {G}})$ , dove ${\mathfrak {F}}$ e ${\mathfrak {G}}$ sono le rispettive sigma-algebre, la sigma-algebra ${\mathfrak {F}}\otimes {\mathfrak {G}}$ è costituita da sottoinsiemi delprodotto cartesiano $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ , ed è la più piccola sigma-algebra che contiene $\{R\times F:R\in {\mathfrak {F}},F\in {\mathfrak {G}}\}$ .

Strutture definite utilizzando σ-algebre

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La nozione di σ-algebra fornisce la possibilità di costruire strutture matematiche più complesse a partire da essa. Le seguenti strutture fondamentali, largamente studiate durante ilXX secolo, stanno alla base della teoria della misura e dell'integrale di Lebesgue.

Spazio misurabile

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Lo stesso argomento in dettaglio:Spazio misurabile.

Uno spazio misurabile è una coppia $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ costituita da un insieme non vuoto $\Omega$ ed una σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ su $\Omega$ . Gli elementi di ${\mathfrak {F}}$ sono detti insiemi misurabili di $\Omega$ .^[2] Gli spazi misurabili formano unacategoria, i cuimorfismi sono lefunzioni misurabili. L'insieme $\Omega$ è chiamato a voltespazio campionario, soprattutto nelle applicazioni inerenti allastatistica e laprobabilità.

Spazio di misura

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Lo stesso argomento in dettaglio:Spazio di misura.

Si definisce spazio di misura unospazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$ dotato di unamisura $\mu$ positiva definita sulla σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ costituita da sottoinsiemi misurabili di $X {\displaystyle X}$ .^[4] Un tale spazio si rappresenta con una terna $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ .

Se $|\mu |(X)<\infty$ lo spazio di misura si dicefinito. Se inoltre $X {\displaystyle X}$ può scriversi comeunione numerabile di insiemi:

X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}

di misura finita, cioè tali che $|\mu |(X_{i})<\infty$ , allora lo spazio misurabile si diceσ-finito.

Il "completamento" di uno spazio di misura si ottiene aggiungendo agli insiemi di misura nulla tutti i loro sottoinsiemi. Il completamento della σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ di uno spazio di misura è cioè la più piccola σ-algebra che contiene ${\mathfrak {F}}$ e tutti i sottoinsiemi degli insiemi di ${\mathfrak {F}}$ che hanno misura nulla.

Funzioni misurabili

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Lo stesso argomento in dettaglio:Funzione misurabile.

Siano $(X,{\mathfrak {F}})$ e $(Y,{\mathfrak {G}})$ duespazi misurabili. Unafunzione $f\colon X\to Y$ viene detta misurabile o $({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})$ -misurabile se $f^{-1}(V)\in {\mathfrak {F}}$ per ogni $V\in {\mathfrak {G}},$ cioè se per ogniinsieme misurabile $V {\displaystyle V}$ di $Y {\displaystyle Y}$ lacontroimmagine $f^{-1}(V)$ è uninsieme misurabile di $X {\displaystyle X}$ :^[2]

f^{-1}(A)\in {\mathfrak {F}},\qquad \forall A\in {\mathfrak {G}}.

Utilizzando il linguaggio dellateoria delle categorie si può definire una funzione misurabile come unmorfismo di spazi misurabili.

Sistema dinamico

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Lo stesso argomento in dettaglio:Sistema dinamico.

Sia $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ uno spazio misurabile, $S {\displaystyle S}$ unsemigruppo e, per ogni $s\in S$ , sia $T_{s}:\Omega \mapsto \Omega$ un'applicazione misurabile con la proprietà che $T_{s}\circ T_{t}=T_{st}$ . In altri termini, $T {\displaystyle T}$ è un'azione misurabile di $S {\displaystyle S}$ su $\Omega$ . La terna $(\Omega ,{\mathfrak {F}},T)$ è detta sistema dinamico.

Principali risultati

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Data una famiglia $\left\{{\mathfrak {F}}_{\alpha }\right\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ qualunque di σ-algebre, si verifica che la lorointersezione:

{\mathfrak {F}}_{\mathcal {A}}:=\bigcap _{\alpha \in {\mathcal {A}}}{\mathfrak {F}}_{\alpha }

è ancora una σ-algebra. Essa è la più grande σ-algebra contenuta in tutte le algebre ${\mathfrak {F}}_{\alpha }$ , ossia se ${\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\alpha }$ per ogni $\alpha \in {\mathcal {A}}$ , allora ${\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\mathcal {A}}$ .

Pertanto, data una famiglia qualsiasi ${\mathfrak {G}}$ di sottoinsiemi di $\Omega$ , si può considerare la σ-algebra generata da ${\mathfrak {G}}$ come l'intersezione di tutte le σ-algebre contenenti ${\mathfrak {G}}$ . Dunque, dalla definizione stessa di σ-algebra generata da ${\mathfrak {G}}$ segue che essa è la più piccola σ-algebra contenente ${\mathfrak {G}}$ . Questa osservazione è molto utilizzata per la costruzione di misure, in quanto consente di definire una σ-algebra semplicemente fornendo una famiglia di insiemi che la generano. La σ-algebra generata da un insieme ${\mathfrak {G}}$ è spesso denotata $\sigma ({\mathfrak {G}})$ .

Nel caso di famiglie finite ${\mathfrak {G}}=\{G_{1},\ldots ,G_{n}\}$ , tale σ-algebra si può enumerare esplicitamente ponendo:

\sigma ({\mathfrak {G}})=\{\bigcup _{i=1}^{n}G_{i}^{*},G_{i}^{*}=G_{i},G_{i}^{C},n\in \mathbb {N} \}

echiudendo la famiglia rispetto alle operazioni di unione e complementare.

Unπ-sistema ${\mathcal {P}}$ è una famiglia non vuota di sottoinsiemi di $\Omega$ stabile per intersezione: se $A,B\in {\mathcal {P}}$ allora $A\cap B\in {\mathcal {P}}$ . Analogamente, una famiglia ${\mathcal {L}}$ di sottoinsiemi di $\Omega$ è detta unλ-sistema se:

$\Omega \in {\mathcal {L}}$ .
${\mathcal {L}}$ è chiusa per passaggio al complementare, ossia se $A\in {\mathcal {L}},$ allora $A^{c}\in {\mathcal {L}}$ .
${\mathcal {L}}$ è stabile per unioni numerabili disgiunte: se gli insiemi $A_{i}\in {\mathcal {L}}$ per $i\in \mathbb {N}$ sono a due a due disgiunti, allora:

\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {L}}.

In tale contesto, è possibile dimostrare in maniera elementare il teorema π-λ di Dynkin, che afferma che su un qualunque insieme $\Omega$ non vuoto, se un π-sistema ${\mathcal {P}}$ è contenuto in un λ-sistema ${\mathcal {L}}$ , allora l'intera σ-algebra generata da ${\mathcal {P}}$ è contenuta in ${\mathcal {L}}$ . Ossia ${\mathcal {P}}\subset {\mathcal {L}}$ implica $\sigma ({\mathcal {P}})\subset {\mathcal {L}}$ .

Tale teorema è molto spesso utilizzato in teoria della misura^[5]. Ad esempio, ne segue che è sufficiente assegnare i valori di una misura $\mu$ su di un λ-sistema contenente un π-sistema ${\mathcal {P}}$ per costruire lospazio di misura $\left(\Omega ,\sigma ({\mathcal {P}}),\mu \right)$ . Infatti, proprio per il teorema π-λ diDynkin, la misura $\mu$ è ben definita su tutto $\sigma ({\mathcal {P}})$ .

Esempi ed applicazioni

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Dato un qualunque insieme non vuoto $\Omega$ , la famiglia di sottoinsiemi ${\mathfrak {F}}_{0}=\{\varnothing ,\Omega \}$ è una σ-algebra. Anche la famiglia ${\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}$ costituita da tutti i sottoinsiemi di $\Omega$ (insieme delle parti) è una σ-algebra. Queste sono rispettivamente la più piccola e la più grande σ-algebra su $\Omega$ ; ossia se ${\mathfrak {F}}$ è una σ-algebra su $\Omega$ , allora ${\mathfrak {F}}_{0}\subset {\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}$ . In genere, queste due σ-algebre sono detteimproprie obanali.
Ogni algebra di insiemi composta da un numero finito di elementi è una σ-algebra, in quanto non ci sono famiglie di insiemi con un numero infinito di elementi (si vedanogli esempi alla voce algebra di insiemi).
Dato un qualunque insieme non vuoto $\Omega$ , la famiglia composta da tutti i sottoinsiemi di $\Omega$ che hannocardinalità numerabile o il cui complementare abbia cardinalità numerabile è una σ-algebra. Essa è distinta dall'insieme delle parti di $\Omega$ se e solo se $\Omega$ è non numerabile.
Si consideri l'insieme deinumeri reali, o più in generale $\mathbb {R} ^{n}$ , con la usualetopologia euclidea ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ (ossia ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ è la famiglia dei sottoinsiemi aperti di $\mathbb {R} ^{n}$ ). Si definisceσ-algebra boreliana la σ-algebra generata da ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ , in genere denotata con ${\mathfrak {B}}=\sigma ({\mathcal {\mathrm {T} }})$ . Gli elementi di ${\mathfrak {B}}$ sono dettiboreliani, e si può dimostrare che essi hanno lacardinalità del continuo (dunque, i sottoinsiemi boreliani sono "pochi" rispetto a tutti i sottoinsiemi della retta reale che hanno un cardinalità superiore a quella dei reali stessi). Sulla σ-algebra boreliana si possono definire molte delle misure (sull'asse reale) comunemente utilizzate. È anche interessante notare che la nozione di σ-algebra è nata storicamente proprio dalla generalizzazione di questa costruzione.
Più in generale, la costruzione di σ-algebra boreliana si può effettuare su qualunquespazio topologico $(X,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ semplicemente ponendo ${\mathfrak {B}}=\sigma ({\mathcal {\mathrm {T} }})$ . Questa σ-algebra è utilizzata per costruire misure in spazi più generali della retta reale. Ad esempio, lamisura di Haar sugruppi topologici localmente compatti è definita proprio mediante la σ-algebra boreliana del gruppo. Analogamente, la nozione didualità trafunzioni continue e misure su di uno spazio topologico si costruisce (in spazi sufficientemente regolari) proprio equipaggiando lo spazio con la sua σ-algebra boreliana.
Nel caso in cui $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ , è talvolta utilizzata una σ-algebra molto più ampia di quella boreliana: laσ-algebra di Lebesgue. Essa è definita come il completamento della σ-algebra boreliana rispetto allamisura di Borel, ed è fondamentale per la costruzione della celebremisura di Lebesgue. La σ-algebra di Lebesgue ha cardinalità superiore a quella del continuo: naturalmente essa è contenuta nell'insieme delle parti dei numeri reali (si veda il primo esempio sopra). È tuttavia lecito chiedersi se vi siano sottoinsiemi dei numeri reali che non appartengono alla σ-algebra di Lebesgue. Tali sottoinsiemi sono anche dettiinsiemi non misurabili secondo Lebesgue, e l'esistenza di tali sottoinsiemi è legata all'assioma della scelta, ovvero essi si possono costruire se e solo se si assume tale assioma. Un esempio di tali insiemi è l'insieme di Vitali.
Unatopologia di un insieme non è necessariamente una σ-algebra dato che potrebbe non contenere i loro complementari.

Note

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^Un breve resoconto dello sviluppo storico della teoria della misura e dell'integrazione si trova in Boyer,History of Mathematics, cap. 28. Per un'introduzione alle idee della teoria della misura si veda Billingsley,Probability and measure. Una presentazione generale, ma più astratta, è data anche in Cohn,Measure Theory. Un classico testo introduttivo è Halmos,Measure Theory.
^^a^b^c^dW. Rudin, Pag. 8.
^W. Rudin, Pag. 10.
^W. Rudin, Pag. 16.
^Alcune esempi sono dati in Vestrup,The Theory of Measures and Integration cap. 3 e cap. 11

Bibliografia

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Walter Rudin,Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970,ISBN 0-07-054234-1.
Patrick Billingsley,Probability and measure, 3rd edition, New York,John Wiley & Sons, 1995,ISBN 0-471-00710-2, ..
Carl B. Boyer,History of Mathematics, 2nd edition, New York,John Wiley & Sons, 1989,ISBN 0-471-54397-7.
Donald L. Cohn,Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980,ISBN 0-8493-7157-0.
Paul R. Halmos,Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974,ISBN 0-387-90088-8.
Eric M. Verstrup,The Theory of Measures and Integration, Hoboken,John Wiley & Sons, 2003,ISBN 0-471-24977-7.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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sigma-algebra, inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Eric W. Weisstein,Sigma-Algebra, suMathWorld, Wolfram Research.
(EN)Sigma-algebra, suEncyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN)σ-algebra, inPlanetMath.

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