Il concetto digruppo spaziale è nato nell'ambito dello studio delle disposizioni nello spazio di oggetti tridimensionali. L'argomento è stato affrontato da alcuni matematici nelXIX secolo, in particolareBarlow,Fedorov,Sohncke eSchoenflies.
Essi provarono a combinare tutte leclassi di simmetria puntuale possibili con le operazioni traslazionali sia semplici che complesse (piani di scorrimento e assi di roto-traslazione) ed ottennero tutte le possibili disposizioni in uno spazio a tre dimensioni di oggetti tridimensionali.
Si poté così dimostrare che ciascun oggetto ordinato e periodico nelle tre dimensioni deve necessariamente appartenere ad uno di 230 gruppi spaziali.
Leoperazioni di simmetria di ognuno dei 230 gruppi spaziali, costituiscono ungruppo nel senso matematico del termine. In questo caso lalegge di combinazione è la semplice applicazione successiva delle operazioni di simmetria.
Per indicare il gruppo spaziale di appartenenza di un cristallo se ne può indicare il numero poiché ad ognuno di essi è stato convenzionalmente assegnato un numero progressivo (da 1 a 230).
In alternativa si può usare una simbologia composta da due parti:
Lo stesso argomento in dettaglio:Gruppo cristallino.Incristallografia, prendendo come riferimento per la classificazione i parametri delle facce deicristalli, si possono individuare tregruppi cristallini:
In 3 dimensioni, i gruppi spaziali sono formati dalla combinazione dei 32gruppi puntuali con i 14reticoli di Bravais, ognuno dei quali già appartiene ad uno dei 7sistemi cristallini. Ciò comporta come il gruppo spaziale possegga elementi tipici di questi tre sistemi.
Letraslazioni formano ungruppo abeliano di ordine 3, chiamato reticolo di Bravais. Questo determina le dimensioni e gli angoli dellacella primitiva del gruppo spaziale, nonché le sue caratteristiche di traslazione nello spazio.
Il piano glide (o slittopiano) consiste nella riflessione attraverso unpiano di simmetria ed una successiva traslazione parallelamente a quel piano. È denominatoa,b,c,n od a seconda dell'orientamento del piano rispetto alle assi primarie della cella elementare.
Questa asse di simmetria consiste nella rotazione attorno all'asse, seguita da una traslazione nella stessa direzione dell'asse. Viene denotata da un numero,N, a seconda del grado di rotazione (ad esempio, N=3 indica una rotazione di 120°). La quantità di traslazione è indicata con unpedice successivo al numeroN che indica quanto lunga è la traslazione in funzione della lunghezza del vettore fondamentale. Ad esempio, la dicitura 21 indica una rotazione di 180° seguita da una traslazione di lunghezza pari ad 1/2 rispetto al vettore fondamentale.
| # | Sistema cristallino | Gruppo puntuale | Gruppo spaziale (notazione internazionale) | |
|---|---|---|---|---|
| Hermann-Mauguin | Schoenflies | |||
| 1 | Triclino (2) | 1 | C1 | P1 |
| 2 | 1 | Ci | P1 | |
| 3–5 | Monoclino (13) | 2 | C2 | P2, P21, C2 |
| 6–9 | m | Cs | Pm, Pc, Cm, Cc | |
| 10–15 | 2/m | C2h | P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c | |
| 16–24 | Ortorombico (59) | 222 | D2 | P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121 |
| 25–46 | mm2 | C2v | Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2 | |
| 47–74 | mmm | D2h | Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma | |
| 75–80 | Tetragonale (68) | 4 | C4 | P4, P41, P42, P43, I4, I41 |
| 81–82 | 4 | S4 | P4, I4 | |
| 83–88 | 4/m | C4h | P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a | |
| 89–98 | 422 | D4 | P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122 | |
| 99–110 | 4mm | C4v | P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd | |
| 111–122 | 42m | D2d | P42m, P42c, P421m, P421c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2, I4m2, I4c2, I42m, I42d | |
| 123–142 | 4/mmm | D4h | P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd | |
| 143–146 | Trigonale (25) | 3 | C3 | P3, P31, P32, R3 |
| 147–148 | 3 | S6 | P3, R3 | |
| 149–155 | 32 | D3 | P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32 | |
| 156–161 | 3m | C3v | P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c | |
| 162–167 | 3m | D3d | P31m, P31c, P3m1, P3c1, R3m, R3c, | |
| 168–173 | Esagonale (27) | 6 | C6 | P6, P61, P65, P62, P64, P63 |
| 174 | 6 | C3h | P6 | |
| 175–176 | 6/m | C6h | P6/m, P63/m | |
| 177–182 | 622 | D6 | P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322 | |
| 183–186 | 6mm | C6v | P6mm, P6cc, P63cm, P63mc | |
| 187–190 | 6m2 | D3h | P6m2, P6c2, P62m, P62c | |
| 191–194 | 6/mmm | D6h | P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc | |
| 195–199 | Cubico (36) | 23 | T | P23, F23, I23, P213, I213 |
| 200–206 | m3 | Th | Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3 | |
| 207–214 | 432 | O | P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132 | |
| 215–220 | 43m | Td | P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d | |
| 221–230 | m3m | Oh | Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3d | |
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