Inalgebra, ungruppo risolubile è ungruppo che possiede unaserie normaleabeliana, ovvero tale che esiste unacatena disottogruppi
(dove è l'elemento neutro del gruppo) in cui ogni ènormale in e ilquoziente è abeliano. Se è ungruppo finito è equivalente richiedere che questi quozienti siano non solo abeliani, maciclici.
I gruppi risolubili prendono il nome dallateoria di Galois: infatti unpolinomio èrisolubile per radicali su uncampo dicaratteristica zerose e solo se il suogruppo di Galois su è risolubile.
Ogni gruppo abeliano è banalmente risolubile attraverso la serie. Altri esempi di gruppi di cui è facile dimostrare la risolubilità sono igruppi diedrali e ip-gruppi, cioè i gruppi con elementi (connumero primo); anche igruppi nilpotenti sono risolubili.
William Burnside dimostrò nel 1904 che sono risolubili tutti i gruppi di ordine, con e primi dispari; la sua congettura che questo valesse anche per tutti i gruppi di ordine dispari fu dimostrata nel 1963 daWalter Feit eJohn Griggs Thompson;[1] questo risultato, noto cometeorema di Feit-Thompson, fu un importante passo verso la classificazione deigruppi semplici finiti.
Il più piccolo gruppo non risolubile è ilgruppo alterno, con 60 elementi. Ogni gruppo semplice non abeliano, non possedendo sottogruppi normali, non è risolubile; altri esempi importanti di gruppi non risolubili sono igruppi simmetrici, per maggiore o uguale a; questi sono importanti nel contesto della teoria di Galois, in quanto ilpolinomio generale di grado ha comegruppo di Galois proprio, e quindi non è risolubile per radicali.
In virtù deiteoremi di isomorfismo, sia i sottogruppi che iquozienti di un gruppo risolubile sono risolubili; nessuno di questi due criteri può essere tuttavia invertito, in quanto ogni gruppo contiene sottogruppi abeliani (quindi risolubili) e ogni gruppo ha come quoziente, cioè il gruppo col solo elemento neutro, che è ovviamente risolubile. Combinare queste due proprietà dà tuttavia un criterio sufficiente: se è un sottogruppo (normale) di e sia che sono risolubili allora anche il gruppo è risolubile. Attraverso questa proprietà si dimostra che ilprodotto diretto di un numero finito di gruppi risolubili è ancora risolubile.
Una caratterizzazione dei gruppi risolubili può essere data anche attraverso la suaserie derivata: detto ilsottogruppo derivato di, cioè il sottogruppo generato daicommutatori di (gli elementi nella forma al variare di e in), un gruppo è risolubile se e solo se la successione
in cui ogni sottogruppo è il derivato del precedente, raggiunge il sottogruppo banale, oppure, in modo equivalente, se esiste un tale che
Per i gruppi finiti, la risolubilità equivale all'esistenza di unaserie di composizione i cui fattori siano tutti gruppi semplici abeliani; questo non vale per i gruppi infiniti, perché, ad esempio, sebbene degli interi sia risolubile (perché abeliano) ha ogni sottogruppo non banale isomorfo a sé stesso, e quindi non possiede una serie di composizione.
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