Inmatematica, igruppi di omotopia sono un oggetto algebrico che intuitivamente misura la quantità di "buchin-dimensionali" di uno spazio. Il gruppo di omotopia più usato è ilgruppo fondamentale, che corrisponde al cason=1. Pern>1 tali oggetti algebrici sono spesso difficilmente calcolabili anche per glispazi topologici più semplici, come ad esempio lesfere, e per questo motivo si usano spesso al loro posto i gruppi diomologia.
Scegliamo unpunto basep nella sferan-dimensionaleSn, ed un altro punto basex in un datospazio topologicoX. Definiamo quindi l'insieme πn(X,x) delleclassi diomotopia relativa dellemappef :Sn →X continue tali chef(p) =x. In altre parole, consideriamo due tali mappe equivalenti quando sono deformabili l'una nell'altra tramite mappe che mandano semprep inx.
Equivalentemente, possiamo definire πn(X,x) come l'insieme delle mappe continue dalcubon-dimensionale [0, 1]n inX che mappano tutto il bordo del cubo sul puntox, a meno di omotopia relativa al bordo (cioè due mappe sono equivalenti se sono deformabili l'una nell'altra tramite mappe che mandano sempre il bordo inx).Le due definizioni sono equivalenti perchéquozientando il bordo del cubo ad un punto si ottiene la sfera.
Pern ≥ 1, l'insieme πn(X,x) è in realtà ungruppo con l'operazione che a due mappef eg, ne associa un'altraf *g che le "incolla" nel modo seguente:quozientando l'equatore diSn ad un punto otteniamo unbouquetB di due sfere, e quindi una proiezionep:Sn →B che manda tutto l'equatore nel vertice del bouquet. Mappando le due sfere del bouquet suX tramitef eg (in modo che il vertice sia il punto base), e componendo con la proiezionep ottengo una nuova mappa, che chiamof *g (dobbiamo anche fissare un nuovo punto base sull'equatore).
Possiamo descrivere questa operazione in modo più rigoroso interpretandof eg come mappe dal cubo aX: consideriamo lo spazio
Definiamo una funzione continuah: C → X nel modo seguente: sul cubo di sinistrah èf, mentre su quello di destra èg. Le due funzioni coincidono sulla parete in comune {1} x [0, 1]n-1, che viene mappata tutta sux.
A questo punto "strizziamo"C per ottenere un altro cubo tramite la mappa
e quindi definiamo finalmentef *g comeh os. Notiamo che anchef *g manda tutto il bordo del cubo suX, e quindi è un elemento di πn(X,x). Infine, si verifica che sef' eg' sono funzioni omotope af eg, la funzione compostaf' *g' è omotopa af *g: questo garantisce che la classe dif *g sia effettivamente ben definita.
Usando le proprietà descritte sopra possiamo già calcolare i gruppi di omotopia di alcuni spazi semplici. Consideriamo solo spazi connessi per archi, per i quali π0 è un punto solo.
Più difficile è calcolare i gruppi di omotopia dellesfere, perché non sono contrattili: in molti casi ancora non si conoscono! Mancano infatti pern>1 degli strumenti fondamentali quali ilTeorema di Van Kampen, che funziona solo per il gruppo fondamentale. I gruppi di omotopia di ordine superiore sono generalmente più difficili da calcolare, benché siano abeliani.
Inoltre in molti casi questi gruppi si comportano in modo poco intuitivo, non rispondendo all'esigenza originaria di "contare i buchin-dimensionali". Ad esempio, quanto segue mostra che π3(S2) =Z: il terzo gruppo di omotopia della sfera bidimensionale non è banale.
Uno dei pochi strumenti a disposizione per calcolare i gruppi di omotopia è il seguente: sep :E →B unfibrato con fibraF allora c'è unasuccessione esatta lunga di gruppi di omotopia:
Le mappe sui π0 non sono omomorfismi perché i π0 non sono gruppi, ma sono esatte nel senso che l'immagine coincide con ilnucleo.
Un esempio in cui si applica la successione è lafibrazione di Hopf: SiaB =S2 edE = S3. Siap lafibrazione di Hopf, avente fibra S1. Dalla successione esatta lunga otteniamo:
ed il fatto che πn(S1) = 0 pern ≥ 2 implica che πn(S3) = πn(S2) pern ≥ 3. In particolare, π3(S2) = π3(S3) =Z.
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