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Commento:ci sono parecchie cose da controllare, ad esempio nella voce inglese si dà un'altra spiegazione dell'uso della lettera V

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Inteoria degli insiemi, si usa il terminegerarchia diVon Neumann per indicare una particolaresuccessione parametrizzata connumeri ordinali e definita perricorsione come segue:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{V}_0=\mathrm{\varnothing }\\ V_{\alpha +1}=\mathcal{P}(V_{\alpha })\\ V_{\lambda }=\bigcup _{\gamma \in \lambda }{V}_{\gamma }\text{con }\lambda \text{ limite}\end{array}}$

(Con${\displaystyle \mathcal{P}(A)}$ s'intende l'insieme delle parti di${\displaystyle A}$).

Osserviamo che, mentre dato un qualsiasi ordinale${\displaystyle \alpha }$ si ha che${\displaystyle V_{\alpha }}$ è un insieme, l'unione

${\displaystyle VN=\bigcup _{\alpha \text{ ordinale}}{V}_{\alpha }}$

non è un insieme, ma unaclasse propria, infatti chiaramente esiste una funzione classe${\displaystyle F:ORD\to VN}$ iniettiva, ma siccome${\displaystyle ORD}$ è una classe propria allora l'immagine iniettiva di una classe propria è una classe propria.

Valgono i seguenti fatti:

• ${\displaystyle x\in y\in V_{\alpha }\Rightarrow \mathrm{\exists }\beta \in \alpha \text{ tale che }x\in V_{\beta }}$
• ${\displaystyle \beta \le \alpha \Rightarrow V_{\beta }\subseteq V_{\alpha }}$
• ${\displaystyle \alpha \subseteq V_{\alpha }\text{ ma }\alpha \notin V_{\alpha }}$

La gerarchia di Von Neumann assume un particolare interesse se si considera l'assioma di fondazione, infatti si dimostrano i seguenti fatti inZFC\(Assioma di Fondazione):

${\displaystyle \text{Assioma di Fondazione}\iff VN=V}$

In altre parole, qualora si assuma per vero l'assioma di fondazione si ottiene${\displaystyle VN=V}$ (ricordiamo che con${\displaystyle V}$ indichiamo la classe propria di tutti gli insiemi.

È interessante osservare che la scelta della lettera${\displaystyle V}$ per designare tale classe, e quindi anche per indicare i vari insiemi della gerarchia, deriva dalla rappresentazione grafica a lato.

Questa raffigurazione permette anche di sottolineare la stretta relazione tra la gerarchia di Von Neumann e i concetti stessi diinsiemi eclassi: supponendo infatti di disegnare sul grafico alcune collezioni di oggetti, gli insiemi saranno sempre limitati da un elemento della gerarchia, le classi saranno tutte e sole le collezioni che "bucano" tutta la gerarchia verso l'alto.

Sia α ordinale, allora:

${\displaystyle |V_{\alpha }|=\{\begin{array}{l}{}^{\alpha }2=\underset{\alpha volte}{\underbrace{2^{2^{2^{{\cdot }^{\cdot }}}}}}se\alpha \in \omega \\ {\beth }_{\alpha -\omega }se\omega ⩽\alpha \wedge \alpha \in {\omega }^2\\ {\beth }_{\alpha }se\alpha ⩾{\omega }^2\end{array}}$

con${\displaystyle {}^{\alpha }2}$ latetrazione di 2 e${\displaystyle {\beth }_{\alpha }}$ ilnumero beth associato ad${\displaystyle \alpha }$.

Un qualsiasi elemento della gerarchia di Von Neumann, per come è definito, rispetta gran parte degliassiomi dellateoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel. Ad esempio sarà chiuso perunione, conterrà l'insieme vuoto (con l'eccezione di${\displaystyle V_0}$)...

Si potrebbe quindi sperare di trovare uno o più elementi della gerarchia che sianomodelli della ZF, ovvero rendano veri tutti gli assiomi. È interessare esaminare alcuni casi particolari:

• ${\displaystyle V_{\omega }}$ non rispetta l'assioma dell'infinito; infatti, sebbene${\displaystyle V_{\omega }}$ stesso sia infinito, tutti i suoi elementi sono finiti. Si dimostra facilmente che${\displaystyle V_{\omega }}$ rispetta tutti gli altri assiomi:${\displaystyle V_{\omega }\models ZF\setminus \{\text{AI}\}}$.
• dato un qualsiasi ordinale successore${\displaystyle \alpha =\beta +1}$,${\displaystyle V_{\alpha }}$ non rispetterà, tra gli altri, l'assioma della coppia: infatti${\displaystyle V_{\alpha }}$ conterrà${\displaystyle V_{\beta }}$ ma non ilsingoletto${\displaystyle \{V_{\beta }\}}$, che non è altro che la coppia${\displaystyle \{V_{\beta },V_{\beta }\}}$
• ${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$ rispetta l'assioma dell'infinito (contiene${\displaystyle \omega }$) e l'assioma della coppia (difatti${\displaystyle \omega +\omega }$ è un ordinale limite, il più piccolo dopo${\displaystyle \omega }$), ma non l'assioma di rimpiazzamento; infatti possiamo definire su ogni${\displaystyle n\in \omega }$ la funzione:

${\displaystyle f(n)=\omega +n}$

Nonostante la funzione sia ben definita${\displaystyle \mathrm{\forall }n\in \omega }$, l'immagine di${\displaystyle \omega }$ tramite questa funzione sarebbe${\displaystyle \{\omega +1,\omega +2,\omega +3,\omega +4\dots \}=\omega +\omega }$, che non è un elemento di${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$ (nonostante ne sia un sottoinsieme).

In ultima analisi, si dimostra che uncardinale inaccessibile (maggiore di${\displaystyle {\mathrm{\aleph }}_0}$) è tale che${\displaystyle V_{\alpha }}$ è un modello per ZF; il fatto che la loro esistenza sia indecidibile all'interno di ZF è in linea con ilsecondo teorema di incompletezza di Gödel, che afferma che una teoria sufficientemente potente non può provare la propria coerenza, e quindi non si può trovare un modello per la ZF nell'ambito della ZF stessa.

• F. R. Drake,Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic & the Foundations of Mathematics - Vol 76), 1974.

• Assioma di regolarità
• Numero ordinale (teoria degli insiemi)
• Numero beth

• (EN)von Neumann universe, suEnciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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• Teoria degli insiemi

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• Senza fonti - luglio 2017
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