Una donna insegna geometria in un'illustrazionetrecentesca
Lageometria (dal latinogeometrĭa e questo dalgreco antico:γεωμετρία?, composto dal prefissogeo- che rimanda alla parola greca γή = 'terra', 'terreno', e μετρία,metria, 'misura', quindi 'misurazione della Terra') è quella parte dellamatematica che si occupa delle forme nelpiano e nellospazio, e delle loro mutue relazioni.
In basso a sinistra nella tavola un disegno illustrativo dell'articolo di Lodovico Riva intitolatoDissertatio meteorologica. Cui accedit Solutio & constructio duorum problematum geometricorum, pubblicato del volume degliActa Eruditorum del 1736
La nascita della geometria si fa risalire all'epoca degliantichi Egizi.Erodoto racconta che, a causa dei fenomeni di erosione e di deposito dovuti alle piene delNilo, l'estensione delle proprietà terriere egiziane variavano ogni anno e dovevano quindi essere ricalcolate a fini fiscali. Nacque così il bisogno di inventare tecniche dimisura della terra (geometria, nel significato originario del termine).
Lo sviluppo della geometria pratica è molto antico, per le numerose applicazioni che consente e per le quali è stata sviluppata, e in epoche remote fu a volte riservata a una categoria di sapienti con attribuzioni sacerdotali. Presso l'Antica Grecia,soprattutto per via dell'influenza delfilosofo ateniesePlatone e, ancor prima di lui, diAnassimandro di Mileto[senza fonte], si diffuse massicciamente l'uso della riga e del compasso (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove) e, soprattutto, nacque l'idea nuova di usare tecniche dimostrative. Lageometria greca servì da base per lo sviluppo dellageografia, dell'astronomia, dell'ottica, dellameccanica e di altre scienze, nonché di varie tecniche, come quelle per lanavigazione.
La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nellospazio tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come "fili e fogli di carta senza spessore", e d'altro canto molti oggetti della vita reale vengono idealizzati tramite enti geometrici come iltriangolo o lapiramide. In questo modo, i teoremi forniscono fin dall'antichità degli strumenti utili per le discipline che riguardano lo spazio in cui viviamo:meccanica,architettura,geografia,navigazione,astronomia.
Unesagono nonconvesso. La somma degli angoli interni in un esagono è sempre 720°.
Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono lalunghezza, l'angolo e l'area. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere unangolo piatto, e l'area di unrettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti dibase ealtezza. Latrigonometria studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze.
I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un'area. In più, il poliedro ha unvolume. Si parla inoltre diangoli diedrali per esprimere l'angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume dellapiramide può essere espresso tramite l'area della figura di base e la lunghezza dell'altezza.
La geometria euclidea considera anche alcune figure curve. Le figure "base" sono lacirconferenza nel piano e lasfera nello spazio, definite come luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. Partendo da queste figure, ne vengono definite altre come ilcono. A queste figure vengono associate grandezze analoghe ai poliedri: si parla quindi di lunghezza della circonferenza, di area delcerchio e di volume della sfera.
L'intersezione nello spazio di un cono con un piano forma una nuova figura curvilinea: a seconda dell'inclinazione del piano, questa è unaellisse, unaparabola, un'iperbole o unacirconferenza. Questesezioni coniche sono le curve più semplici realizzabili nel piano. Ruotando una figura intorno ad una retta, si ottengono altre figure curve. Ad esempio, ruotando un'ellisse o una parabola si ottengono l'ellissoide ed ilparaboloide. Anche in questo caso, il volume dell'oggetto può essere messo in relazione con altre quantità. La geometria euclidea non fornisce però sufficienti strumenti per dare una corretta definizione di lunghezza e area per molte figure curve.
Unellissoide può essere rappresentato in geometria analitica come luogo di punti che soddisfano una certa equazione, del tipo, nelle variabili associate ai tre assi cartesiani.
Lageometria cartesiana (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l'algebra e l'analisi. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con dellecoordinate cartesiane. In questo modo ogni figura geometrica è descrivibile tramite una o piùequazioni (odisequazioni).
Rette e piani sono oggetti risultanti daequazioni di primo grado, mentre le coniche sono definite tramiteequazioni di secondo grado. Equazionipolinomiali di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi. Ilcalcolo infinitesimale permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L'integrale è un utile strumento analitico per determinare queste quantità. Si parla in generale quindi dicurve esuperfici nel piano e nello spazio.
Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti, chiamati "vettori", che possono essere sommati e riscalati.
Retta (passante per l'origine), piano (contenente l'origine) e spazio sono esempi dispazi vettoriali di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3: infatti ogni punto è esprimile rispettivamente con 1, 2 o 3 coordinate. La geometria cartesiana è facilmente estendibile alle dimensioni superiori: in questo modo si definiscono spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o più coordinate.
Grazie all'algebra lineare, lo studio delle rette e dei piani nello spazio può essere esteso allo studio deisottospazi di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria. Lo studio di questi oggetti è strettamente collegato a quello deisistemi lineari e delle loro soluzioni. In dimensione più alta, alcuni risultati possono contrastare con l'intuizione geometrica tridimensionale a cui siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo.
Due piani nello spazio sono paralleli oppure si intersecano in una retta, come in figura.
In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l'algebra lineare, si considerano infatti solo sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come laformula di Grassmann.
Nellageometria affine il ruolo predominante dell'origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo spazio affine è considerato (fino alla scoperta dellarelatività ristretta) come lo strumento migliore per creare modelli dell'universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o punti privilegiati.
DalXIX secolo in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di "abbellire" il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si aggiungono i "punti all'infinito" (creando così lageometria proiettiva), e si fanno variare le coordinate di un punto non solo neinumeri reali, ma anche in quellicomplessi.
La geometria proiettiva è la geometria "vista da un occhio". In questa geometria due rette si incontrano sempre.
Lageometria proiettiva nasce come strumento legato al disegno inprospettiva, e viene formalizzata nelXIX secolo come un arricchimento della geometria cartesiana. La geometria proiettiva include i "punti all'infinito" ed elimina quindi alcune casistiche considerate fastidiose, come la presenza di rette parallele.
In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti differenti della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto. La geometria proiettiva è anche un esempio dicompattificazione: similmente a quanto accade con laproiezione stereografica, aggiungendo i punti all'infinito lo spazio diventacompatto, cioè "limitato", "finito".
Varietà algebriche definite da alcuni semplici polinomi nel piano: duecirconferenze, unaparabola, unaiperbole, unacubica (definita da un'equazione di terzo grado).
NelXX secolo il concetto di varietà algebrica assume un'importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nelcampo deinumeri complessi: in questo caso, grazie alteorema fondamentale dell'algebra, un polinomio ha sempre delle radici.
Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i numeri complessi formano uncampo algebricamente chiuso) ha come conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto generale. Ad esempio, ilteorema di Bézout asserisce che due curve di grado e nel piano che non hanno componenti in comune si intersecanosempre in punti, contanti con un'opportuna molteplicità. Questo risultato necessita che il "piano" sia proiettivo e complesso. In particolare, è certamente falso nell'ambito classico della geometria analitica: due circonferenze non devono intersecarsi necessariamente in 4 punti, possono anche essere disgiunte.
Lo studio della geometria nello spazio proiettivo complesso aiuta anche a capire la geometria analitica classica. Le curve nel piano cartesiano reale possono ad esempio essere viste come "sezioni" di oggetti più grandi, contenuti nel piano proiettivo complesso, ed i teoremi generali validi in questo "mondo più vasto e perfetto" si riflettono nel piano cartesiano, pur in modo meno elegante. Come lo studio dellageometria affine fa largo uso dell'algebra lineare, quello delle varietà algebriche attinge a piene mani dall'algebra commutativa.
Lageometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici tramite l'analisi. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempiocurve esuperfici, cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè "senza spessore", e magari un po' curvi. Come la superficie terrestre, che all'uomo sembra piatta, benché non lo sia.
Questo concetto di "spazio curvo" è espresso tramite la nozione divarietà differenziabile. La sua definizione non necessita neppure di "vivere" in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nellarelatività generale per descrivere intrinsecamente laforma dell'universo. Una varietà può essere dotata di una proprietà fondamentale, lacurvatura, che viene misurata tramite oggetti matematici molto complessi, come iltensore di Riemann. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie, questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio dicurvatura gaussiana per le superfici.
Su una varietà dotata di curvatura, dettavarietà riemanniana, sono definite unadistanza fra punti, e legeodetiche: queste sono curve che modellizzano i percorsi localmente più brevi, come le rette nel piano, o imeridiani sulla superficie terrestre.
Con la geometria differenziale è possibile costruire un "piano" in cui valgono tutti ipostulati di Euclide, tranne ilquinto, quellodelle parallele. Questo postulato ha avuto un'importanza storica fondamentale, perché ci sono voluti 2000 anni per dimostrare la sua effettiva indipendenza dai precedenti. Asserisce che, fissati una retta ed un punto non contenuto in, esiste un'unica retta parallela a e passante per.
Unageometria non euclidea è una geometria in cui valgono tutti gli assiomi di Euclide, tranne quello delle parallele. Lasfera, con le geodetiche che giocano il ruolo delle rette, fornisce un esempio semplice di geometria non euclidea: due geodetiche si intersecanosempre in duepunti antipodali, e quindi non ci sono rette parallele. Un tale esempio di geometria è dettaellittica. Esistono anche esempi opposti, in cui ci sono "così tante" rette parallele, che le rette parallele a e passanti per sono infinite (e non una). Questo tipo di geometria è dettaiperbolica, ed è più difficile da descrivere concretamente.
Latopologia è infine lo studio delle forme, e di tutte quelle proprietà degli enti geometrici che non cambiano quando questi vengono deformati in modo continuo, senza strappi. La topologia studia tutti gli oggetti geometrici (definiti in modo algebrico, differenziale, o quant'altro) guardando solo la loro forma. Distingue ad esempio lasfera daltoro, perché quest'ultimo ha "un buco in mezzo". Studia le proprietà diconnessione (spazi "fatti di un pezzo solo") e dicompattezza (spazi "limitati"), e lefunzioni continue fra questi.
Le forme degli oggetti vengono codificate tramite oggetti algebrici, come ilgruppo fondamentale: ungruppo che codifica in modo raffinato la presenza di "buchi" in unospazio topologico.
Nel 1872Felix Klein elaborò un programma di ricerca, l'Erlanger Programm, in grado di produrre una grande sintesi delle conoscenze geometriche e integrarle con altri settori della matematica, quali lateoria dei gruppi.
Nella prospettiva di Klein unageometria consiste nello studio di proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad ungruppo di trasformazioni (geometria delle trasformazioni):
Lageometria euclidea si occupa di proprietà che sono invarianti rispetto aisometrie, cioè trasformazioni che preservano lunghezze e angoli.
Lageometria affine si occupa di proprietà che sono invarianti pertrasformazioni affini. In ambito di geometria affine non ha più senso il concetto di "angolo" o di "lunghezza" e tutti i triangoli sono "equivalenti".
Lageometria proiettiva studia le proprietà che sono invarianti pertrasformazioni proiettive, cioè trasformazioni che possono essere ottenute mediante proiezioni. In ambito proiettivo tutte leconiche sono equivalenti potendo essere trasformata l'una nell'altra da una proiezione.
Latopologia studia proprietà che sono invarianti perdeformazioni continue. Dal punto di vista topologico una tazza ed una ciambella diventano equivalenti potendo essere deformate l'una nell'altra ma rimangono distinte da una sfera che non può essere "bucata" senza una trasformazione discontinua.
Lageometria analitica e l'algebra lineare forniscono importanti collegamenti tra l'intuizione geometrica e il calcolo algebrico che sono diventati ormai una parte costitutiva di tutta la matematica moderna e delle sue applicazioni in tutte le scienze. Lageometria differenziale ha trovato importanti applicazioni nella costruzione dimodelli per lafisica e per lacosmologia. La geometria piana e dello spazio fornisce inoltre degli strumenti per modellizzare, progettare e costruire oggetti reali nello spazio tridimensionale: è quindi di fondamentale importanza inarchitettura e iningegneria come anche neldisegno e nellacomputer grafica.
esempio di raccordo tangenziale tra due quadriche di rotazione.
Lageometria descrittiva è una disciplina che permette, attraverso determinate costruzioni grafiche, dirappresentare oggetti tridimensionali già esistenti (rilievo) e/o da costruire (progettazione). L'applicazione informatizzata della geometria descrittiva permette oggi la creazione disuperfici e solidi, anche ad alta complessitàtridimensionale. Inoltre, e soprattutto, ne permette il controllo in modo inequivocabile di ogni loroforma edimensione. I maggiori campi d'impiego della geometria descrittiva sono quelli dell'architettura, dell'ingegneria e quelli deldesign industriale.
Boris A. Dubrovin, Sergej P. Novikov, Anatolij T. Fomenko,Geometria contemporanea - metodi e applicazioni, suddivisa in:
volume 1,Geometria delle superfici dei gruppi di trasformazioni e dei campi, Editori Riuniti, 2011.ISBN 978-88-6473-232-9
volume 2,Geometria e topologia delle varietà, Editori Riuniti, 2011.ISBN 978-88-6473-233-6
volume 3,Metodi della teoria delle omologie, Editori Riuniti, 2011.ISBN 978-88-6473-234-3
Nikolai I. Lobachevsky,Pangeometry, traduction et édition: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
