Inmatematica, unafunzione${\displaystyle f}$ definita su uninsieme arbitrario${\displaystyle X}$ e con valorireali ocomplessi si dicelimitata se la suaimmagine è uninsieme limitato. Detto esplicitamente, questo significa che esiste un numero reale positivo${\displaystyle R>0}$ tale che per ogni${\displaystyle x}$ in${\displaystyle X}$.

Nel caso specifico di unafunzione reale, una funzione è limitata se può assumere solo valori compresi in unintervallo. Questo vale a dire che esistono valori${\displaystyle a}$ e${\displaystyle b}$ tali che, per ogni valore di${\displaystyle x}$ per cui la funzione è definita,. Sempre per le funzioni reali, si indica comefunzione limitata superiormente una funzione il cui valore non può mai essere superiore ad un dato valore e comefunzione limitata inferiormente una funzione il cui valore non può mai essere minore di un dato valore.

La nozione di funzione limitata viene generalizzata da quella dioperatore limitato.

La funzione delseno, considerata come funzione dei numeri reali, è limitata: infatti i suoi valori sono compresi nell'intervallo [-1, 1]. Estesa al piano complesso, la funzione del seno invece è illimitata.

La funzione${\displaystyle f(x)=1/x}$, definita per ogni numero reale tranne 0, è illimitata, perché il suo valore assoluto può diventare arbitrariamente grande se il valore assoluto dix diventa sufficientemente piccolo. La funzione diventa limitata se si restringe il suo dominio per esempio all'intervallo${\displaystyle [1,+\mathrm{\infty })}$, così che i suoi valori siano compresi tra 0 e 1.

Gli ultimi due esempi mostrano che dipende anche dal dominio di una funzione se questa è limitata. Un nototeorema afferma che per unafunzione continua con valori in uno spazio metrico, è sufficiente sapere che il suo dominio ècompatto per dedurre che la funzione è limitata (p.es. Rudin 1976, capitolo 4, per le funzioni reali).

Lo stesso argomento in dettaglio:Operatore limitato.

La stessa definizione di cui sopra si può generalizzare immediatamente per funzioni a valori in un arbitrariospazio normato${\displaystyle (Y,\Vert \cdot \Vert )}$, sostituendo ilvalore assoluto con lanorma. Si può generalizzare ulteriormente per funzioni con valori in un arbitrariospazio metrico${\displaystyle (M,d)}$, definendo limitata ogni funzione${\displaystyle f:X\to M}$ che ammetta un puntoa inM e un numero positivoR > 0 tali che

per ognix inX.

Per vedere che l'ultima definizione coincide con quella precedente per uno spazio normato (ogni spazio normato è in maniera naturale anche uno spazio metrico, prendendo come distanza fra due punti la norma della loro differenza:${\displaystyle d(x,y)=\Vert x-y\Vert }$), è sufficiente applicare ladisuguaglianza triangolare per ottenere che

qualora; viceversa, una funzione limitata rispetto alla norma lo è anche rispetto alla metrica, ponendoa = 0.

Le funzioni limitate su un insiemeX formano unospazio vettoriale reale o complesso, a seconda del codominio considerato. Infatti per via delladisuguaglianza triangolare, la somma di due funzioni limitate è a sua volta limitata, e l'omogeneità della norma implica che anche il prodotto per uno scalare di una funzione limitata dà una funzione limitata.

Su questo spazio vettoriale, comunemente denotato daB(X), si può definire la norma

${\displaystyle \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in X}{sup}|f(x)|}$,

la cosiddettanorma uniforme. Laconvergenza rispetto a questa norma altro non è che laconvergenza uniforme di unasuccessione di funzioni.

Un caso importante è quello dellesuccessioni limitate, cioè seX è l'insieme deinumeri naturali. Questospazio di successioni viene denotato da${\displaystyle l^{\mathrm{\infty }}}$.

• Rudin, Walter:Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976,ISBN 0070856133

• Insieme limitato
• Funzione (matematica)
• Operatore limitato

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