Movatterモバイル変換

Forma indeterminata

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Nellamatematica, e in particolare nelcalcolo infinitesimale, le scritture:^[1]

{\frac {0}{0}},\qquad {\frac {\infty }{\infty }},\qquad 0\cdot \infty ,\qquad 1^{\infty },\qquad 0^{0},\qquad \infty ^{0},\qquad +\infty -\infty ,

individuano le cosiddetteforme indeterminate, che sono collezioni difunzioni di unavariabile reale esprimibilicomponendo (mediante una moltiplicazione, una divisione o un elevamento a potenza) due funzioni di variabile reale $f(x)$ e $g(x)$ aventi un determinato comportamento quando la variabile tende a un valore finito o infinito di aderenza per entrambi idomini delle funzioni.

Consideriamo in particolare la prima delle forme sopra introdotte; la funzione

{\frac {f(x)}{g(x)}}

relativamente al tendere della variabile $x {\displaystyle x}$ ad un opportuno elemento $x_{0}$ dell'insieme dei reali esteso $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ , si attribuisce alla forma ${\tfrac {0}{0}}$ se $f(x)$ e $g(x)$ tendono entrambe a $0 {\displaystyle 0}$ quando $x {\displaystyle x}$ tende a $x_{0}$ .

Può accadere che questa funzione rapporto si avvicini a un qualsiasi numero reale, a $+\infty$ o a $-\infty$ , oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sullaretta reale estesa; il suo comportamento dipende dalle caratteristiche delle funzioni $f {\displaystyle f}$ e $g {\displaystyle g}$ in vicinanza di $x_{0}$ . Ad esempio:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

mentre:

\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}-7}}=\lim _{x\to 49}{\frac {\left({\sqrt {x}}-7\right)\left({\sqrt {x}}\,+7\right)}{{\sqrt {x}}-7}}=14

La sostituzione diretta delle funzioni anumeratore e adenominatore con i corrispondenti limiti per entrambi i precedenti rapporti, porta ad attribuire la funzione alla forma indeterminata ${\tfrac {0}{0}}$ , mentre ilimiti di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a $1 {\displaystyle 1}$ e $14 {\displaystyle 14}$ rispettivamente.

Per altri rapporti che appartengono alla stessa forma indeterminata il limite non esiste.

Osservazioni simili valgono per le altre forme indeterminate indicate in precedenza.

In molti casi, qualche semplificazione algebrica, laregola di De L'Hôpital, o altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione fino ad un punto nel quale si riesce a valutare il limite.

Il calcolo deilimiti notevoli può essere inoltre svolto o semplificato grazie allastima asintotica.

Si noti che per qualsiasi $a {\displaystyle a}$ non nullo $a^{0}$ e ${\tfrac {a}{0}}$ (si vedaDivisione per zero) non sono forme indeterminate.

Risoluzione con la regola di De l'Hôpital

[modifica |modifica wikitesto]

Lo stesso argomento in dettaglio:Regola di De l'Hôpital.

Laregola di De l'Hôpital permette di risolvere direttamente le forme indeterminate sotto forma di quoziente, ovvero ${\frac {0}{0}}$ e ${\frac {\infty }{\infty }}$ . In pratica si procede derivando il numeratore e il denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo quoziente, allora esisterà anche il limite del quoziente originale e i due limiti sono uguali. Se invece il nuovo quoziente converge a sua volta ad una forma indeterminata, si può ripetere l'operazione calcolando la seconda derivata e così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate comunque non implica la non esistenza del limite del quoziente originale.

Nel caso in cui ci si trovi davanti ad una forma indeterminata che non sia sotto forma di quoziente, è possibile applicare la regola di de l'Hôpital previa trasformazione della forma indeterminata in un quoziente.

In particolare, la tabella seguente mostra le varie trasformazioni che si applicano per risolvere forme di indeterminazione con il teorema di De l'Hôpital:

Forma	Condizione	Risultati	Trasformazione
$\lim {\frac {f(x)}{g(x)}}$	$\lim f(x)=0$ , $\lim g(x)=0$	${\frac {0}{0}}$	non necessaria
$\lim {\frac {f(x)}{g(x)}}$	$\lim f(x)=\pm \infty$ , $\lim g(x)=\pm \infty$	$\pm {\frac {\infty }{\infty }}$	non necessaria
$\lim f(x)\cdot g(x)$	$\lim f(x)=0$ , $\lim g(x)=\pm \infty$	$0\cdot \infty$	$\lim {\frac {f(x)}{1/g(x)}}$ oppure $\lim {\frac {g(x)}{1/f(x)}}$
$\lim f(x)^{g(x)}$	$\lim f(x)=1$ , $\lim g(x)=\infty$	$1^{\infty }$	$e^{\left(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\right)}$
$\lim f(x)^{g(x)}$	$\lim f(x)=0$ , $\lim g(x)=0$ ^[2]	$0^{0}$	$e^{\left(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\right)}$
$\lim f(x)^{g(x)}$	$\lim f(x)=\infty$ , $\lim g(x)=0$	$\infty ^{0}$	$e^{\left(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\right)}$
$\lim(f(x)-{g(x))}$	$\lim f(x)=+\infty$ , $\lim g(x)=+\infty$	$+\infty -\infty$	$\ln \left(\lim {\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\right)$

Limite notevole del tipo ∞/∞ per frazioni polinomiali

[modifica |modifica wikitesto]

Consideriamo la successione:

{P_{p}(n) \over Q_{q}(n)}

={{a_{p}n^{p}+a_{p-1}n^{p-1}+\ldots +a_{1}n+a_{0}} \over {b_{q}n^{q}+b_{q-1}n^{q-1}+\ldots +b_{1}n+b_{0}}}

quoziente di duepolinomi di grado $p {\displaystyle p}$ e $q {\displaystyle q}$ . Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata ${\tfrac {\infty }{\infty }}$ .

Raccogliendo $n^{p}$ al numeratore e $n^{q}$ al denominatore si ha:

n^{p-q}{{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+\ldots +a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-p}} \over {b_{q}+b_{q-1}n^{-1}+\ldots +b_{1}n^{1-q}+b_{0}n^{-q}}}

cioè:

n^{p-q}c_{n}

dove:

c_{n}={{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+\ldots +a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-p}} \over {b_{q}+b_{q-1}n^{-1}+\ldots +b_{1}n^{1-q}+b_{0}n^{-q}}}

poiché $n^{-k}\to 0$ qualunque sia $k\in \mathbb {N}$ non nullo si ha:

a_{n}={{P_{p}(n)} \over {Q_{q}(n)}}

vale:

${a_{p} \over b_{q}}$ se $p=q$
segno $\left({a_{p} \over b_{q}}\right)\infty$ se $p>q$
$0 {\displaystyle 0}$ se $p<q$

poiché $n^{p-q}$ vale:

$1 {\displaystyle 1}$ se $p=q;$
$+\infty$ se $p\geq q;$
$0 {\displaystyle 0}$ se $p\leq q.$

Note

[modifica |modifica wikitesto]

^Il simbolo $\infty$ , senza segno davanti è qui da leggersi " $\pm \infty$ ", cioè " $+\infty$ oppure $-\infty$ ", mentre il simbolo $+\infty$ indica solo "più infinito". Ad esempio la forma " ${\frac {\infty }{\infty }}$ " è da leggersi: " ${\frac {+\infty }{+\infty }}$ oppure ${\frac {+\infty }{-\infty }}$ oppure ${\frac {-\infty }{+\infty }}$ oppure ${\frac {-\infty }{-\infty }}$ ". Con questa convenzione, la forma " $+\infty -\infty$ " va scritta col segno davanti, in quanto " $+\infty -\infty$ " è una forma indeterminata, ma " $-\infty -\infty$ " non è una forma indeterminata, quindi, in questo caso, il segno "+" davanti al simbolo di infinito è necessario.
^sci.math FAQ: What is 0^0?

Voci correlate

[modifica |modifica wikitesto]

Collegamenti esterni

[modifica |modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein,Indeterminate, suMathWorld, Wolfram Research.
Forme indeterminate e dimostrazioni, suripmat.it.
Calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata, sumatematicaeliberaricerca.com.URL consultato il 22 gennaio 2008(archiviato dall'url originale il 31 gennaio 2008).

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale ·Infinitesimo ·O-grande ·Successione (di funzioni) ·Successione di Cauchy ·Teorema di Bolzano-Weierstrass ·Stima asintotica ·Limite (di una funzione ·di una successione ·Forma indeterminata) ·Teorema dei due carabinieri ·Limite notevole ·Punto di accumulazione ·Punto isolato ·Intorno ·Serie (di funzioni) ·Criteri di convergenza ·Limite di funzioni a più variabili	Analisi matematica
Studio della continuità	Funzione continua ·Punto di discontinuità ·Continuità uniforme ·Funzione lipschitziana ·Teorema di Bolzano ·Teorema di Weierstrass ·Teorema dei valori intermedi ·Teorema di Heine-Cantor ·Modulo di continuità ·Funzione semicontinua ·Continuità separata ·Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata ·Differenziale ·Regole di derivazione ·Teorema di Fermat ·Teorema di Rolle ·Teorema di Lagrange ·Teorema di Cauchy ·Teorema di Darboux ·Teorema di Taylor ·Serie di Taylor ·Funzione differenziabile ·Gradiente ·Jacobiana ·Hessiana ·Forma differenziale ·Generalizzazioni della derivata ·Derivata parziale ·Derivata mista
Integrale	Primitiva ·Integrale di Riemann ·Integrale improprio ·Integrale di Lebesgue ·Teorema fondamentale ·Metodi di integrazione ·Tavole ·Integrale multiplo,di linea (1ª specie ·2ª specie) edi superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione ·Variabile ·Dominio e codominio ·Funzioni pari e dispari ·Funzione periodica ·Funzione monotona ·Funzione convessa ·Massimo e minimo di una funzione ·Punto angoloso ·Cuspide ·Punto di flesso ·Asintoto ·Grafico di una funzione ·Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare ·Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ·Bernoulli ·Jensen ·Hölder ·Young ·Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling ·Prodotto di Wallis ·Funzione Gamma ·Teorema delle funzioni implicite ·Teorema della funzione inversa ·Funzione hölderiana ·Spazio metrico ·Spazio normato ·Intervallo ·Insieme trascurabile ·Insieme chiuso ·Insieme aperto ·Palla ·Omeomorfismo ·Omeomorfismo locale ·Diffeomorfismo ·Diffeomorfismo locale ·Classe C di una funzione ·Equazione differenziale ·Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

Estratto da "https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Forma_indeterminata&oldid=141920500"

Categoria:

Limiti

Categoria nascosta:

P2812 letta da Wikidata

[8]ページ先頭