In fluidodinamica, un flusso potenziale è descritto per mezzo di una funzione potenzialeφ, funzione delle coordinate spaziali e deltempo. La velocità del flusso${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\overline{r}}{\mathrm{d}t}(x,y,z,t)}$ è per definizione posta uguale al gradiente del potenzialeφ:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\overline{r}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{\nabla }\phi .}$

In alcuni casi viene impiegata la definizione

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\overline{r}}{\mathrm{d}t}=-\mathrm{\nabla }\phi }$

con il segno meno. Dalcalcolo vettoriale è noto che ilrotore di ungradiente è nullo:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\phi =0}$

e di conseguenza lavorticità è nulla:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \frac{\mathrm{d}\overline{r}}{\mathrm{d}t}=0.}$

Ciò implica che il flusso potenziale è unflusso irrotazionale. Ciò ha conseguenze dirette per l'applicabilità del metodo. Infatti in regioni di flusso dove la vorticità è normalmente non trascurabile, come in unascia, unricircolo o all'interno dellostrato limite, la teoria del flusso potenziale non è in grado di rappresentare il flusso con sufficiente accuratezza. Malgrado ciò, in molte applicazioni vi sono sufficienti porzioni di flusso dove l'assunzione di flusso irrotazionale è verosimile, come in alcune applicazioni diaerodinamica, diidraulica o diacustica.

Lo stesso argomento in dettaglio:Flusso potenziale incomprimibile.

Nel caso di un flusso incomprimibile — come ad esempio un flusso di unliquido o ungas a bassonumero di Mach — la velocità possiede divergenza nulla:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \frac{\mathrm{d}\overline{r}}{\mathrm{d}t}=0}$

dove il punto indica l'operazione diprodotto scalare. Di conseguenza, il potenzialeφ deve soddisfare l'equazione di Laplace

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\phi =0}$

dove${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2}$ è l'operatore di Laplace (o Laplaciano). In questo caso il flusso può essere determinato completamente dalla suacinematica: l'assunzione di irrotazionalità e di divergenza nulla. La dinamica può essere valutata conseguentemente, se si è interessati al campo di pressione, come per esempio nello studio di superfici aerodinamiche, utilizzando ilprincipio di Bernoulli.

In un flusso bidimensionale (nel quale cioè gli effetti della terza dimensione sono trascurabili) il flusso potenziale si riduce ad un sistema molto semplice.

Lo stesso argomento in dettaglio:Flusso potenziale comprimibile.

La teoria del flusso potenziale può anche essere impiegata per modellare un flusso comprimibile come, ad esempio, un flusso d'aria che si avvicini a Mach 0,3 (gli effetti di comprimibilità tendono a diventare sempre meno trascurabili all'aumentare delnumero di Mach). L'equazione completa del potenziale compressibile è

${\displaystyle \left(1-{\mathrm{M}\mathrm{a}}_x^2\right)\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\left(1-{\mathrm{M}\mathrm{a}}_y^2\right)\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\left(1-{\mathrm{M}\mathrm{a}}_z^2\right)\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }{z}^2}-2{\mathrm{M}\mathrm{a}}_x{\mathrm{M}\mathrm{a}}_y\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}-2{\mathrm{M}\mathrm{a}}_y{\mathrm{M}\mathrm{a}}_z\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }z}-2{\mathrm{M}\mathrm{a}}_z{\mathrm{M}\mathrm{a}}_x\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }z\mathrm{\partial }x}=0,}$

dovex è la direzione del flusso indisturbato; conMa si è indicato per brevità il numero di Mach e con lederivate parziali:

${\displaystyle {\mathrm{M}\mathrm{a}}_x=\frac{1}{a}\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{M}\mathrm{a}}_y=\frac{1}{a}\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{M}\mathrm{a}}_z=\frac{1}{a}\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }z},}$

e dove cona si è indicata lavelocità del suono locale. La velocità del flusso è posta uguale a ∇Φ, per definizione di potenzialeΦ. Questa equazione è valida per flussisubsonici,transonici esupersonici irrotazionali, per qualsiasiangolo d'attacco.

Nel caso di flussi subsonici o supersonici (quindi non transonici oipersonici) e a piccoli angoli d'attacco e corpi sottili, è possibile semplificare quest'equazione suddividendo il potenziale in una componente dovuta alla velocità del flusso indisturbatox_∞, nella direzione del moto, e una piccola perturbazione ∇φ:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }={\dot{x}}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\nabla }\phi .}$

Introducendo questa semplificazione nell'equazione completa, si perviene all'equazione linearizzata del potenziale compressibile:

${\displaystyle \left(1-{\mathrm{M}\mathrm{a}}_{\mathrm{\infty }}^2\right)\frac{{\mathrm{\partial }}^2\phi }{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2\phi }{\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2\phi }{\mathrm{\partial }{z}^2}=0}$

dove conMa_∞ = x_∞ / a_∞ si è indicato il numero di Mach della corrente indisturbata. Questa equazione linearizzata è molto più semplice da risolvere rispetto a quella completa: può infatti essere ricondotta all'equazione di Laplace tramite un cambio di variabili.