Inmatematica unfibrato principale è una struttura che formalizza alcune delle caratteristiche essenziali delprodotto cartesianoM :=X ×G di uno spazio topologicoX con ungruppoG. Analogamente adM, un fibrato principaleP è dotato di
Diversamente daM, però, un fibrato principale manca di una scelta preferenziale sulla sezione dell'elemento neutro; non ha l'analogo di (x,e ). Non c'è una proiezione generale suG che generalizzi la proiezione (x,g ) →g sul secondo fattore. I fibrati principali possono avere unatopologia complicata, che non permette loro di essere identificati con un prodotto cartesiano anche dopo una scelta arbitraria.
Un esempio comune di fibrato principale è il fibrato dei riferimenti FE di un fibrato vettorialeE, che consiste in tutte le basi ordinate dello spazio vettoriale associato ad ogni punto. Il gruppoG in questo caso è ilgruppo generale lineare, che agisce nella maniera usuale sulle basi. Poiché non c'è un modo canonico di scegliere una base per uno spazio vettoriale, un fibrato dei riferimenti manca di una scelta canonica della sezione dell'identità.
In termini formali, unG-fibrato principale è unfibratoP su unospazio topologicoX dotato di un'azione libera transitiva di ungruppo topologicoG sulle fibre diP. Le fibre diventano alloraspazi omogenei principali per l'azione destra diG su se stesso. IG-fibrati principali sono anche fibrati con un gruppo di strutturaG, nel senso che ammettono una trivializzazione locale in cui le mappe di transizione sono date da trasformazioni inG.
I fibrati principali hanno importanti applicazioni intopologia egeometria differenziale. Hanno trovato applicazione anche infisica dove costituiscono una parte della base teorica delleteorie di gauge. Inoltre, consentono di formulare la nozione distruttura di spin, in modo che risulti agevole definire cosa sia uncampo spinoriale. Sono inoltre uno strumento unificatore nella teoria dei fibrati nel senso che tutti i fibrati con gruppo di strutturaG determinano un unicoG-fibrato principale da cui possono essere ricostruiti.
UnG-fibrato principale è unfibrato π :P →X assieme a un'azione destra continuaP ×G →P di ungruppo topologicoG che preserva le fibre diP ed agisce liberamente e transitivamente su di esse. Come fibra astratta del fibrato si prendeG stesso.
Spesso si richiede anche che lo spazio di baseX sia diHausdorff e possibilmenteparacompatto.
Ne segue che leorbite dell'azione sono precisamente le fibre di π :P →X e che il quozienteP /G èomeomorfo allo spazio di baseX. Dire cheG agisce liberamente e transitivamente sulle fibre significa che le fibre ereditano una struttura diG-torsori (cioè sono spazi con un'azione libera e transitiva di un gruppo, quindi si ha una famiglia di spazi omogenei principali sullo spazio di base). UnG-torsore è uno spazio che è omoemorfo aG ma manca della struttura di gruppo perché non c'è una scelta canonica dell'elemento neutro.
UnG-fibrato principale può essere caratterizzato anche come unG-fibrato π :P →X con fibraG dove il gruppo di struttura agisce sulla fibra con la traslazione sinistra. Visto che la moltiplicazione destra diG sulla fibra commuta con l'azione del gruppo di struttura (perché la moltiplicazione inG è associativa), esiste una nozione invariante di moltiplicazione destra diG suP. Le fibre di π divengono alloraG-torsori destri per questa azione.
Si potrebbe anche definire unG-fibrato principale nellacategoria dellevarietà lisce. In questo caso si richiede che π :P →X sia unaapplicazione liscia, cheG sia ungruppo di Lie, e che la corrispondente azione suP sia liscia.
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