Inmatematica, unafamiglia è una collezione di elementi. Essa consiste in uninsieme, dettoinsieme di indici, e in una mappa che ad ogni indice associa un unico elemento della famiglia. Per ogni elemento della famiglia esiste almeno un indice al quale esso è associato tramite la mappa. Poiché a indici diversi può essere associato lo stesso elemento, una famiglia, a differenza di quanto accade per gli insiemi, può contenere lo stesso elemento un numero arbitrario di volte. Inoltre qualsiasi struttura aggiuntiva assegnata all'insieme di indici, si estende alla famiglia. A titolo di esempio, una famiglia ordinata è una famiglia definita su un insieme di indici ordinato.
A volte inoltre, quando si parla di un insieme che ha per elementi a sua volta degli insiemi (come ad esempio l'insieme delle parti), invece delcacofonico "insieme di insiemi" si usa "famiglia di insiemi"(oclasse o collezione), non necessariamente intendendolo nel senso di famigliaindicata in questo articolo.
Formalmente, una famiglia è una tripletta (X,I,ι) di insiemiX eI e unafunzione suriettivaι:I →X.
Una famiglia è usualmente indicata con (Ai)i∈I. In tal casoI è l'insieme di indici,ι(i)=Ai è la mappa eAi è l'elemento associato ai, talvolta detto l'i-esimo elemento della famiglia.
In alternativa, si utilizza anche la simbologia {Ai}i∈I, con parentesi graffe anziché tonde, sebbene sia facile confonderla con la notazione {Ai |i∈I}, che indica invece uninsiemenon strutturato.
Spesso si utilizza una famiglia senza menzionarla esplicitamente e ciò, in certi casi, può condurre a equivoci o ad errori molto difficili da rintracciare.
Ogni volta che si ricorre ad una notazione indicizzata, gli oggetti indicizzati formano una famiglia.
(vi)i ∈ {1, …,n} è una famiglia di vettori. L'espressionei-esimo vettorevi ha senso solo se riferita ad una famiglia, perché, non essendo gli elementi di un insieme indicizzati, non vi è alcuni-esimo vettore in un insieme. La distinzione tra famiglia e insieme ha importanti ricadute sulla proprietà di indipendenza lineare, come risulta chiaro dal seguente esempio.
Considerandon=2 ev1 =v2 = (1, 0), l'insieme risultante comprende un solo elemento e, pertanto, è linearmente indipendente, mentre la famiglia corrispondente contiene lo stesso elemento due volte ed è perciò linearmente dipendente.
Anche in questo caso è importante precisare se le righe diA sono linearmente indipendenti come famiglia o come insieme.
Se consideriamo la matrice:
l'insieme delle sue righe comprende il solo elemento (1, 1), perciò è linearmente indipendente, ma la matrice non è invertibile. Lafamiglia di righe contiene invece due elementi identici ed è pertanto linearmente dipendente.
La proposizione è quindi corretta se riferita alla famiglia di righe, ma è falsa se riferita all'insieme delle righe.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra lefunzionisuriettive e le famiglie, in quanto ogni funzionef condominioI determina una famiglia (f(i))i∈I. Diversamente dalle funzioni, una famiglia è concepita come una collezione ed essere un suo elemento equivale ad appartenere al codominio della corrispondente funzione. Una famiglia contiene un qualsiasi elemento esattamente una volta solase e solo se la corrispondente funzione èiniettiva. Come avviene per gliinsiemi, una famiglia è un contenitore e ogni insiemeX determina una famiglia (x)x∈X. In altri termini, ogni insieme è naturalmente interpretabile come una famiglia. Per ogni famiglia (Ai)i∈I, esiste l'insieme di tutti gli elementi {Ai |i∈I}, ma quest'ultimo non fornisce alcuna informazione su eventuali appartenenze ripetute di un elemento o sulla struttura diI. In definitiva, il ricorso a un insieme implica la possibile perdita di alcune informazioni.
Gli insiemi di indici sono spesso utilizzati nelle somme e in altre operazioni di natura simile. Per esempio, se (ai)i∈I è una famiglia di numeri, la loro somma è usualmente indicata con:
Quando (Ai)i∈I è una famiglia di insiemi, la lorounione si indica con:
Notazioni analoghe valgono per l'intersezione e ilprodotto cartesiano.
Una famiglia (Bi)i∈J è unasottofamiglia di una famiglia (Ai)i∈I,se e solo seJ è un sottoinsieme diI e per ognii inJ vale:
In generale, unfuntore determina una famiglia indicizzata di oggetti in unacategoriaD, indicizzata su un'altra categoriaC tramite unmorfismo dipendente da due indici.
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