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Equazione differenziale alle derivate parziali

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Inanalisi matematica, un'equazione differenziale alle derivate parziali, detta ancheequazione alle derivate parziali (termine abbreviato inEDP o spesso inPDE, dall'acronimo inglesePartial Differential Equation), è un'equazione differenziale che coinvolge lederivate parziali di unafunzione incognita di più variabili indipendenti.

In essa si descrive la funzione indirettamente attraverso una relazione fra se stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale - cioè deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione classica (o in senso classico) dell'equazione è una funzione di tutte le variabili indipendenti espresse nell'equazione e che possieda tutte le derivate necessarie per dare senso alla relazione verificandola puntualmente.

Generalità

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Sono comunemente usate per formulare e risolvere problemi fisici importanti quali la propagazione delsuono o delcalore e in svariati campi quali l'elettrostatica, l'elettrodinamica,meccanica dei fluidi,aerodinamica,elasticità,meccanica quantistica,relatività. Importanti applicazioni sono presenti anche ingeometria differenziale in connessione con le diverse nozioni dicurvatura. Sono inoltre state usate con successo per descriveremodelli matematici inbiologia emedicina come modelli didinamica delle popolazioni, crescita dicellule neitumori echemiotassi. Altre applicazioni recenti riguardano invece i modelli matematici deimercati finanziari, in particolare con esse viene descritta la dinamica delleopzioni finanziarie attraverso la celebreformula di Black e Scholes.

In generale per una EDP possono essere studiati svariati problemi che dipendono dalla natura stessa della equazione. Per esempio, nelle equazioni classiche dellafisica matematica, definite in un certo dominio spaziale, vengono prescritte dellecondizioni al bordo se il dominio ha unafrontiera, o dellecondizioni ai limiti se si considerano domini infiniti. Qualora, come nel caso ad esempio dellaequazione del calore o dellaequazione delle onde, una delle variabili sia il tempo allora ha senso prescrivere anche dellecondizioni iniziali studiando il relativoproblema di Cauchy. In tal caso il problema è ben posto se si ha esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati (al contorno o iniziali).

Descrizione

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Un'equazione differenziale alle derivate parziali di ordinek{\displaystyle k} ha la forma:[1]

F(Dku(x),Dk−1u(x),⋯,Du(x),u(x),x)=0,{\displaystyle F(D^{k}u(x),D^{k-1}u(x),\cdots ,Du(x),u(x),x)=0,}

dovek{\displaystyle k} è unnumero intero,Dk{\displaystyle D^{k}} è un operatore diderivazione di ordinek{\displaystyle k} rispetto a una o più variabili e la variabilex{\displaystyle x} appartiene ad un sottoinsiemeU{\displaystyle U} aperto diRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

La funzioneF{\displaystyle F}:

F:Rnk×Rnk−1×⋯×Rn×R×U→R{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n^{k}}\times \mathbb {R} ^{n^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times U\rightarrow \mathbb {R} }

è data, mentre la funzioneu{\displaystyle u}:

u:U→R{\displaystyle u\colon U\rightarrow \mathbb {R} }

è l'incognita dell'equazione.

Larisoluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali consiste nella ricerca delle funzioniu{\displaystyle u} che la rendono un'identità su un opportuno insieme. Solitamente è anche richiesto che le soluzioni soddisfino determinate condizioni al contorno ausiliarie. Ad esempio, per ottenere l'unicità della soluzione si pongono spesso opportune condizioni per un qualchecamminoΓ{\displaystyle \Gamma } dellafrontiera∂U{\displaystyle \partial U} diU{\displaystyle U}.

Solitamente non è possibile trovare la funzione incognita esplicita: ad eccezione di casi particolari, la ricerca della soluzione consiste nello studio dell'esistenza e delle proprietà che essa deve assumere.

Notazione

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Nella teoria delle PDE se si indica conu{\displaystyle u} la funzione incognita allora la sua derivata parziale rispetto alla variabilex{\displaystyle x} viene spesso indicata con la notazione abbreviataux{\displaystyle u_{x}}:

ux=∂u∂xuxy=∂2u∂x∂y{\displaystyle u_{x}={\partial u \over \partial x}\qquad u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial x\,\partial y}}

Nella tradizione anglosassone si preferisce l'uso dell'operatore nabla, che in un sistema cartesiano viene formalmente trattato come ilcampo vettoriale∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z){\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}. Ad esempio, per unafunzione scalareF{\displaystyle F} ed un campo vettorialeF{\displaystyle \mathbf {F} }:

∇F=grad F∇⋅F=div F∇×F=rot F{\displaystyle \nabla F=\mathrm {grad} \ F\qquad \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathrm {div} \ \mathbf {F} \qquad \nabla \times \mathbf {F} =\mathrm {rot} \ \mathbf {F} }

Nella tradizione della fisica matematica le derivate rispetto al tempo vengono talvolta indicate con lanotazione di Newton.

L'equazione è detta di ordine q seq{\displaystyle q} è l'ordine massimo delle derivate che vi compaiono. Se l'equazione dipende linearmente dall'incognitau{\displaystyle u} e dalle sue derivate è detta lineare, mentre nel caso in cui le derivate di ordine massimo compaiano solo linearmente (con coefficienti che possono dipendere dalle derivate di ordine inferiore), l'equazione è detta quasi-lineare. Un'equazione quasi-lineare i cui coefficienti sono solo funzione delle variabili indipendenti (ma non dipendono dalla soluzioneu{\displaystyle u}) è detta semi-lineare. Infine un'equazione è detta omogenea se non compaiono termini indipendenti dalla funzione incognitau{\displaystyle u}.

Linearità

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Un'equazione differenziale alle derivate parziali può esserelineare, semilineare, quasilineare o totalmente non lineare:[2]

  • L'equazione si dice lineare se ha la forma:
∑|α|≤kaα(x)Dαu=f(x),{\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }u=f(x),}
per opportune funzioniaα(x){\displaystyle a_{\alpha }(x)} edf{\displaystyle f}. Sef=0{\displaystyle f=0} l'equazione si dice omogenea.
  • L'equazione si dice semilineare se ha la forma:
∑|α|=kaα(x)Dαu+a0(Dk−1u,⋯,Du,u,x)=0.{\displaystyle \sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }u+a_{0}(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)=0.}
  • L'equazione si dice quasilineare se ha la forma:
∑|α|=kaα(Dk−1u,⋯,Du,u,x)Dαu+a0(Dk−1u,⋯,Du,u,x)=0.{\displaystyle \sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)D^{\alpha }u+a_{0}(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)=0.}
  • L'equazione si dice totalmente non lineare se dipende in modo non lineare dal più alto grado di derivazione.

Sistema di equazioni alle derivate parziali

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Unsistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di ordinek{\displaystyle k} ha la forma:[2]

F(Dku(x),Dk−1u(x),…,Du(x),u(x),x)=0.{\displaystyle \mathbf {F} (D^{k}\mathbf {u} (x),D^{k-1}\mathbf {u} (x),\ldots ,D\mathbf {u} (x),\mathbf {u} (x),x)=0.}

La funzione:

F:Rmnk×Rmnk−1×⋯×Rmn×Rm×U→R{\displaystyle \mathbf {F} \colon \mathbb {R} ^{mn^{k}}\times \mathbb {R} ^{mn^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{mn}\times \mathbb {R} ^{m}\times U\rightarrow \mathbb {R} }

è data, mentre la funzioneu{\displaystyle \mathbf {u} }:

u:U→Rm,{\displaystyle \mathbf {u} \colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m},}

con

u=(u1,…,um){\displaystyle \mathbf {u} =(u^{1},\ldots ,u^{m})}

che è l'incognita del sistema.

Si è posto che il sistema abbia tante equazioni quante incognite, in numero pari am{\displaystyle m}.

Problemi ben posti e soluzioni

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Lo stesso argomento in dettaglio:Formulazione debole.

Non esiste una teoria universale che fornisca un metodo unico per risolvere le equazioni alle derivate parziali.[3] Laricerca scientifica si è di conseguenza concentrata principalmente su equazioni di rilevante interesse matematico e fisico, sviluppandone le particolari metodologie risolutive.

Un problema relativo ad un'equazione differenziale alle derivate parziali si dice informalmenteben posto se ha una soluzione, se tale soluzione è unica e se dipende in modo continuo dai dati forniti dal problema.[4] Un problema ben posto contiene tutte le caratteristiche ideali al fine di studiarne la risolubilità. L'ultima condizione è particolarmente importante nelle applicazioni fisiche: la dipendenza continua dai dati del problema significa che una loro variazione piccola a piacere ha conseguenze altrettanto piccole sulla soluzione. Per ottenere problemi ben posti si utilizzano solitamente opportune condizioni al contorno.

La soluzione di un'equazione alle derivate parziali non possiede caratteristiche generali, e varia a seconda del problema. Si definisce informalmente soluzione classica di una PDE di ordinek{\displaystyle k} unafunzione differenziabile fino all'ordinek{\displaystyle k}-esimo,[4] tale che tutte le derivate esistono e sono continue. Risolvere una PDE in senso classico significa dunque cercare unafunzione liscia o almeno di classeCk{\displaystyle C^{k}}.

Si determina quindi la soluzione di un problema ben posto in senso classico quando tra le soluzioni in senso classico ne esiste soltanto una che soddisfi la definizione di problema ben posto.

Per la maggior parte delle equazioni differenziali alle derivate parziali, tuttavia, non esistono soluzioni classiche. In generale, ad esempio, leequazioni di continuità non hanno soluzioni classiche. Se si ammette una funzione non differenziabile come soluzione di un problema ben posto, tale soluzione è chiamata debole o generalizzata.[5] Il motivo per cui si definisce una classe di funzioni che sono soluzioni deboli di una PDE risiede nel fatto che la ricerca di una soluzione classica è spesso di notevole difficoltà, qualora sia possibile. Ponendo condizioni meno restrittive alla soluzione il problema si semplifica o diventa possibile, essendo più semplice trovare una soluzione unica e dipendente in modo continuo dai dati del problema. Esistono casi, infine, in cui la soluzione debole trovata è sufficientemente regolare da poter essere considerata classica. Il problema del poter considerare regolare una soluzione debole, tuttavia, è frequentemente succube di notevoli difficoltà matematiche.

Per illustrare quanto detto con un esempio, si consideri la successione di problemi di Cauchy per l'equazione di Laplace:

∂2u∂x2+∂2u∂y2=0,{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,}

concondizioni al contorno:

u(x,0)=0,{\displaystyle u(x,0)=0,}
∂u∂y(x,0)=sin⁡(nx)n,{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin(nx)}{n}},}

doven{\displaystyle n} è intero. La derivata diu{\displaystyle u} rispetto ay{\displaystyle y}converge uniformemente a zero nella variabilex{\displaystyle x} al crescere din{\displaystyle n}, ma la soluzione è:

u(x,y)=sinh⁡(ny)sin⁡(nx)n2.{\displaystyle u(x,y)={\frac {\sinh(ny)\sin(nx)}{n^{2}}}.}

Questa soluzione tende a infinito senx{\displaystyle nx} non è un multiplo intero diπ{\displaystyle \pi } per ogniy≠0{\displaystyle y\neq 0}. Il problema non è dunque un problema ben posto poiché la soluzione non dipende con continuità dal dato iniziale.

Limiti del teorema di Cauchy-Kovalevskaya

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Lo stesso argomento in dettaglio:Teorema di Cauchy-Kovalevskaya.

Mentre per leequazioni ordinarie ilteorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy ed ilteorema di esistenza di Peano forniscono un'ampia risposta al problema dell'esistenza e unicità di eventuali soluzioni, il caso delle equazioni alle derivate parziali è molto più complesso. Il teorema di Cauchy-Kovalevskaya stabilisce che se i coefficienti dell'equazione sonofunzioni analitiche rispetto alla funzione incognita e le sue derivate, allora esiste una funzione analitica che è localmente l'unica soluzione. Questo risultato, tuttavia, non si applica allefunzioni lisce. Un noto esempio, dovuto aHans Lewy, mostra che suR×C{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} } esiste una funzione lisciaF(t,z){\displaystyle F(t,z)} tale che l'equazione:

∂u∂z¯−iz∂u∂t=F(t,z){\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=F(t,z)}

non ha soluzioni su nessun aperto. SeF{\displaystyle F} fosse analitica il teorema di Cauchy-Kovalevskaya garantirebbe l'esistenza di una soluzione.

Esempio

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Nella maggior parte dei casi non è possibile determinare la soluzione di una EDP; quando risulta fattibile si nota che mentre le soluzioni generali delleequazioni differenziali ordinarie vedono la presenza di costanti arbitrarie, le soluzioni delle equazioni differenziali alle derivate parziali implicano funzioni arbitrarie. Si consideri ad esempio l'equazione differenziale alle derivate parziali:

∂∂xu(x,y)=0.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}u(x,y)=0.}

Tale relazione implica che la funzioneu(x,y){\displaystyle u(x,y)} è indipendente dax{\displaystyle x}. Quindi la soluzione generale di questa equazione è:

u(x,y)=f(y),{\displaystyle u(x,y)=f(y),}

dovef{\displaystyle f} è un'arbitraria funzione diy{\displaystyle y}. L'analoga equazione differenziale ordinaria è:

du(x)dx=0,{\displaystyle {\frac {du(x)}{dx}}=0,}

che ha come soluzione:

u(x)=c,{\displaystyle u(x)=c,}

dovec{\displaystyle c} è unacostante.

La soluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali non è in generale unica, e risulta necessario porre delle condizioni aggiuntive allafrontiera di una regione in cui la soluzione è definita. Ad esempio, la funzionef(y){\displaystyle f(y)} può essere determinata seu{\displaystyle u} è nota lungo la lineax=0{\displaystyle x=0}.

PDE in due variabili

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PDE del primo ordine

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Lo stesso argomento in dettaglio:Metodo delle caratteristiche.

Un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine ha la forma:

F(x1,…,xn,u,ux1,…uxn)=0.{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.}

In due dimensioni:

F(x,y,u,p,q)=0,{\displaystyle F(x,y,u,p,q)=0,}

dovep=ux{\displaystyle p=u_{x}} eq=uy{\displaystyle q=u_{y}}. Un integrale completo dell'equazione è una soluzioneϕ(x,y,u){\displaystyle \phi (x,y,u)} dipendente da due parametria{\displaystyle a} eb{\displaystyle b} (in particolare, il numero dei parametri è pari alla dimensione dello spazio). Scegliendo una funzione arbitrariaw{\displaystyle w}, ponendob=w(a){\displaystyle b=w(a)} e determinandoA(x,y,u){\displaystyle A(x,y,u)} richiedendo che laderivata totale sia nulla:

dφda=φa(x,y,u,A,w(A))+w′(A)φb(x,y,u,A,w(A))=0{\displaystyle {\frac {d\varphi }{da}}=\varphi _{a}(x,y,u,A,w(A))+w'(A)\varphi _{b}(x,y,u,A,w(A))=0}

una soluzioneuw{\displaystyle u_{w}} è data da:

uw=ϕ(x,y,u,A,w(A)).{\displaystyle u_{w}=\phi (x,y,u,A,w(A)).}

Se non è possibile avere l'integrale completo si può ricavare una soluzione risolvendo un sistema diequazioni differenziali ordinarie ottenuto sfruttando il metodo delle caratteristiche, che permette di trovare le curve lungo le quali l'equazione si comporta come un'equazione ordinaria.

PDE del secondo ordine

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La classificazione di una PDE dipende esclusivamente dai coefficienti delle derivate di ordine massimo presenti nell'equazione stessa.Le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili, cui si possono ricondurre con opportuni cambi di variabile anche i sistemi di PDE del secondo ordine, hanno forma generale:

A(x,y)uxx+2B(x,y)uxy+C(x,y)uyy+⋯=0,{\displaystyle A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+\cdots =0,}

dove si sono scritti i termini di grado massimo e si è assuntouxy=uyx{\displaystyle u_{xy}=u_{yx}}. SeA2+B2+C2>0{\displaystyle A^{2}+B^{2}+C^{2}>0} in una regione del piano(x,y){\displaystyle (x,y)}, in tale regione l'equazione è del secondo ordine. Convertendo (tramite, ad esempio, latrasformata di Fourier) le derivate in variabili elevate al grado della derivata (ovvero l'esponente è il grado di derivazione) si ottiene l'equazione dellasezione conica:

Ax2+2Bxy+Cy2+⋯=0.{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}

Queste PDE vengono allora generalmente classificate come paraboliche, iperboliche o ellittiche secondo la tipologia dell'equazione associata, col criterio suldiscriminante riportato brevementeB2−AC{\displaystyle B^{2}-AC}:

Le equazioni iperboliche sono il contesto più generale in cui si applica ilmetodo delle caratteristiche, valido anche per le equazioni del primo ordine.

Se vi sonon{\displaystyle n} variabili indipendentix1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, una generica PDE del secondo ordine ha la forma:

Lu=∑i=1n∑j=1nai,j∂2u∂xi∂xj+⋯=0,{\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\dots =0,}

dove si sono scritti i termini di grado massimo. La classificazione avviene in base al segno degliautovalori dei coefficientiaij{\displaystyle a_{ij}}:

  • L'equazione è ellittica se gli autovalori sono tutti positivi o tutti negativi.
  • L'equazione è parabolica se gli autovalori sono tutti positivi o negativi, tranne uno uguale a zero.
  • L'equazione è iperbolica se c'è soltanto un autovalore negativo, mentre i restanti sono positivi, oppure c'è soltanto un autovalore positivo e i restanti sono negativi.
  • L'equazione è ultraiperbolica se c'è almeno un autovalore positivo e un autovalore negativo, e nessun autovalore è nullo.

Questo porta all'analisi delle matricidefinite positive edefinite negative, in maniera analoga a quanto succede nella discussione dei massimi e minimi.

Esempi

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La matrice associata al sistema:

ut+2vx=0,vt−ux=0{\displaystyle \displaystyle u_{t}+2v_{x}=0,\qquad \displaystyle v_{t}-u_{x}=0}

è la seguente:

[200−1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-1\end{bmatrix}}}

Gliautovettori sono(0,1){\displaystyle (0,1)} e(1,0){\displaystyle (1,0)} con autovalori2{\displaystyle 2} e−1{\displaystyle -1}, quindi il sistema è iperbolico. Dato che il sistema comprende due equazioni del prim'ordine (anche se ciascuna in due funzioni incognite), si vuole dimostrare la sua equivalenza con due equazioni del secondo ordine iperboliche disgiunte, cioè ciascuna in una funzione incognita. Derivando quindi la prima equazione rispetto ax{\displaystyle x} e la seconda rispetto at{\displaystyle t}, supponendo le funzioni sufficientemente regolari, si ottiene:

utx+2vxx=0,vtt−uxt=0,{\displaystyle \displaystyle u_{tx}+2v_{xx}=0,\qquad \displaystyle v_{tt}-u_{xt}=0,}

da cui, supponendo le derivate seconde continue, cosicché commutino per ilteorema di Schwarz, si ha:

vtt+2vxx=0.{\displaystyle \displaystyle v_{tt}+2v_{xx}=0.}

Analogamente, derivando la prima rispetto at{\displaystyle t} e la seconda rispetto ax{\displaystyle x} si ottiene:

utt+2uxx=0.{\displaystyle \displaystyle u_{tt}+2u_{xx}=0.}

Si tratta diequazioni ellittiche monodimensionali, entrambe di velocità di propagazione immaginariad⁡xd⁡t=2i.{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\sqrt {2}}i.}

Equazioni notevoli

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Di seguito si mostrano alcune delle più importanti equazioni alle derivate parziali.

Equazione delle onde

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione delle onde edEquazione della corda vibrante.

L'equazione delleonde è il prototipo diequazione iperbolica del second'ordine, e le sue soluzioni descrivono onde come il suono o le onde luminose. La forma generale dell'equazione riguarda una funzioneu(x,t){\displaystyle u(x,t)} della posizionex{\displaystyle x} e del tempot{\displaystyle t}. Si tratta di un'equazione alle derivate parziali iperbolica la cui espressione generale è:[6]

∇2u−1v2∂2u∂t2=0,{\displaystyle \nabla ^{2}u-{\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}u \over {\partial t^{2}}}=0,}

dovev{\displaystyle v} rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. La funzione incognitau(x,t){\displaystyle u(x,t)} esprime l'intensità dell'onda in una particolare posizionex{\displaystyle x} al tempot{\displaystyle t}. Per una corda vibrante, ad esempio, esprime lo spostamento fisico della corda dalla sua posizione di riposo. In una e due dimensioni, infatti, questa equazione può descrivere le vibrazioni di una corda o di un tamburo.

Le soluzioni sono in genere combinazioni di onde sinusoidali oscillanti. Se la velocitàv{\displaystyle v} è dipendente dallafrequenza allora deve essere rimpiazzata dallavelocità di fase:

vp=ωk.{\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.}

Nel caso meno frequente in cui la velocità sia dipendente dall'ampiezza, essa è in funzione diu{\displaystyle u} e l'equazione diventa non lineare.

L'equazione delle onde può anche essere scritta utilizzando l'operatore dalembertiano come:

◻u=0.{\displaystyle \Box u=0.}

Equazione del trasporto

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione del trasporto.

L'equazione del trasporto descrive il trasporto di una quantità in una data regione spaziale ed è usata per lo studio deifenomeni di trasporto. Ha la forma:

ut+∑iviuxi=f.{\displaystyle u_{t}+\sum _{i}v_{i}u_{x_{i}}=f.}

Dove il termine notof{\displaystyle f} è detto termine sorgente. Il vettore dei coefficientiv{\displaystyle v}, detto spesso velocità di trasporto, èsolenoidale, vale a dire:

∑ivxi=0.{\displaystyle \sum _{i}v_{x_{i}}=0.}

L'equazione del trasporto può anche essere scritta utilizzando l'operatorederivata lagrangiana come:

DuDt=f.{\displaystyle {\frac {Du}{Dt}}=f.}

Equazione di continuità

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di continuità.

La forma omogenea dell'equazione del trasporto è detta equazione di continuità ed è usata per la descrizione. Ha la forma:

ut+∑iviuxi=0.{\displaystyle u_{t}+\sum _{i}v_{i}u_{x_{i}}=0.}

L'equazione di continuità può anche essere scritta utilizzando l'operatore derivata lagrangiana come:

DuDt=0.{\displaystyle {\frac {Du}{Dt}}=0.}

L'equazione di continuità unidimensionale a velocità costante è il prototipo di equazione del prim'ordine:

ux1+vux2=0{\displaystyle u_{x_{1}}+vu_{x_{2}}=0}

ed è comunemente indicata come ilproblema del porcile. Se invecev{\displaystyle v} dipende dalla soluzione e in particolare è uguale alla funzione incognitau{\displaystyle u} l'equazione è chiamataequazione di Burgers.

Equazione di avvezione

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Lo stesso argomento in dettaglio:Avvezione.

L'equazione di avvezione è un esempio semplice di equazione alle derivate parziali del prim'ordine. Ha la forma:

∑iviuxi=0.{\displaystyle \sum _{i}v_{i}u_{x_{i}}=0.}

L'equazione può essere riscritta attraverso l'operatore di avvezione come:

v⋅∇u=0.{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla u=0.}

Equazione del calore

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione del calore.

L'equazione del calore descrive l'evoluzione nel tempo della temperatura di una data regione spaziale. Ha la forma:

ut=a(uxx+uyy+uzz).{\displaystyle u_{t}=a(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}).}

Il terminea{\displaystyle a} descrive la diffusività del materiale.

Equazioni di Poisson e Laplace

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di Laplace edEquazione di Poisson.

Siaφ=φ(x){\displaystyle \varphi =\varphi (\mathbf {x} )} unafunzione definita sullachiusura dell'insiemeU{\displaystyle U} diRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}a valori inR{\displaystyle \mathbb {R} }. L'equazione di Poisson perφ{\displaystyle \varphi } ha la forma:[7]

∇2φ=f,{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f,}

dove∇2{\displaystyle \nabla ^{2}} è l'operatore di Laplace o laplaciano ef{\displaystyle f} è definita inU{\displaystyle U} a valori inR{\displaystyle \mathbb {R} }. Nellospazio euclideo incoordinate cartesiane in tre dimensioni l'equazione prende la forma:

(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)φ(x,y,z)=f(x,y,z).{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}

L'equazione di Poisson omogenea è detta equazione di Laplace:

∇2φ=0.{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0.}

La funzionef{\displaystyle f} rappresenta il termine forzante o di sorgente al secondo membro. In fisica le soluzioni di questa equazione descrivono unpotenziale scalare in presenza di una sorgente, rispettivamente. Le soluzioni dell'equazione di Laplace assumono inoltre rilevanza in tantissime discipline, tra cui lascienza delle costruzioni, ad esempio per il caso dellatorsione nellatrave di de Saint Venant.

Equazione di Helmholtz

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di Helmholtz.

L'equazione di Helmholtz ha forma canonica:

∇2f+k2f=0,{\displaystyle \nabla ^{2}f+k^{2}f=0,}

dove∇2{\displaystyle \nabla ^{2}} è l'operatore di Laplace,c{\displaystyle c} è la velocità delle onde, ek=ω/c{\displaystyle k=\omega /c} ilvettore d'onda. Si può vedere l'equazione di Helmholtz come un'equazione agli autovalori del laplaciano, e le soluzioni dell'equazione di Helmholtz come leautofunzioni del laplaciano, dette anchearmoniche.

L'equazione si può anche ottenere a partire dall'equazione delle onde imponendo che la soluzione sia del tipo:

f(r,t)=eiωtf(r).{\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=e^{i\omega t}f(\mathbf {r} ).}

Equazione di Eulero-Tricomi

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di Eulero-Tricomi.

L'equazione di Eulero-Tricomi è un'equazione iperbolica lineare del second'ordine, usata per studiare i flussitransonici. Ha la forma:

uxx−xuyy=0.{\displaystyle u_{xx}-xu_{yy}=0.}

Equazione di Ginzburg-Landau

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di Ginzburg-Landau.

L'equazione di Ginzburg-Landau è un'equazione parabolica che trova molte applicazioni fisiche. Ha la forma:

iut+puxx+q|u|2u=iγu,p,q∈C,{\displaystyle iu_{t}+pu_{xx}+q|u|^{2}u=i\gamma u,\qquad p,q\in \mathbb {C} ,}

doveγ∈R{\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} } ei{\displaystyle i} è l'unità immaginaria.

Equazioni di Dym

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di Dym.

L'equazione di Dym è un'equazione del terz'ordine non lineare, chiamata così in onore diHarry Dym, che si incontra nello studio deisolitoni. Ha la forma:

ut=u3uxxx.{\displaystyle u_{t}=u^{3}u_{xxx}.}

Equazione di Bernoulli

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione differenziale di Bernoulli.

Equazioni di Maxwell

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazioni di Maxwell.

Equazione di Schroedinger

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di Schroedinger.

Equazione di Burgers

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di Burgers.

Equazione di Monge-Ampere

[modifica |modifica wikitesto]
Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di Monge-Ampère.

Equazioni di Navier-Stokes

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazioni di Navier-Stokes.

Equazione di sine-Gordon

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Lo stesso argomento in dettaglio:Equazione di sine-Gordon.

Altri esempi

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Eccetto per le ultime quattro, tutte le equazioni precedenti sono lineari, nel senso che possono essere scritte nella formaAu=f{\displaystyle Au=f} dati un determinatooperatore lineareA{\displaystyle A} e una determinata funzionef{\displaystyle f}. Altre importanti equazioni non lineari sono leequazioni di Navier-Stokes che descrivono il flusso dei fluidi, e le equazioni di campo dellarelatività generale diEinstein. L'equazione di Schrödinger è inoltre una PDE fondamentale per lameccanica quantistica. Nell'approssimazione WKB vi è invece l'equazione di Hamilton-Jacobi.

Metodi di risoluzione

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Le PDE lineari in genere sono risolte, quando possibile, decomponendo l'equazione secondo una base di funzioni, risolvendo le equazioni così ottenute singolarmente e usando lasovrapposizione per trovare la soluzione corrispondente alle condizioni al contorno. Il metodo diseparazione delle variabili è applicabile in molti casi particolari importanti.

Non esistono metodi generali per risolvere le PDE. Ciononostante risultati di esistenza e unicità (come ilteorema di Cauchy-Kovalevskaya) sono spesso possibili, così come prove di importanti proprietà quantitative e qualitative delle soluzioni (trovare questi risultati è la parte più importante della teoria delle equazioni differenziali).

Tuttavia, alcune tecniche possono essere usate per diversi tipi di equazioni. Ilprincipio di omotetia è il metodo più potente per risolvere le equazionisottodeterminate. Lateoria di Riquier-Janet è un metodo effettivo per ottenere informazioni su molti sistemi analiticisovradeterminati.

Ilmetodo delle caratteristiche può essere usato in alcuni casi molto particolari per risolvere le equazioni alle derivate parziali.

In alcuni casi, una PDE può essere risolta attraverso l'analisi delle perturbazioni, nella quale la soluzione è considerata come una correzione di un'equazione con una soluzione nota. Le alternative sono le tecniche dianalisi numerica, dai semplici schemi didifferenze finite ai più maturi metodimultigrid e dielementi finiti. Molti problemi interessanti in scienza e ingegneria vengono risolti in questo modo usandocomputers, e talvoltasupercomputers molto potenti. Comunque, molti problemi in scienza e ingegneria vengono affrontati usando calcoli scientifici piuttosto che l'analisi numerica, siccome in genere non è noto se il metodo numerico produca soluzioni vicine a quella reale. È comunque bene sottolineare che la via numerica è spesso l'unica strada percorribile per trovare soluzioni, seppur approssimate, di molti problemi dimatematica applicata.

Note

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  1. ^Evans, Pag. 1.
  2. ^abEvans, Pag. 2.
  3. ^Evans, Pag. 3.
  4. ^abEvans, Pag. 7.
  5. ^Evans, Pag. 8.
  6. ^Evans, Pag. 65.
  7. ^Evans, Pag. 20.

Bibliografia

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Voci correlate

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