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Equazione del moto

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Inmeccanica classica, un'equazione del moto è un'equazione che descrive il moto di unsistema fisico in funzione della posizione nellospazio e deltempo.^[1] In particolare, l'equazione che esprime una coordinata generalizzata in funzione della variabile tempo è dettalegge oraria.

Descrizione

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Un sistema meccanico con $n {\displaystyle n}$ gradi di libertà viene solitamente descritto attraverso un insieme dicoordinate generalizzate ${\textstyle q_{1},\dots ,q_{n}}$ . La conoscenza in un dato istante temporale delle coordinate generalizzate e dellevelocità generalizzate ${\textstyle {\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{n}}$ , che sono le derivate rispetto al tempo delle coordinate generalizzate, consente una caratterizzazione completa dello stato meccanico del sistema. Con tali informazioni si possono determinare univocamente leaccelerazioni ${\textstyle {\ddot {q}}_{1},\dots ,{\ddot {q}}_{n}}$ , ed è quindi possibile prevedere l'evoluzione del sistema ad un tempo successivo a quello considerato.

L'equazione del moto mette in relazione le quantità ${\textstyle q_{i}}$ , ${\textstyle {\dot {q}}_{i}}$ e ${\textstyle {\ddot {q}}_{i}}$ , e se l'incognita è ${\textstyle q_{i}}$ , come spesso accade, si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine le cui soluzioni sono le possibili leggi orarie $q_{i}(t)$ di unpunto materiale, o un corpo, soggetto ad una interazione nota. Le equazioni del moto sono completate dalla definizione dei parametri iniziali, che definiscono ilproblema di Cauchy e che sotto opportune ipotesi consentono di determinare univocamente la soluzione.

Solitamente la legge oraria di un oggetto in moto è un'equazione che si ricava dall'applicazione al sistema delleleggi della dinamica diNewton o dileggi di conservazione, quali ad esempio lalegge di conservazione dell'energia meccanica o delmomento angolare. La legge oraria di un punto materiale può essere data sia rispetto ad unsistema di riferimento sia rispetto ad unaascissa curvilinea. Per esempio, se un punto materiale è vincolato su una guida per definirne la posizione si può sia indicare i valori della proiezione del punto sugli assi, sia la distanza da un punto di riferimento preso sulla guida.

Definizione

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Nellameccanica newtoniana un'equazione del moto è una funzione $M {\displaystyle M}$ che ha la forma di un'equazione differenziale ordinaria rispetto alla funzione che descrive la posizione in funzione del tempo $\mathbf {r} (t)$ :

M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0

Ilproblema di Cauchy è dato assegnando un valore alla posizione e alla sua derivata nell'istante $t=0$ :

\mathbf {r} (0)=\mathbf {r} _{0}\qquad \mathbf {\dot {r}} (0)={\dot {\mathbf {r} }}_{0}

Ilsecondo principio della dinamica può essere formulato sia attraverso la legge di Newton che con laprima equazione di Eulero. Quest'ultima rappresenta la sua forma più generale:

\mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{{\rm {d}}t}}

dove $\mathbf {F}$ è laforza e $\mathbf {p}$ laquantità di moto e questa equazione ha la forma di un'equazione del moto. Poiché si assume la massa costante, può essere anche scritta adottando lanotazione di Newton $\mathbf {F} =m\mathbf {\ddot {x}}$ e nel caso unidimensionale si ha:

{\ddot {x}}={\frac {F(x,{\dot {x}})}{m}}

Tale equazione possiede tre casi notevoli:

Se $F {\displaystyle F}$ è nulla si ottiene la soluzione delmoto rettilineo uniforme: $x(t)=x(0)+v(0)t$

Se $F {\displaystyle F}$ è costante il moto è uniformemente accelerato: $x(t)=x(0)+v(0)t+{\frac {F}{2m}}t^{2}$

Se $F {\displaystyle F}$ è proporzionale all'opposto di $x {\displaystyle x}$ il moto è quello di unoscillatore armonico: $x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\varphi \right)$

dove

A {\displaystyle A}

\varphi

sono costanti note a partire dalla posizione e dalla velocità iniziali e

k {\displaystyle k}

è la costante di proporzionalità, col segno positivo, tra la forza e lo spostamento.

Principio variazionale di Hamilton

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Lo stesso argomento in dettaglio:Principio variazionale di Hamilton.

La legge di Newton non è l'unico modo per descrivere la dinamica di un sistema. Si consideri unsistema fisico descritto da $n {\displaystyle n}$ coordinate generalizzate $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})$ che evolve tra due stati $\mathbf {q} _{1}(t)=\mathbf {q} (t_{1})$ e $\mathbf {q} _{2}(t)=\mathbf {q} (t_{2})$ nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti $t_{1}$ e $t_{2}$ . Il moto di un tale sistema, che è unsistema conservativo, rispetta il principio variazionale di Hamilton, secondo il quale il percorso compiuto minimizza l'azione ${\mathcal {S}}$ , data dall'integrale:

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,\operatorname {d} \!t

dove ${\mathcal {L}}$ è laLagrangiana del sistema. Leequazioni di Eulero-Lagrange:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0

si ottengono direttamente a partire dal principio variazionale, e sono equazioni del moto. Esse descrivono il moto di un oggetto che obbedisce alsecondo principio della dinamica, mettendo in relazione la posizione e lavelocità di ogni elemento che compone il sistema.^[2]

Costanti del moto

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Lo stesso argomento in dettaglio:Costante del motoeIntegrale primo.

Le soluzioni dell'equazione del moto si rappresentano attraversoorbite nellospazio delle fasi. Unacostante del moto è una funzione costante lungo ogni orbita del sistema. Dato un sistema diequazioni differenziali del primo ordine:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

una funzione scalare $X(\mathbf {r} )$ è una costante del moto oquantità conservata se per tutte le condizioni iniziali si ha:

{\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=0\qquad \forall t

La soluzione del sistema è tangente alcampo vettoriale $\mathbf {f}$ , che può essere ad esempio un campo divelocità, ed è l'intersezione di due superfici: esse sono gli integrali primi del sistema di equazioni differenziali. Utilizzando laregola della catena si mostra che il campo vettoriale $\mathbf {f}$ è ortogonale algradiente della quantità conservata $X {\displaystyle X}$ .

Esempi

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1 dimensione

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Un caso semplice di legge oraria è quello della traiettoria di una particella puntiforme vincolata a stare su una retta. Presa come sistema di riferimento la retta stessa, orientata e con un'origine, la legge oraria è una funzione $x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ che associa ad ogni istante $t {\displaystyle t}$ un punto $x {\displaystyle x}$ della retta (in questo caso il sistema di riferimento ortonormale e l'ascissa curvilinea coincidono). Per esempio, si supponga di avere una particella di massa $m {\displaystyle m}$ spinta da unaforza costante $F {\displaystyle F}$ nella direzione positiva della retta. Applicando ilsecondo principio della dinamica si ha l'equazione del moto:

{\ddot {x}}={\frac {F}{m}}

da cui,integrando due volte (o ricordando la formula per ilmoto rettilineo uniformemente accelerato) si ha la legge oraria:

x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}{\frac {F}{m}}t^{2}

2 dimensioni

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Un caso meno banale, nel quale si vede anche la differenza trasistema di riferimento cartesiano e ascissa curvilinea, è quello di un corpo puntiforme su un piano inclinato liscio, con inclinazione $\theta$ , sottoposto allaforza di gravità, come in figura. Il sistema di riferimento è preso con l'asse $x {\displaystyle x}$ orizzontale da sinistra a destra e l'asse $y {\displaystyle y}$ verticale orientato verso l'alto.

Il secondo principio della dinamica, una volta sommate tutte le forze,reazione vincolare inclusa, fornisce le due seguenti equazioni:

\left\{{\begin{aligned}&{\ddot {x}}=g\cos {\theta }\sin {\theta }\\&{\ddot {y}}=-g\sin ^{2}{\theta }\end{aligned}}\right.

che si risolvono indipendentemente come due moti uniformemente accelerati lungo gli assi $x {\displaystyle x}$ e $y {\displaystyle y}$ :

\left\{{\begin{aligned}&x(t)=x_{0}+v_{x}t+{\frac {1}{2}}\left(g\cos {\theta }\sin {\theta }\right)t^{2}\\&y(t)=y_{0}+v_{y}t-{\frac {1}{2}}\left(g\sin ^{2}{\theta }\right)t^{2}\end{aligned}}\right.

L'insieme di queste due funzioni è la legge oraria cercata: dato un valore del tempo $t {\displaystyle t}$ si può conoscere la posizione del punto tramite le sue coordinate cartesiane. Un'altra espressione della posizione può però essere data nei termini di un'ascissa coincidente col piano e diretta verso il basso: in questo modo il moto, che prima era bidimensionale, si riduce ad un moto unidimensionale lungo il piano. Con questo sistema di riferimento, l'equazione del moto è:

{\ddot {r}}=g\sin {\theta }

e la legge oraria:

r(t)=r_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}\left(g\sin {\theta }\right)t^{2}

Per chiarire il formalismo vettoriale si può definire un vettore posizione $\mathbf {r} (t)$ come:

\mathbf {r} (t)=\left(x(t),y(t)\right)

e la legge oraria è espressa come una funzione vettoriale:

r\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}

Questo vettore è ambientato nel piano verticale formato dagli assi $x {\displaystyle x}$ e $y {\displaystyle y}$ ed indica istante per istante la posizione della particella. Lo spostamento della particella tra due istanti $t_{1}$ e $t_{2}$ è dato semplicemente da:

\Delta \mathbf {s} =\mathbf {s} (t_{2})-\mathbf {s} (t_{1})=\left(x(t_{2})-x(t_{1}),y(t_{2})-y(t_{1})\right)

Note

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↑Encyclopaedia of Physics (second Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC Publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1 (VHC Inc.) 0-89573-752-3
↑Landau, Lifshits, Pag. 28.