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Dominio d'integrità

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Inalgebra, undominio d'integrità è unanello commutativo con unità tale che $0\neq 1$ in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degliinteri e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.

In altre parole, undominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello $(A;+,\cdot )$ è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:

$a\cdot b=b\cdot a\ \ \forall a,b\in A$
$a\cdot b=0\Rightarrow a=0\ \lor \ b=0$

La seconda legge viene dettalegge di annullamento del prodotto. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'ideale nullo $\{0\}$ èprimo, o comesottoanello di un qualchecampo.

La condizione che $0\neq 1$ serve all'unico scopo di escludere l'anello banale $\{0\}$ con un solo elemento.

Esempi

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Domini d'integrità

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L'esempio tipico è l'anello $\mathbb {Z}$ degli interi.
Ogni campo è un dominio di integrità. Viceversa, ogni dominio di integritàartiniano è un campo. In particolare, gli unici domini di integrità finiti sono icampi finiti.
L'anello $D[x]$ dei polinomi in $x {\displaystyle x}$ a coefficienti in un dominio di integrità $D {\displaystyle D}$ è anch'esso un dominio di integrità. Per esempio, l'anello $\mathbb {Z} [x]$ dei polinomi a coefficienti interi è un dominio d'integrità; così come l'anello $\mathbb {R} [x,y]$ dei polinomi in due variabili a coefficientireali.
L'insieme di tutti inumeri reali della forma $a+b{\sqrt {2}}$ con $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ interi è un sottoanello di $\mathbb {R}$ e quindi un dominio d'integrità. Un esempio simile è dato dal sottoanello deinumeri complessi della forma $a+bi$ con $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ interi (gliinteri gaussiani).
Gliinteri p-adici.
Se $U {\displaystyle U}$ è unsottoinsieme aperto connesso delpiano complesso $\mathbb {C}$ , allora l'anello $H(U)$ dellefunzioni olomorfe $f\colon U\to \mathbb {C}$ è un dominio d'integrità.
Se $A {\displaystyle A}$ è un anello commutativo e $P {\displaystyle P}$ è unideale in $A {\displaystyle A}$ , allora l'anello quoziente $A/P$ è un dominio d'integrità se e solo se $P {\displaystyle P}$ è unideale primo.

Anelli che non sono domini d'integrità

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Ilgruppo ciclico finito con $n {\displaystyle n}$ elementi ha anche una ovvia struttura di anello commutativo. Se $n {\displaystyle n}$ è unnumero primo, questo anello è un campo, e quindi anche un dominio di integrità. Se invece $n {\displaystyle n}$ non è primo, l'anello non è un dominio di integrità. Infatti: poiché $n {\displaystyle n}$ non è primo esistono $a<n$ e $b<n$ tali che $n=ab$ , e tale uguaglianza nel gruppo diventa $0=ab$ , con $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ diversi da zero.
Un anello non commutativo non è un dominio di integrità. Ad esempio, l'anello delle matrici $n\times n$ generalmente non è commutativo.

Campo delle frazioni

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Lo stesso argomento in dettaglio:Campo dei quozienti.

Se $A {\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità, il più piccolo campo $\mathrm {Quot} (A)$ che contiene $A {\displaystyle A}$ come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamatocampo delle frazioni ocampo quoziente di $A {\displaystyle A}$ .

Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente,quozientando l'insieme dellecoppie delprodotto cartesiano di $A {\displaystyle A}$ , scritte nella forma $a/b$ , con $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ in $A {\displaystyle A}$ e $b\neq 0$ , tramite larelazione di equivalenza $a/b\sim c/d$ se e solo se $ad=bc$ e munendolo delle operazioni

a/b+c/d=(ad+bc)/bd

(a/b)(c/d)=ac/bd

Il campo delle frazioni degli interi è il campo deinumeri razionali: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui $4/3$ e $8/6$ sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.

Altre proprietà

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Sia $A {\displaystyle A}$ un dominio d'integrità.

Se $a {\displaystyle a}$ e $x {\displaystyle x}$ sono due elementi di $A {\displaystyle A}$ tali che $ax=a$ e $a {\displaystyle a}$ è diverso da zero, allora "si può semplificare" anche se $a {\displaystyle a}$ non è invertibile, e ottenere $x=1$ : infatti abbiamo $a(x-1)=0$ e quindi $x=1$ perché $A {\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità.
Lacaratteristica di $A {\displaystyle A}$ è zero o unnumero primo.
Se $A {\displaystyle A}$ ha caratteristica prima $p {\displaystyle p}$ , allora $f(x)=x^{p}$ definisce unomomorfismo fra anelli iniettivo $f\colon A\to A$ , dettoomomorfismo di Frobenius.

Divisibilità, elementi primi e irriducibili

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Lo stesso argomento in dettaglio:Fattorizzazione (teoria degli anelli).

In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in $\mathbb {Z}$ : in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in $\mathbb {Z}$ .

Divisibilità

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Se $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ sono elementi di un anello commutativo $A {\displaystyle A}$ , diciamo che $a {\displaystyle a}$ divide $b {\displaystyle b}$ o $a {\displaystyle a}$ è undivisore di $b {\displaystyle b}$ o $b {\displaystyle b}$ è un multiplo di $a {\displaystyle a}$ se e solo se esiste un elemento $x {\displaystyle x}$ in $A {\displaystyle A}$ tale che $ax=b$ . In questo caso scriviamo $a|b$ . Abbiamo le seguenti proprietà:

se $a|b$ e $b|c$ , allora $a|c$ ;
se $a {\displaystyle a}$ divide $b {\displaystyle b}$ , allora $a {\displaystyle a}$ divide ogni multiplo di $b {\displaystyle b}$ ;
se $a {\displaystyle a}$ divide due elementi, allora $a {\displaystyle a}$ divide anche la loro somma e la loro differenza.

Gli elementi che dividono $1 {\displaystyle 1}$ sono leunità di $A {\displaystyle A}$ , e sono precisamente gli elementi invertibili di $A {\displaystyle A}$ . Le unità dividono ogni altro elemento.

Se $a|b$ e $b|a$ , allora diciamo che $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ sonoelementi associati; $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ sono associati se e solo se esiste un'unità $u {\displaystyle u}$ tale che $au=b$ .

Elementi primi e irriducibili

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Nel tentativo di estendere una definizione dinumero primo da $\mathbb {Z}$ ad un anello commutativo $A {\displaystyle A}$ qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in $\mathbb {Z}$ possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementiirriducibili eprimi.

Un elemento $a {\displaystyle a}$ di $A {\displaystyle A}$ èirriducibile se non è un'unità e non può essere scritto come prodotto di due non-unità.
Un elemento $p {\displaystyle p}$ che non sia un'unità e diverso da zero di $A {\displaystyle A}$ èprimo se $p|ab$ implica $p|a$ oppure $p|b$ , per ogni $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ in $A {\displaystyle A}$ .

Le due definizioni coincidono su $\mathbb {Z}$ : un numero $n {\displaystyle n}$ è irriducibile (o primo) se e solo se $n {\displaystyle n}$ oppure $-n$ è un numero primo.

Se $A {\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che $p=ab$ dove $a {\displaystyle a}$ e $b {\displaystyle b}$ sono elementi di $A {\displaystyle A}$ . Allora $p {\displaystyle p}$ divide $a b {\displaystyle ab}$ . Quindi $p|a$ oppure $p|b$ perché $p {\displaystyle p}$ è primo. Supponiamo $p|a$ , cioè $a=pq$ . Quindi $p=pqb$ , ovvero $p(1-qb)=0$ . Poiché $A {\displaystyle A}$ è un dominio di integrità e $p {\displaystyle p}$ non è lo zero, abbiamo $qb=1$ e quindi $b {\displaystyle b}$ è un'unità. Quindi $p {\displaystyle p}$ è irriducibile.

In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se $A {\displaystyle A}$ è undominio a fattorizzazione unica i due concetti sono equivalenti.

Bibliografia

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Michael Artin:Algebra, Bollati Boringhieri, 1997,ISBN 8833955869

Altri progetti

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Altri progetti

Wikibooks

Wikibooks contiene testi o manuali sudominio d'integrità

Collegamenti esterni

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Dominio d'integrita, inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
Integrita, dominio di, inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN)integral domain, suEnciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN)Opere riguardanti Integral domains, suOpen Library,Internet Archive.
(EN) Eric W. Weisstein,Integral Domain, suMathWorld, Wolfram Research.
(EN)Integral domain, suEncyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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