Inalgebra, undominio a fattorizzazione unica (oanello a fattorizzazione unica; spesso abbreviato inUFD, dall'ingleseUnique Factorization Domain) è undominio in cui vale un analogo delteorema fondamentale dell'aritmetica, ovvero in cui ogni elemento può essere scritto in modo unico come prodotto dielementi primi, analogamente a quanto accade per inumeri interi e la scomposizione innumeri primi.
Undominio d'integritàA è undominio a fattorizzazione unica se ogni elementox diA non nullo e noninvertibile può essere scritto come prodotto dielementi irriducibili
e questa rappresentazione è unica, nell'accezione seguente: seq1,...,qm sono elementi irriducibili diA tali che
alloram =n ed esiste unacorrispondenza biunivoca φ : {1,...,n} {1,...,n} tale chepi eqφ(i) sonoassociati, per ognii = 1, ...,n; ovvero, a meno di riordinare i fattori,, doveui è un elemento invertibile dell'anello.
Alternativamente,A è un dominio a fattorizzazione unica se ogni elemento non invertibile è prodotto dielementi primi: in questo caso, l'unicità è già garantita dalle proprietà degli elementi primi. Un'ulteriore caratterizzazione equivalente che usa gli elementi primi è stata dimostrata daIrving Kaplansky: un dominio è un UFDse e solo se ogniideale primo contiene un elemento primo.
Un primo esempio è dato daicampi, come il campo deinumeri razionali oreali: in questo caso, tutti gli elementi non nulli sonoinvertibili, e quindi tutte le fattorizzazioni sono banali. Un esempio più interessante è l'anello deinumeri interi (grazie alteorema fondamentale dell'aritmetica).
Esempi importanti sono gli anelliK[X1,...,Xn] deipolinomi a coefficienti in un campoK eK[[X1,...,Xn]], l'anello delleserie formali.
Più in generale, ognidominio ad ideali principali e ognidominio euclideo è a fattorizzazione unica.
Tra gli anelli diinteri algebrici, l'anello degliinteri gaussiani è a fattorizzazione unica, mentre (che comprende tutti inumeri complessi del tipo, dovea eb sono interi) non lo è, perché 6 si fattorizza in due modi diversi, come e, e questi quattro fattori sono irriducibili e non equivalenti.
In un dominio a fattorizzazione unica, le nozioni dielemento primo edelemento irriducibile coincidono; più precisamente, un dominioA è un UFD se e solo se èatomico (ovvero se ogni elemento può essere scritto come prodotto di elementi irriducibili) e se gli elementi primi ed irriducibili coincidono.
Ogni coppia (oinsieme finito) di elementi inA ha unmassimo comune divisore ed unminimo comune multiplo, definiti analogamente a quanto accade negli interi; questi possono essere ricavati dalla fattorizzazione. Dall'esistenza dei massimi comun divisori segue che ogni UFD èintegralmente chiuso; questo criterio può essere a volte usato per dimostrare che certi anellinon sono a fattorizzazione unica.
La proprietà di essere a fattorizzazione unica si conserva passando aglianelli di polinomi, ovveroA è un UFD se e solo seA[X] è un UFD. Perinduzione, anche gli anelliA[X1, ...,Xn] sono a fattorizzazione unica: ad esempio questo avviene per l'anelloK[X1, ...,Xn] dei polinomi a coefficienti in un campo. Pern > 1, quest'ultimo caso è un esempio di UFD che non è adideali principali; più in generale, un UFD è ad ideali principali se e solo se la suadimensione di Krull è 0 o 1.
Al contrario degli anelli di polinomi, non è detto che, seA è a fattorizzazione unica, lo sia anche l'anello delleserie formaliA[[X]]; un caso particolare (ma importante) in cui questa proprietà è invece vera si ha quandoA=K è un campo. Più in generale, seA è unanello regolare a fattorizzazione unica, ancheA[[X]] è un UFD regolare.
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