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Distanza (matematica)

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L'accezionematematica del terminedistanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di uninsieme al quale si possa attribuire qualche caratterespaziale. In matematica, però, questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni comeR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali.

Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati. Il concetto di distanza e quello collegato dilunghezza vengono generalizzati mediante la definizione dellageodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".

Definizione di distanza

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Unadistanza (ometrica) su uninsiemeX{\displaystyle X} è unafunzione

d:X×X⟶R{\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} }

che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta dix,y,z{\displaystyle x,y,z} inX{\displaystyle X}:

  1. d(x,y)≥0{\displaystyle d(x,y)\geq 0}
  2. d(x,y)=0 ⟺ x=y{\displaystyle d(x,y)=0~\Longleftrightarrow ~x=y}
  3. d(x,y)=d(y,x){\displaystyle d(x,y)=d(y,x)} (simmetria)
  4. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y){\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)} (disuguaglianza triangolare)

La coppia(X,d){\displaystyle (X,d)} è chiamataspazio metrico.

In realtà, solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre. Per esempio, sed(a,b)=d(b,c)=d(c,a)=d(b,a)=d(c,b)=2,d(a,c)=3{\displaystyle d(a,b)=d(b,c)=d(c,a)=d(b,a)=d(c,b)=2,d(a,c)=3} allora la funzioned(x,y){\displaystyle d(x,y)} per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.

La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.

Infatti, sfruttando la 4 si had(x,z)≤d(x,y)+d(y,z){\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)} ed(z,y)≤d(z,x)+d(x,y){\displaystyle d(z,y)\leq d(z,x)+d(x,y)}. Sommando ora membro a membro otteniamo

d(x,z)+d(z,y)≤d(x,y)+d(y,z)+d(z,x)+d(x,y),{\displaystyle d(x,z)+d(z,y)\leq d(x,y)+d(y,z)+d(z,x)+d(x,y),}

infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in

0≤2d(x,y){\displaystyle 0\leq 2d(x,y)}

che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).

Distanza indotta da una norma

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Data unanorma||⋅||:X→R{\displaystyle ||\cdot ||:X\rightarrow \mathbb {R} }, è possibile definire una distanzad:X×X→R{\displaystyle d:X\times X\rightarrow R} definendo

d(x,y)=||x−y||.{\displaystyle d(x,y)=||x-y||.}

Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:

Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante pertraslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettorid(x+z,y+z)=d(x,y){\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y)}).

Distanze su spazi euclidei

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La distanza normalmente considerata in R2{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}} è quellaeuclidea, pari allaradice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:

d=(xB−xA)2+(yB−yA)2.{\displaystyle d={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.}

Se si elimina la seconda dimensione, questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri:d(x1,x2)=|x1−x2|{\displaystyle d(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}.

Più in generale nellospazio euclideo Rn{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}} si può definire la distanza tra due punti(x1,x2,…,xn){\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} e(y1,y2,…,yn){\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})} nei seguenti modi:

1-distanza=∑i=1n|xi−yi|{\displaystyle {\mbox{1-distanza}}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|}
2-distanza=∑i=1n|xi−yi|2{\displaystyle {\mbox{2-distanza}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}} (distanza euclidea)
p-distanza=∑i=1n|xi−yi|pp{\displaystyle p{\mbox{-distanza}}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}}, per ognip reale maggiore o uguale ad 1
∞-distanza=limp→∞∑i=1n|xi−yi|pp=maxi=1,⋯,n{|xi−yi|}{\displaystyle \infty {\mbox{-distanza}}=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}=\max _{i=1,\cdots ,n}\{|x_{i}-y_{i}|\}}

La2-distanza in uno spazio an dimensioni corrisponde alteorema di Pitagora applicaton-1 volte: è la distanza di unospazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anchedistanza pitagorica. La1-distanza, detta anchedistanza L1 odistanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, dettageometria del taxi. La∞-distanza (o distanza L∞) è la cosiddettadistanza di Chebyshev.

Altre distanze

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Nel caso di unospazio di HilbertH{\displaystyle H}, ilteorema della proiezione afferma che per ogni puntox∈H{\displaystyle x\in H} e per ogniinsieme convessochiusoC⊂H{\displaystyle C\subset H} esiste un unicoy∈C{\displaystyle y\in C} tale per cui‖x−y‖{\displaystyle \lVert x-y\rVert } assume il valore minimo suC{\displaystyle C}. In particolare, questo è vero per ognisottospazio chiusoM{\displaystyle M} diH{\displaystyle H}: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente pery{\displaystyle y} è che il vettorex−y{\displaystyle x-y} siaortogonale aM{\displaystyle M}.

Dischi associati a una distanza

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Data una distanza su un insieme, si può definire comepalla, o bolla, o disco, centrata in un puntoc{\displaystyle c} di un certo raggior{\displaystyle r} positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano dac{\displaystyle c} meno dir{\displaystyle r}:

B(c,r)={x∈X:d(x,c)<r}.{\displaystyle B(c,r)=\{x\in X:d(x,c)<r\}.}

Solitamente, la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".

Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme

∂B={x∈X:d(x,c)=r}.{\displaystyle \partial B=\{x\in X:d(x,c)=r\}.}

L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizionetopologica dibase: latopologia sull'insiemeX{\displaystyle X} determinata da questa base si dicetopologia generata (oindotta) dalla distanzad{\displaystyle d}.

È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con lachiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nellospazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.

Distanze equivalenti

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Due distanzed{\displaystyle d} ed′{\displaystyle d'} si diconoequivalenti se l'applicazione identità

id:(X,d)→(X,d′){\displaystyle id:(X,d)\to (X,d')}

è unomeomorfismo.

Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanzad è equivalente a quella data dalla funzionemin{d,1}{\displaystyle \min\{d,1\}} ed a quella data dalla funzionedd+1{\displaystyle {d \over d+1}}.

Due distanze equivalenti generano la stessatopologia.

Generalizzazioni

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Se si indeboliscono le richieste sud{\displaystyle d}, si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:

  • Perdendo una delle due implicazioni della proprietà 2, ma richiedendo solamente ched(x,x)=0{\displaystyle d(x,x)=0} (cioè ammettendo che punti distinti possano avere distanza nulla), si ottiene unapseudometrica. La sua importanza è grande nel campo diteoria della relatività eanalisi funzionale, dove questi spazi si incontrano spesso. È il tipo di distanza indotto da unaseminorma.
  • Perdendo la proprietà 3, si ottiene unaquasimetrica.
  • Perdendo la proprietà 4, si ottiene unasemimetrica.
  • Perdendo parzialmente la proprietà 2 nel senso sopra e la proprietà 3, si ottiene unaemimetrica.
  • Perdendo parzialmente la proprietà 2 e le proprietà 3 e 4, si ottiene unaparametrica. Da notare che, nonostante questo sia chiaramente lo spazio più povero di tutti, è ancora possibile definire una topologia a partire da uno spazio parametrico, nello stesso esatto modo descritto sopra.

Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che

d(x,y)≤max{d(x,z),d(z,y)}{\displaystyle d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\}}

si ottiene una cosiddettaultrametrica.

Voci correlate

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