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Ingeometria descrittiva, ladirettrice è unacurva utilizzata per la costruzione geometrica di altre curve e superfici; la definizione esatta varia a seconda del tipo di costruzione utilizzato.

Lo stesso argomento in dettaglio:Sezione conica.

La direttrice più nota interviene nella costruzione dellesezioni coniche. Queste curve possono venire definite come illuogo dei punti per cui il rapporto tra ladistanza da un punto fissato (fuoco) e la distanza da unaretta detta direttrice assume un valore costante, dettoeccentricità. Il valore dell'eccentricità${\displaystyle e}$ caratterizza la sezione conica, secondo il seguente schema:

Fissato il fuoco${\displaystyle F(x_0,y_0)}$ e la direttrice generica${\displaystyle r:ax+by+c=0}$, la sezione conica è definita come il luogo dei punti${\displaystyle P(x,y)}$ per cui vale:

${\displaystyle \frac{d(P,F)}{d(P,r)}=e⟺d(P,F)=e\cdot d(P,r)}$,

dove${\displaystyle d(P,F)}$ e${\displaystyle d(P,r)}$ rappresentano rispettivamente la distanza di${\displaystyle P}$ dal fuoco e dalla direttrice. Utilizzando le note formule dellageometria analitica per ladistanza di un punto si ottiene:

${\displaystyle \sqrt{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2}=e\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.

Elevando al quadrato l'equazione sopra, semplificando e raccogliendo i termini comuni alle potenze di${\displaystyle x}$ e${\displaystyle y}$ si ottiene:

${\displaystyle \left(1-e^2\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)x^2-e^2\frac{2ab}{a^2+b^2}xy+\left(1-e^2\frac{b^2}{a^2+b^2}\right)y^2+-2\left(x_0+e^2\frac{ac}{a^2+b^2}\right)x-2\left(y_0+e^2\frac{bc}{a^2+b^2}\right)y+\left(x_0^2+y_0^2-e^2\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)=0}$.

I coefficienti possono essere poi rinominati per scrivere l'equazione generale delle coniche:

La tipologia della sezione conica è determinata dallaforma quadratica associata ai termini di secondo grado dell'equazione.

Ildiscriminante della forma quadratica è${\displaystyle \mathrm{\Delta }=B^2-4AC=4(e^2-1)}$, e si ha che:

• 
  • ${\displaystyle e=0⟹}$la curva è unacirconferenza
  • la curva è unaellisse
• ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=0⟺e=1⟹}$la curva è unaparabola
• ${\displaystyle \mathrm{\Delta }>0⟺e>1⟹}$la curva è unaiperbole

Lo stesso argomento in dettaglio:Superficie rigata.

Una retta che si muove lungo una curva data genera unasuperficie rigata; la curva di partenza viene definita direttrice ocurva base; la superficie èparametrizzabile come:

${\displaystyle \mathbf{s}(u,v)=\mathbf{p}(u)+v\mathbf{q}(u)}$,

dove${\displaystyle u\in I\subseteq \mathbb{R}}$,${\displaystyle v\in \mathbb{R}}$ sono i parametri reali,${\displaystyle \mathbf{s}}$,${\displaystyle \mathbf{p}}$,${\displaystyle \mathbf{q}}$ sono funzioni a valori vettoriali. La direttrice è la curva descritta da${\displaystyle \mathbf{p}(u)}$.

Se la direttrice è una curva chiusa e la retta ha direzione invertita dopo aver percorso un circuito intero, allora la superficie ènon orientabile.

• Fuoco (geometria)

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• Geometria descrittiva
• Sezioni coniche

• Senza fonti - matematica
• Senza fonti - luglio 2017