Ladimostrazione per assurdo (per cui si usa anche la locuzionelatinareductio ad absurdum), nota anche comeragionamento per assurdo, è un tipo di argomentazionelogica nella quale, muovendo dalla negazione dellatesi che si intende sostenere e facendone seguire una sequenza di passaggi logico-deduttivi, si giunge a una conclusione incoerente e contraddittoria. Tale risultato, nella logica argomentativa, confermerebbe l'ipotesi iniziale, per mezzo della falsificazione della sua negazione. È una delle principali forme didimostrazione matematica.
Questo metodo logico fa uso delprincipio del terzo escluso (tertium non datur), il quale dichiara che un enunciato che non può essere falso, deve essere assunto come vero non essendovi una terza possibilità.
La sua teorizzazione è giunta molto più tardi dell'uso frequente che ne facevano i pensatori antichi per dimostrare le loro tesi (Zenone,Euclide sino ai filosofi dellaScolastica); il metodo classico dell'esaustione esplorava tutti i casi possibili, ma era poco fecondo di nuove scoperte che avvenivano per altra via per poi essere teorizzate dai loro scopritori: fu perciò abbandonato in epoca moderna.
Utilizzata anche inmatematica, prende il nome di dimostrazione per assurdo, che si consegue provando le conseguenze false che derivano da ipotesi o premesse erronee.
Una dimostrazione per assurdo può essere fatta per sostenere molte tesi. Si consideri il seguente dialogo, per esempio.
Ecco un altro esempio di dimostrazione per assurdo.
(L'asserzione di A implica possibile che tutto sia vero e falso, quindi la dimostrazione di B non è valida.)
L'argomento giusto è il seguente:
B —Se tutto è possibile, allora niente è impossibile, dunque è impossibile che qualcosa sia impossibile. Ma se è impossibile che qualcosa sia impossibile, allora qualcosa è impossibile! Ciò genera una contraddizione, quindi non tutto è possibile.
Lo stesso argomento in dettaglio:Dimostrazione per contraddizione.Supponiamo di dover dimostrare che la proposizionep sia vera.
Il procedimento consiste nel mostrare che assumere chep sia falsa, conduce ad unacontraddizione logica. Perciòp non può essere falsa, e perciò, secondo lalegge del terzo escluso, deve essere vera.
Per fare un semplice esempio, si consideri la proposizione "non esiste unnumero razionale minimo tra quelli maggiori di zero".In una dimostrazione per assurdo, cominceremmo a supporre l'opposto: cheesiste un numero razionale positivo minimo, diciamo,r0.
Adesso poniamox =r0/2.Risulta chex è un numero razionale, ed è maggiore di zero; ex è minore dir0.Ma questo è assurdo — contraddice la nostra ipotesi iniziale cher0 fosse il più piccolo numero razionale positivo.Perciò possiamo concludere che la proposizione originale deve essere vera — "non esiste un numero razionale minimo tra quelli maggiori di zero".
Non è raro usare questo tipo di argomentazione con proposizioni come quella di cui sopra, riguardanti lanon esistenza di qualche oggetto matematico.Si assume che tale oggetto esista, e quindi si dimostra che ciò condurrebbe a una contraddizione; pertanto, tale oggetto non può esistere.Altri esempi sono, la dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di due e l'argomento diagonale di Cantor.
È importante notare che, affinché la dimostrazione porti a conclusioni valide, deve essere dimostrato che, data una proposizionep, il suo contrario "nonp" (cioè il fatto chep sia falso) implica un risultato che è assolutamente falso nel sistema matematico usato. Il pericolo è legato alla incoerenza logica di argomentazioni derivanti da mancanza di valutazione, ossia da situazioni in cui viene provato che "nonp" implica una proprietà "q" chesembra falsa ma la cui falsità non viene realmente provata in maniera definitiva. Esempi tradizionali (ma non corretti!) di questa incoerenza sono le errate dimostrazioni del quinto postulato diEuclide (il cosiddettopostulato delle rette parallele) a partire dagli altri postulati. La ragione per cui queste dimostrazioni non possono essere considerati reali esempi di questa incoerenza è che la nozione di dimostrazione matematica era differente nelXIX secolo; lageometria euclidea era vista come un riflesso reale della realtà fisica, e quindi dedurre una contraddizione concludendo un risultato fisicamente impossibile (come la somma degli angoli di un triangolo non uguale a 180 gradi) era accettabile. Dubbi in merito alla natura della geometria dell'universo portarono, tra gli altri, matematici comeGauss,Lobačevskij,Riemann,Bolyai ad estendere la definizione digeometria comprendendo tutte legeometrie non euclidee.Per un'ulteriore esposizione in merito a questi fraintendimenti, vediMorris Kline,Mathematical Thought: from Ancient to Modern Times.
Sebbene sia frequentemente usata nelle dimostrazioni matematiche, non tutte le scuole matematiche di pensiero accettano ladimostrazione per assurdo come universalmente valida. In scuole come l'intuizionismo ilprincipio del terzo escluso non è accettato come vero. In base a questo modo di pensare, c'è una differenza molto significativa tra il provare che qualcosa esiste attraverso il fatto che sarebbe assurdo se non esistesse, e provare che qualcosa esiste costruendo un esempio reale di un tale oggetto.
Nellalogica matematica, ladimostrazione per assurdo è rappresentata come:
Sopra,p è la proposizione che desideriamo provare, eS è un insieme di proposizioni che vengono considerate vere; queste potrebbero essere, per esempio, gli assiomi della teoria su cui stiamo lavorando, o teoremi precedentemente dimostrati. Consideriamo la negazione dip insieme aS; se questo porta alla contraddizione logicaF, possiamo concludere che le proposizioniS portano alla deduzionep.
Notare che l'operazione insiemistica di unione, in alcuni contesti strettamente collegata alladisgiunzione inclusiva (or), è usata qui per insiemi di proposizioni in modo che risulti più incentrata sullacongiunzione logica (and).
In termini equivalenti alla logica matematica, nellalogica proposizionale la riduzione all'assurdo si schematizza nel modo seguente:
Essa si dimostra assumendo le due premesse e, applicando ad entrambe la regola delmodus ponendo ponens per derivare, espressione che viola ilprincipio di non-contraddizione e che quindi non può essere vera, dalla quale si deriva la verità della negazione diP.
In altre parole, alle ipotesi del teorema si aggiunge per costruzione una ulteriore ipotesi che è la negazione della tesi. La contraddizione risultante obbliga a negare l'ipotesi aggiuntiva, vale a dire a negare la negazione della tesi. Per la regola delladoppia negazione, ciò equivale ad affermare la tesi stessa. Il passaggio viene generalmente omesso nella dimostrazione: alla contraddizione segue la riga in cui si afferma la tesi.
Fatta salva l'applicazione tautologica della tesi che si intendeva dimostrare, l'ultimo passo assume implicitamente la verità delprincipio di non-contraddizione aristotelico.
