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Differenziale (matematica)

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Inmatematica, in particolare nelcalcolo infinitesimale, ildifferenziale di unafunzione quantifica la variazione infinitesimale della funzione rispetto ad unavariabile indipendente. Per una funzione $y=f(x)$ di una sola variabile $x {\displaystyle x}$ , per esempio, il differenziale $d y {\displaystyle dy}$ di $f {\displaystyle f}$ è definito dalla1-forma:

dy(x,dx)=f'(x)dx,

dove $f^{'} {\displaystyle f'}$ denota laderivata di $f {\displaystyle f}$ rispetto a $x {\displaystyle x}$ , ovvero il limite delrapporto incrementale $\Delta f/\Delta x$ per $\Delta x$ indefinitamente piccolo, e $d x {\displaystyle dx}$ l'incremento della variabile indipendente.

Se si considera unafunzione $f:U\to \mathbb {R}$ derivabile, con $U {\displaystyle U}$ aperto in $\mathbb {R}$ , essa può essere approssimata in unintorno di un qualsiasi punto $x_{0}$ del dominio mediante la funzione

l(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})

il cui grafico è laretta tangente al grafico di $f {\displaystyle f}$ in $(x_{0},f(x_{0}))$ . La funzione $l {\displaystyle l}$ è un'applicazione affine da $\mathbb {R}$ in sé, cioè un'applicazione lineare sulla distanza da $x_{0}$ composta con una traslazione (l'aggiunta del termine $+f(x_{0})$ ). Il differenziale è allora la parte lineare di $l {\displaystyle l}$ .

Lederivate direzionali di una funzione indicano di quanto varia la funzione al primo ordine lungo un determinato vettore, mentre il differenziale è l'applicazione lineare che associa a quel vettore la variazione al primo ordine. Si tratta pertanto di un oggetto utile per avere informazioni locali sulla funzione di partenza, ad esempio mostra se è localmente invertibile.

Definizione

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Nella trattazione moderna del calcolo differenziale, il differenziale di unafunzione $f(x)$ di una sola variabile $x {\displaystyle x}$ è la funzione $d f {\displaystyle df}$ di due variabili indipendenti $x {\displaystyle x}$ e $h {\displaystyle h}$ data da:

df(x,h){\stackrel {\rm {def}}{=}}f'(x)h,

dove $f^{'} {\displaystyle f'}$ è laderivata di $f {\displaystyle f}$ . Tale nozione trova la sua principale applicazione nell'approssimazione lineare di una funzione.

Siano $E {\displaystyle E}$ e $F {\displaystyle F}$ duespazi di Banach (ad esempio $E {\displaystyle E}$ può coincidere con $\mathbb {R} ^{m}$ e $F {\displaystyle F}$ con $\mathbb {R} ^{n}$ ) ed $U\subset E$ aperto.

Una funzione $f\colon U\to F$ si dicedifferenziabile in $x\in U$ se la sua variazione quando si allontana da $x {\displaystyle x}$ è approssimabile tramite unaapplicazione lineare continua (se $E {\displaystyle E}$ ha dimensione finita la continuità è assicurata). In modo esplicito, esistono $\phi :E\to F$ lineare e $\sigma \colon U\to F$ tali che:^[1]

f(x+h)-f(x)=\phi (h)+\|h\|\sigma (h),\qquad {\text{con }}\lim _{h\to 0}\sigma (h)=0,

usando la notazione cono-piccolo si ha, in modo equivalente:

f(x+h)=f(x)+\phi (h)+o(\|h\|).

Se $f {\displaystyle f}$ è differenziabile in $x {\displaystyle x}$ , l'applicazione lineare $\phi$ si chiamadifferenziale di $f {\displaystyle f}$ in $x {\displaystyle x}$ ed è talvolta denotata con $df(x)$ , $f'(x)$ o anche $Df(x)$ .

Il differenziale è la parte lineare dell'applicazione affine che ha il grafico tangente a quello della funzione

La presenza dell'o-piccolo indica che i grafici di $f {\displaystyle f}$ e $f(x)+df(x)$ sono tangenti in $x {\displaystyle x}$ . Intuitivamente si può pensare che $f {\displaystyle f}$ sia una funzione da $\mathbb {R} ^{2}$ in $\mathbb {R}$ , e quindi che il grafico di $f {\displaystyle f}$ sia una superficie e quello di $f(x)+df(x)$ un piano. In tal caso, se i due grafici incontrandosi in $x {\displaystyle x}$ formassero un angolo $\theta$ allora la differenza:

\varepsilon (h)=f(x+h)-(f(x)+df(x)(h))

dovrebbe essere lineare avvicinandosi ad $x {\displaystyle x}$ in una certa direzione e il rapporto $\varepsilon /{\|h\|}$ tenderebbe alla tangente dell'angolo $\theta$ formato tra il piano e la superficie nella direzione considerata.

Segue che se $f {\displaystyle f}$ è differenziabile in $x {\displaystyle x}$ il differenziale $df(x)$ è la parte lineare della applicazione affine il cui grafico è tangente a quello di $f {\displaystyle f}$ in $x {\displaystyle x}$ .

In modo equivalente, se $f {\displaystyle f}$ è differenziabile in $x {\displaystyle x}$ si può scrivere:

f(x+h)-f(x)-\phi (h)=o(\|h\|)

e per definizione di o-piccolo:

{\frac {f(x+h)-f(x)-\phi (h)}{\|h\|}}\to 0,\qquad {\text{per }}h\to 0.

Considerando tale espressione come definizione, $f {\displaystyle f}$ è differenziabile in $x {\displaystyle x}$ se esiste $\phi$ tale per cui il limite sia nullo (l'altra implicazione per dimostrarne l'equivalenza si ottiene prendendo

\sigma (h)=\|h\|^{-1}(f(x+h)-f(x)-\phi (h))).

Scelte dellebasi per $E {\displaystyle E}$ e $F {\displaystyle F}$ , se questi sono di dimensione finita, allora si può rappresentare $\phi$ con unamatrice dettamatrice jacobiana. Si possono distinguere, in particolare, tre sottocasi:

Sia $f\colon D\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ . Il concetto di differenziale coincide con quello di derivata, essendo il differenziale di $f {\displaystyle f}$ in $x {\displaystyle x}$ un'applicazione lineare $df\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ e quindi una funzione del tipo $df(x)(h)=ah$ per qualche numero reale $a {\displaystyle a}$ (tutte le applicazioni lineari $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sono di tale forma fissata la base canonica). Il numero $a {\displaystyle a}$ è la derivata di $f {\displaystyle f}$ in $x {\displaystyle x}$ , infatti per definizione:

f(x+h)-f(x)=ah+\sigma (h)\|h\|.

Dividendo per

h {\displaystyle h}

e considerando il limite

h\to 0

si ottiene

f'(x)=a

in quanto

\lim _{h\to 0}\sigma (h)=0

Sia $f\colon D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ . La jacobiana è in tal caso una matrice $1\times n$ perché rappresenta un'applicazione lineare $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ (prese sempre le basi canoniche perdominio e codominio), ed è pertanto un vettore riga dettogradiente. Tale vettore può essere considerato un vettore colonna (prendendone la trasposta), ed in questo caso si calcola l'immagine di $h {\displaystyle h}$ tramite il gradiente di $f {\displaystyle f}$ facendone ilprodotto scalare, e non la moltiplicazione tra matrici.

Solitamente si usano funzioni

f\colon D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

per definire implicitamente delle ipersuperfici su

D {\displaystyle D}

. Ad esempio, per

n=2

si può definire una curva

\gamma

come l'insieme degli

x\in D

per cui

f(x)=0

, mentre per

n=3

si avrebbe una superficie. È inoltre possibile dimostrare che se il gradiente di una funzione non è nullo ilnucleo della funzione, opportunamente traslato, è il sottospazio affine tangente all'ipersuperficie in

x {\displaystyle x}

(quando si prende come gradiente il vettore colonna il nucleo è ilsottospazio ortogonale al gradiente).

Sia $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ . L'immagine di $f {\displaystyle f}$ è una curva in $\mathbb {R} ^{n}$ . La jacobiana $n\times 1$ ha le stesse componenti del vettore che si ottiene come limite delrapporto incrementale. Quando $f {\displaystyle f}$ rappresenta laposizione di unpunto materiale nello spazio, per esempio, $f^{'} {\displaystyle f'}$ è lavelocità. Così $df(t)=f'dt=f'(t-t_{0})$ è una retta che opportunamente traslata è tangente in $f(t_{0})$ alla curva.

La notazione di Leibniz nel caso di funzioni reali

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Giustificazione della notazione di Leibniz in termini del differenziale della funzione

Lafunzione identità associa $x {\displaystyle x}$ a sé stesso ed èlineare e differenziabile. Come ogni funzione lineare, il suo differenziale è uguale alla funzione stessa e indipendente dal punto $x {\displaystyle x}$ in cui lo si calcola. Se lo si indica con $dx(x)$ si ha, indipendentemente da $x {\displaystyle x}$ :

dx(x)(h)=h.

Dal momento che la derivata è lajacobiana del differenziale per funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ si ottiene:

df(x)(h)=f'(x)h=f'(x)dx(h),

da cui:

f'(x)={\frac {df(x)(h)}{dx(h)}}.

Quindi, il rapporto delle due funzioni lineari (i due differenziali) è costante ed è uguale alla derivata nel punto. In questo modo è possibile dare un senso rigoroso alla notazione diLeibniz, che esprime la derivata di una funzione come il quoziente tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente. Tuttavia, la trattazione svolta in questa forma non è in grado di giustificare le operazioni aritmetiche sui differenziali che, nellanotazione di Leibniz, nonostante la mancanza di una base rigorosa forniscono un metodo mnemonico semplice per la scrittura di proprietà delle derivate. Per un recupero rigoroso dei metodi leibniziani è invece necessario rifarsi a metodi che appartengono all'analisi non standard, formulata daAbraham Robinson neglianni sessanta.

Differenziale in più variabili

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Data una funzione $y=f(x_{1},\dots ,x_{n})$ , ildifferenziale parziale di $y {\displaystyle y}$ rispetto ad ognuna delle variabili $x_{1},\dots ,x_{n}$ è $(\partial y/\partial x_{i})dx_{i}$ , dove $\partial y/\partial x_{i}$ è laderivata parziale rispetto all' $i {\displaystyle i}$ -esima coordinata. Ildifferenziale totale della funzione è dato dalla somma dei differenziali parziali relativi a tutte le variabili indipendenti:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}.

In maniera più compatta si può indicare come:

dy=\nabla y\cdot d\mathbf {x} ,

dove con $\nabla y$ si indica il gradiente di $y {\displaystyle y}$ , con $d\mathbf {x}$ la variazione infinitesima che è un vettore con componenti infinitesime e con $\cdot$ il prodotto scalare.

In un contesto più formale, se $f {\displaystyle f}$ è unafunzione differenziabile l'incremento è dato da:

\Delta y\equiv f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n}),

={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n},

dove i termini di errore $\varepsilon _{i}$ si annullano all'annullarsi di $\Delta x_{i}$ . In modo rigoroso si definisce quindi il differenziale totale nel modo seguente:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.

Con tale definizione si ha:

dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i}

e quindi si può scrivere:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.

Analogamente al caso di una sola variabile vale l'approssimazione

dy\approx \Delta y

in cui l'errore totale può essere reso piccolo a piacere relativamente a ${\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}$ considerato incrementi sufficientemente piccoli.

Differenziali di ordine superiore

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I differenziali di ordine superiore di una funzione $y=f(x)$ di una sola variabile $x {\displaystyle x}$ possono essere definiti nel modo seguente:

d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)\,(dx)^{2}

e più in generale:

d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.

Informalmente, questo giustifica l'utilizzo della notazione di Leibniz per derivate di ordine superiore:

f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.

Quando la variabile indipendente $x {\displaystyle x}$ dipende da altre variabili l'espressione diventa più complessa, ad esempio:

d^{2}y=f''(x)(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x;

d^{3}y=f'''(x)(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x.

Considerazioni simili permettono di definire differenziali di ordine superiore di funzioni in più variabili. Ad esempio, se $f {\displaystyle f}$ dipende da due variabili $x {\displaystyle x}$ e $y {\displaystyle y}$ si ha:

d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},

dove $\scriptstyle {\binom {n}{k}}$ è ilcoefficiente binomiale. In più variabili l'espressione è analoga a patto di utilizzare l'appropriataespansione multinomiale.

I differenziali di ordine superiore in più variabili diventano ulteriormente complessi quando le variabili indipendenti dipendono a loro volta da altre variabili. Ad esempio, se $x {\displaystyle x}$ e $y {\displaystyle y}$ dipendono da altre variabili:

d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.

Il differenziale dell'n-esimo ordine di una funzione $f {\displaystyle f}$ ed un incremento $\Delta x$ può essere anche definito come:

d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}

o, in modo equivalente, come $\lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}$ , dove $\Delta _{t\Delta x}^{n}f$ è unadifferenza finita in avanti con incremento $t\Delta x$ . Tale definizione ha senso anche per una $f {\displaystyle f}$ di più variabili.

Differenziale di morfismi tra varietà

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Si considerino duevarietà lisce $M {\displaystyle M}$ e $N {\displaystyle N}$ , ed un morfismo tra esse, ovvero unaapplicazione differenziabile $f\colon M\to N$ . Si può definire il differenziale $df_{m}$ di $f {\displaystyle f}$ in $m\in M$ come l'applicazione lineare dallospazio tangente $T_{m}M$ a $M {\displaystyle M}$ in $m {\displaystyle m}$ allo spazio tangente $T_{f(m)}N$ a $N {\displaystyle N}$ in $f(m)$ che manda $v\in T_{m}M$ in $df_{m}(v)\in T_{f(m)}N$ , con

df_{m}(v)(g)=v(g\circ f),

per ogni $g\in {C^{\infty }}(f(m))$ , dove si sono considerati i vettori tangenti come derivazioni.^[2] Considerando ivettori tangenti comeclassi di equivalenza dicurve passanti per $m {\displaystyle m}$ si ottiene la definizione corrispondente:

df_{m}([\gamma ])=[f_{*}\gamma ]=[f\circ \gamma ].

Lamappa $df_{p}$ (scritta anche come $Tf_{p}$ , $Df_{p}$ , $f_{*}$ , $f'(p)$ ) è detta anchemappa tangente, perché il simbolo $T {\displaystyle T}$ definisce unfuntore covariante dalla categoria delle varietà differenziabili in quella deifibrati vettoriali.

Differenziale esatto

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Lo stesso argomento in dettaglio:Differenziale esatto.

Un differenziale esatto è una1-forma:

\mathrm {d} Q=A_{1}(x_{1},x_{2},\dots )dx_{1}+A_{2}(x_{1},x_{2},\dots )dx_{2}+\cdots

tale per cui esiste una funzione $Q(x_{1},x_{2},\dots )$ , dettapotenziale, che soddisfa:^[3]

A_{1}={\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}},\qquad A_{2}={\frac {\partial Q}{\partial x_{2}}},\qquad \dots

In altri termini, considerando uno spazio tridimensionale e unaforma differenziale $A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz$ , essa è una forma esatta su un dominio $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ se esiste una qualche funzione scalare $Q=Q(x,y,z)$ definita su $D {\displaystyle D}$ tale che:

dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{z,x}dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}dz=Adx+Bdy+Cdz

su tutto $D {\displaystyle D}$ . Questo è equivalente a dire a che il campo vettoriale $(A,B,C)$ è uncampo vettoriale conservativo, corrispondente al gradiente di uncampo scalare (chiamatopotenziale) $Q {\displaystyle Q}$ .

In una dimensione, una forma differenziale $A(x)dx$ è esatta se $A {\displaystyle A}$ ha unaprimitiva. Altrimenti, se $A {\displaystyle A}$ non possiede primitiva non si può scrivere $dQ=A(x)dx$ e la forma non è esatta.

Note

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^W. Rudin, Pag. 213.
^M. Abate, F. Tovena, p. 83.
^Differenziale, inTreccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

Bibliografia

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Nicola Fusco,Paolo Marcellini,Carlo Sbordone,Lezioni di Analisi Matematica Due, Bologna, Zanichelli, 2020,ISBN 9788808520203. (capitolo 3, paragrafo 29)
Nicola Fusco,Paolo Marcellini,Carlo Sbordone,Elementi di Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 2001,ISBN 9788820731373. (capitolo 2, paragrafo 13)
M. Abate, F. Tovena,Geometria Differenziale, Springer, 2011,ISBN 978-88-470-1919-5.
Walter Rudin,Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991,ISBN 88-386-0647-1.
Giuseppe De Marco,Analisi Due, Decibel-Zanichelli, 1999.
(EN) Serge Lang,Undergraduate Analysis, Springer, 1997.
(EN) Serge Lang,Real and Functional Analysis, Springer, 1993.
(EN) James Munkres,Analysis on Manifolds, Westview Press, 1991.
(EN) Frank Warner,Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983.

Voci correlate

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Altri progetti

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Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali suldifferenziale
Wikizionario contiene il lemma di dizionario «differenziale»

Collegamenti esterni

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differenziale, suTreccani.it – Enciclopedie on line,Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
(EN) Eric W. Weisstein,Differential, suMathWorld, Wolfram Research.
(EN)Differential, suEncyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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