Kvjat iniziò la sua carriera in monoposto nel 2010 inFormula BMW Pacific con il teamEuroInternational aSepang. Nella sua prima gara partì dal 6º posto, ma finì solo 19º[2]. Arrivò 5º in gara-2. Nel corso della stagione, entrò a far parte del programma giovani dellaRed Bull, ilRed Bull Junior Team e debuttò nellaFormula BMW Europe con lo stesso team[3]. Concluse il campionato al 10º posto, ottenendo come miglior risultato un 2º aMonza.
Kvjat partecipò allaToyota Racing Series nel gennaio e febbraio 2011 alla guida della Victory Motor Racing, chiudendo 5º e vincendo il Trofeo Dan Higgins aManfeild e altri cinque podii[4].
Dopo due gare allaKoiranen GP nellaFormula Renault 2.0 2010 nelle finali aBarcellona e un 4º posto inFormula Renault britannica nello stesso anno, Kvjat raggiunse questo team con il suo compagno in Formula BMW e nel vivaio Red BullCarlos Sainz Jr. per l'intera stagione 2011 sia in Eurocup sia nella Northern European Cup. Concluse 2º dietro proprio a Sainz Jr. nella Northern European Cup, con sette vittorie (tra cui un hat-trick aMonza). In Eurocup fu preceduto anche dal rivale in Formula BMW,Robin Frijns: lì ottenne due vittorie, aSpa-Francorchamps e alNürburgring.
Nell'anno successivo Kvjat rimase in Formula Renault, partecipando sia alla Formula Renault 2.0 Alps, sia all'Eurocup. Il suo debutto nella prima serie fu segnato da una doppia vittoria aMonza[5]. A maggio tornò in Eurocup e centrò una doppia vittoria al primo round della stagione adAlcañiz[6]. Vinse il campionato di Formula Renault 2.0 Alps e concluse 2º in Eurocup, in seguito a una drammatica gara finale aBarcellona, quando, mentre era al comando sotto una pioggia battente, perse completamente l'aderenza delle sue gomme negli ultimi giri. Perse il titolo per 10 punti, ma rimase nel programma giovani della Red Bull e partecipò allaGP3 nel2013.
Nel 2013 gareggiò nellaGP3 Series con il teamMWArden e nellaFormula 3 europea con laCarlin Motorsport, competizione per la quale non gli vennero attribuiti punti in quanto iscritto in un secondo momento rispetto all'inizio stagione. Ottenne cinque pole position, sette podi e una vittoria aZandvoort. La sua prima vittoria vide un inusuale errore da parte degli organizzatori: a Zandvoort non era presente l'inno nazionale russo per celebrare la vittoria[7]. La crescita in GP3 fu rapida. Ottenne il primo podio nella sua quinta gara-1, vinse le successive due e lottò fino all'ultimo per la vittoria del campionato conFacu Regalia, spuntandola adAbu Dhabi, dove il 3 novembre 2013 ottenne il titolo vincendo gara-1[8]. Una prestazione da sottolineare la ottenne aMonza: Kvjat ottenne pole, vittoria, giro più veloce e concluse con cinque secondi di vantaggio sul 2º.
Nell'ottobre 2013 fu ufficializzato il suo ingaggio come pilota dellaScuderia Toro Rosso inFormula 1 per il2014, insieme alfranceseJean-Éric Vergne[9]. Il russo prese il volante lasciato libero daDaniel Ricciardo, in seguito alla promozione dell'australiano nel teamRed Bull[10]. In accordo con il team principal del team italiano,Franz Tost, la squadra considerò ancheAntónio Félix da Costa eCarlos Sainz Jr. per il sedile, ma Kvjat li impressionò con grandi performance: fu più costante delportoghese nel 2013 e ottenne risultati migliori dellospagnolo inGP3[11]. In vista degli ultimi due gran premi della stagione di F1 2013, effettuò una serie di test aMisano, ottenendo la superlicenza con la quale poté guidare, come terzo pilota, la Toro Rosso ufficiale durante i turni del venerdì degli eventi[12].
Al suo debutto da pilota titolare, nelGran Premio d'Australia 2014, si qualificò in ottava posizione e tagliò il traguardo al nono posto, diventando il pilota più giovane a ottenere punti iridati[13], record battuto l'anno seguente daMax Verstappen. Conquistò altri due piazzamenti a punti nei Gran Premidella Malesia edi Cina, chiusi entrambi al decimo posto.Dopo una serie di tre ritiri per problemi tecnici, Kvjat tornò a punti inGran Bretagna, dove giunse nono. Il pilota russo ottenne lo stesso piazzamento anche nelGran Premio del Belgio.
Il 4 ottobre 2014, aSuzuka, venne annunciato il suo ingaggio come pilota titolare dellaRed Bull per la stagione 2015 in sostituzione del quattro volte campione del mondoSebastian Vettel.NelGran Premio di casa il pilota russo ottenne la sua miglior prestazione in qualifica, facendo segnare il quinto tempo. In gara, però, la monoposto si rivelò meno competitiva, impedendogli di cogliere un piazzamento a punti. Nel conclusivoGran Premio di Abu Dhabi Kvjat conquistò nuovamente il quinto posto in griglia di partenza, ma anche in questa occasione non riuscì a segnare punti, venendo costretto al ritiro da problemi meccanici.
Il pilota russo chiuse la sua stagione di debutto al quindicesimo posto in classifica assoluta, con 8 punti.
Il 2015 inizia con il russo che arriva nel team ufficiale InfinitiRed Bull Racing in sostituzione del tedescoSebastian Vettel.[14]Tuttavia il pilota russo ebbe un debutto difficile con la sua nuova scuderia, ritirandosi per un problema tecnico ancor prima della partenza delGran Premio d'Australia. Nelle prime cinque gare Kvjat conquistò appena cinque punti, frutto di due noni ed un decimo posto, venendo eliminato nella prima sessione di qualifica nelGran Premio del Bahrein.
AMonaco la Red Bull si mostrò più competitiva: Kvjat si qualificò in quinta posizione, alle spalle del compagno di squadra, mentre in gara il pilota russo ebbe la meglio, tagliando il traguardo in quarta posizione. Le due gare successive furono più avare di soddisfazioni per il pilota russo, che conquistò un nono posto inCanada e un dodicesimo posto inAustria, in una gara compromessa dai danni riportati dalla monoposto nel corso del primo giro[15].
Dopo un sesto posto aSilverstone, nelGran Premio d'Ungheria Kvjat conquistò il suo miglior risultato in carriera, tagliando il traguardo in seconda posizione davanti al compagno di squadra Daniel Ricciardo.A Suzuka durante la Q3 delGran Premio del Giappone andò a sbattere violentemente contro i muri di protezione dopo aver perso il controllo del posteriore sull'erba ed essere andato in testacoda ad oltre 230 km/h. La suaRB11 uscì distrutta dall'impatto, ma la cellula di sopravvivenza resse bene all'urto, e Kvjat rimase illeso.Nel prosieguo della stagione il pilota russo non ottenne altri podi, conquistando però diversi arrivi a punti, tra i quali due quarti posti inBelgio e inMessico.
Kvjat concluse la stagione al settimo posto assoluto, davanti al compagno di squadra Ricciardo, con 95 punti ed ottenendo la conferma in Red Bull per il 2016.
Il 2016 inizia con laRed Bull RB12, una monoposto più matura della precedenteRB11 nei test invernali.La sua seconda stagione in Red Bull si aprì in modo simile alla precedente: nell'inauguraleGran Premio d'Australia dopo una qualifica difficile il pilota russo fu costretto al ritiro già prima del via per un problema tecnico.
Giunto a punti nel successivoGran Premio del Bahrein, inCina Kvjat tagliò il traguardo in terza posizione. A fine gara il pilota della Red Bull ebbe una discussione con Sebastian Vettel, che lo accusava di aver effettuato una manovra azzardata alla prima curva, in seguito alla quale il pilota tedesco era entrato in contatto col compagno di squadraKimi Räikkönen; i commissari di gara non rilevarono tuttavia scorrettezze nel comportamento di Kvjat. NelGran Premio di casa Kvjat fu nuovamente coinvolto in un incidente con Vettel, tamponandolo alla prima curva e mettendolo poi fuori gara in un ulteriore contatto poche centinaia di metri dopo. In questa occasione il pilota russo fu ritenuto colpevole dell'incidente e fu di conseguenza penalizzato; l'incidente e la penalità compromisero la sua gara e Kvjat tagliò il traguardo in quindicesima posizione.
Dopo il GP di casa la Red Bull decise di retrocedere Kvjat in Toro Rosso, promuovendo al suo postoMax Verstappen, precedentemente in forza alla scuderia italiana.[16]
Il ritorno in Toro Rosso fu complicato per Kvjat: in Spagna il pilota russo chiuse al decimo posto, dopo aver fatto segnare il giro più veloce, ma a questo risultato seguì una serie di diverse gare chiuse fuori dalla zona punti. Nella seconda parte di stagione, complice una minore competitività della monoposto, Kvjat conquistò punti solamente aSilverstone e aSingapore, giungendo rispettivamente decimo e nono; chiuse il campionato al quattordicesimo posto, con 25 punti.
Nonostante i risultati negativi, Kvjat fu confermato in Toro Rosso per il 2017. Dopo un avvio difficile, con due noni posti inAustralia eSpagna come unici piazzamenti a punti, il 26 settembre, in vista delGran Premio della Malesia, venne retrocesso a terzo pilota, quindi appiedato, per lasciar posto aPierre Gasly alla guida della Toro Rosso a fianco diSainz. Il 7 ottobre, ufficializzando il passaggio di Sainz inRenault già per gli ultimi quattro gran premi della stagione, venne annunciato il ritorno di Kvjat come pilota titolare per ilGran Premio degli Stati Uniti[17], dove giunse decimo; già dall'appuntamento successivo, tuttavia, il russo venne nuovamente sostituito conBrendon Hartley, che nella gara precedente aveva invece preso il posto di Gasly impegnato inSuper Formula[18]. Tale sostituzione divenne poi definitiva, in quanto la stessa scuderia annunciò il licenziamento del pilota russo[19], rimasto appiedato per il resto della stagione.
Il 29 settembre 2018, alla vigilia delGran Premio di Russia, venne annunciato il suo ingaggio per la stagione2019 dallaScuderia Toro Rosso per sostituirePierre Gasly, passato inRed Bull. Tornò così titolare in Formula 1 dopo una stagione da collaudatore con la Ferrari.[21]
L'avvio della stagione fu buono, con il pilota russo che fu capace di battere spesso sia in qualifica sia in gara il compagno di squadraAlexander Albon, ottenendo anche diversi piazzamenti a punti. Nel corso delGran Premio di Germania, grazie alle condizioni variabili e alle numerose uscite dellasafety car, riuscì a salire sul gradino più basso del podio dopo aver occupato la seconda posizione fino al penultimo giro, in cui venne sorpassato dallaFerrari diSebastian Vettel. La Toro Rosso arrivò così a podio per la seconda volta nella propria storia, 11 anni dopo la vittoria dello stesso Vettel nelGran Premio d'Italia 2008, mentre per il pilota russo si trattò del terzo podio in Formula 1.[22] Chiuse la stagione al 13º posto con 37 punti.
Nella stagione 2020 Kvjat venne confermato dalla scuderia, che cambiò nome in AlphaTauri. Il russo ottenne risultati altalenanti, non riuscendo a raggiungere con costanza piazzamenti a punti; come miglior risultato ottenne un quarto posto alGran Premio dell'Emilia-Romagna, dove Kvjat sfiorò il podio giungendo però infine alle spalle dellaRenault R.S.20 guidata daDaniel Ricciardo. Chiuse la stagione al 14º posto con 32 punti, molto distante dal compagno di squadraGasly. Il 16 dicembre 2020 l'AlphaTauri annunciò che Kvjat non era riconfermato per la stagione 2021, venendo sostituito dal giapponese delRed Bull Junior TeamYuki Tsunoda giunto terzo nelCampionato FIA di Formula 2.[23]
Dopo un anno passato come pilota di riserva per il teamAlpine, Kvjat nel 2022 si unisce al teamG-Drive Racing per partecipare alCampionato del mondo endurance nellaclasse LMP2[25]. In seguito ai provvedimenti assunti dallaFIA[26] in reazione all'invasione russa dell'Ucraina, il team decide però di ritirarsi prima dell'inizio della stagione[27]. Nel luglio dello stesso anno Kvyat debutta nellaNASCAR Cup Series nel weekend d'Indianapolis, Il pilota russo scende in pista con la Toyota Camry #26 del Team Hezeberg[28]. Nel resto della stagione prende parte ad altre due corse dellaCup Series e una nellaXfinity Series. In patria partecipa e vince al campionato endurance nazionale, guidando per G-Drive Racing.
Kvjat ha vissuto aRoma con la sua famiglia, per poi trasferirsi a Monaco. Parla fluentemente quattro lingue: inglese, spagnolo, italiano e russo.[33] Tra gli hobby di Kvjat sono inclusi ilcalcio e losci. È tifoso del club russo di hockeySalavat Julaev Ufa. Dal2016 al2019 ha avuto una relazione con Kelly Piquet, figlia dell'ex pilota automobilisticoNelson e con la quale ha avuto una figlia, Penelope, nata il 27 luglio2019.[34]