Ingeometria differenziale, lacurvatura gaussiana è una misura dellacurvatura di unasuperficie in un punto.

La curvatura gaussiana in un punto${\displaystyle x}$ di una superficie contenuta nellospazio euclideo è definita come il prodotto delle duecurvature principali in${\displaystyle x}$. La curvatura gaussiana, a differenza delle curvature principali, è unacurvaturaintrinseca: dipende cioè soltanto dalle distanze fra punti all'interno della superficie, e non da come questa sia contenuta nello spazio tridimensionale. Questo fatto importante è asserito dalteorema egregium diGauss.

Un altro tipo di curvatura calcolato a partire dalle curvature principali è lacurvatura media. A differenza della curvatura di Gauss, la curvatura media non è intrinseca.

Una semplice definizione della curvatura gaussiana di una superficie è la seguente. La curvatura gaussiana non cambia se la superficie viene spostata con movimenti rigidi. Per definire la curvatura gaussiana di una superficie${\displaystyle X}$ in un punto${\displaystyle P}$, possiamo quindiruotare${\displaystyle X}$ in modo che ilpiano tangente in${\displaystyle P}$ sia orizzontale. A questo punto la superficie è descritta (almeno localmente, in unintorno di${\displaystyle P}$) comegrafico di una funzione

${\displaystyle f:A\to \mathbb{R}}$

avente comedominio unaperto${\displaystyle A}$ di${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$. Lacurvatura gaussiana in${\displaystyle P=(x,y,f(x,y))}$ è ildeterminante dell'hessiano di${\displaystyle f}$ in${\displaystyle (x,y)}$. Perché questa definizione abbia senso, la funzione deve esseredifferenziabile almeno due volte: l'hessiano è infatti lamatrice simmetrica${\displaystyle 2\times 2}$ data dallederivate parziali seconde di${\displaystyle f}$.

La curvatura gaussiana di una superficie più generale${\displaystyle X}$ in un punto${\displaystyle x}$ è il prodotto${\displaystyle k_1{k}_2}$ dellecurvature principali. Per definire le curvature principali è necessario fissare unanormale alla superficie in${\displaystyle X}$: poiché la normale opposta dà curvature con segni opposti, il loro prodotto è però ben definito anche senza questa scelta.

Un piano o uncilindro hanno curvatura gaussiana ovunque nulla. Una sfera di raggio${\displaystyle r}$ ha curvatura gaussiana ovunque${\displaystyle 1/r^2}$.

La funzione

${\displaystyle f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2}$

hagradiente${\displaystyle (2ax,2by)}$. Il gradiente è nullo nell'origine, e quindi la curvatura gaussiana del grafico${\displaystyle X}$ di${\displaystyle f}$ in${\displaystyle (0,0)}$ è il determinante dell'hessiano. L'hessiano è

ed il suo determinante è${\displaystyle 4ab}$. La curvatura di${\displaystyle X}$ in${\displaystyle (0,0)}$ è quindi${\displaystyle 4ab}$. Questa è ad esempio negativa in presenza di unpunto di sella, ove${\displaystyle a}$ e${\displaystyle b}$ hanno segni discordi.

Questo metodo per calcolare la curvatura è però funzionante solo in${\displaystyle (0,0)}$, dove il gradiente si annulla.

Lacurvatura totale di una regione${\displaystyle A}$ della superficie${\displaystyle X}$ è l'integrale di superficie

${\displaystyle {\int }_{A}Kds}$

della curvatura gaussiana${\displaystyle K}$ su${\displaystyle A}$. La curvatura totale misura quanto si differenzia globalmente la geometria di${\displaystyle A}$ da quella di una regione piatta sul piano: ad esempio, la curvatura totale di untriangologeodetico${\displaystyle T}$ è pari alla differenza fra la somma dei suoi angoli interni (inradianti) e${\displaystyle \pi }$. In altre parole,

${\displaystyle \sum _{i=1}^3{\theta }_i=\pi +{\int }_{T}Kds}$

dove${\displaystyle {\theta }_1,{\theta }_2}$ e${\displaystyle {\theta }_3}$ sono gli angoli interni.

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura ovunque positiva è maggiore di${\displaystyle \pi }$, mentre è minore se la superficie ha curvatura ovunque negativa.

Per ilteorema egregium dimostrato da Gauss nel1828, la curvatura gaussiana dipende solo dalla suaprima forma fondamentale, cioè dal suotensore metrico.

La curvatura gaussiana è quindi invariante perisometrie della superficie: si tratta cioè di una proprietàintrinseca della superficie. Una isometria non è necessariamente un movimento rigido dello spazio: un esempio è fornito da un foglio di carta, che può essere arrotolato fino a formare un cilindro. Piano e cilindro sono (almeno localmente) isometrici.

Ilteorema di Gauss-Bonnet fornisce una stretta connessione fra la curvatura totale di una superficie e la suatopologia. Se${\displaystyle X}$ è una superficie compatta, il teorema asserisce che

${\displaystyle {\int }_{X}Kds=2\pi \chi (X)}$

cioè la curvatura totale della superficie è pari alla suacaratteristica di Eulero, moltiplicata per${\displaystyle 2\pi }$.

Ad esempio, unasfera di raggio${\displaystyle r}$ ha caratteristica 2, e la sua curvatura totale è sempre${\displaystyle 4\pi }$, indipendentemente da${\displaystyle r}$. Infatti, è pari al prodotto fra l'area${\displaystyle 4\pi r^2}$ e la curvatura, che è costantemente pari a${\displaystyle 1/r^2}$, poiché entrambe le curvature principali sono${\displaystyle 1/r}$. Più sorprendentemente, la curvatura totale di una qualsiasi superficieomeomorfa alla sfera (ad esempio, il bordo di unellissoide) è sempre${\displaystyle 4\pi }$.

Untoro ha caratteristica di Eulero nulla. Ne segue che la sua curvatura totale è nulla: o questa è ovunque nulla (cosa però impossibile per un toro contenuto nello spazio tridimensionale), oppure presenta zone di curvatura positiva e zone di curvatura negativa.

• (EN) Manfredo do Carmo,Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976,ISBN 0-13-212589-7.

• Curvatura principale
• Teorema egregium
• Teorema di Gauss-Bonnet
• Teorema di uniformizzazione di Riemann

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• (EN)Gaussian curvature, suEnciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein,Gaussian Curvature, suMathWorld, Wolfram Research.

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