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Corpo nero

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L'andamento delle curve di Planck per il corpo nero. In ascissa lalunghezza d'onda, in ordinata l'intensità della radiazione.

Infisica, uncorpo nero è un oggetto ideale che assorbe tutta laradiazione elettromagnetica incidente e non la riflette. Per questo motivo, è detto "nero", secondo l'interpretazione classica delcolore dei corpi.

Assorbendo tutta l'energia incidente, per lalegge di conservazione dell'energia il corpo nero re-irradia tutta l'energia assorbita (emissività =assorbanza = 1).^[1] Si tratta di una idealizzazione fisica, dal momento che in natura non esistono corpi che soddisfano perfettamente tale caratteristica.

La radiazione emessa da un corpo nero viene dettaradiazione del corpo nero e la densità di energia irradiataspettro di corpo nero. Lospettro (intensità o densità della radiazione emessa in funzione dellalunghezza d'onda o dellafrequenza) di un corpo nero è uno spettro dalla caratteristica forma acampana (più o meno asimmetrica e più o meno schiacciata) dipendente unicamente dalla suatemperatura T e non dalla materia che lo compone. La differenza tra lo spettro di un oggetto reale (per esempio ilsole) e quello di un corpo nero ideale permette di individuare lacomposizione chimica di tale oggetto (nel caso del sole,idrogeno edelio). Tale analisi viene realizzata nell'ambito dellaspettroscopia.^[2]^[3]

Negliesperimenti inlaboratorio un corpo nero è costituito da un oggetto cavo mantenuto atemperatura costante (una sorta di forno) le cui pareti emettono e assorbono continuamente radiazioni su tutte le possibili lunghezze d'onda dellospettro elettromagnetico. Come evidenziato nel grafico a lato, applicando leequazioni di Maxwell alle radiazioni emesse e assorbite dalle pareti, risulta che al diminuire della lunghezza d'onda si ottengono valori di intensità diirraggiamento (W/m²) che tendono all'infinito (cadendo così nel problema noto come “catastrofe ultravioletta”), in palese contraddizione con i dati sperimentali secondo cui tali valori tendono invece a zero. Storicamente la soluzione delproblema dello spettro del corpo nero è stata una delle basi dellameccanica quantistica e più in generale dellafisica moderna.

Evoluzione storica

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Il termine e il concetto di "corpo nero" vennero introdotti daGustav Kirchhoff nel1862. Lo spettro di un corpo nero venne correttamente interpretato per la prima volta nel 1900 daMax Planck (vincitore delpremio Nobel nel1918), il quale ipotizzò che laradiazione elettromagnetica fosse emessa e assorbita dagliatomi solo in pacchetti discreti, oquanti, di energia proporzionale alla frequenza dell'onda elettromagnetica. Introducendo l'ipotesi deiquanti Planck verificò che i calcoli teorici combaciavano con i dati sperimentali. Nonostante questo importante successo, che rappresenta il primo mattone della nascenteteoria dei quanti omeccanica quantistica, lo stesso Planck ritenne, per diversi anni, che iquanti fossero soltanto un espediente matematico per fare tornare i conti e non un fenomeno reale.^[4]

Fu poiEinstein nel1905 a riprendere e rilanciare la teoria deiquanti nell'ambito dei suoi studi sull'effetto fotoelettrico, per spiegare l'emissione dielettroni dalla superficie di unmetallo colpito daradiazione elettromagnetica (effetto anche questo non spiegabile con la classica teoria ondulatoria diMaxwell). SecondoAlbert Einstein (vincitore delpremio Nobel nel1921) non solo gliatomi emettono e assorbono energia per “pacchetti finiti” dienergia, iquanti (come aveva propostoMax Planck), ma è la stessaradiazione elettromagnetica a essere costituita daquanti diluce, ossia da quantità finite dienergia, poi denominatifotoni nel1926. In altri termini, poiché laradiazione elettromagnetica è quantizzata, l'energia non è distribuita in modo uniforme sull'intero fronte dell'onda elettromagnetica, ma concentrata in grumi (noduli) dienergia, ifotoni.

La teoria deiquanti diluce (fotoni) trovò la sua conferma definitiva dagli studi sperimentali dei fisici americaniRobert Millikan eArthur Compton, vincitori delPremio Nobel per la fisica, rispettivamente, nel1923 e1927.

Descrizione

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Origine fisica

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L'origine dell'irradiazione elettromagnetica dei corpi per effetto macroscopico della temperatura $T {\displaystyle T}$ va ricercata a livello microscopico come conseguenza del moto di roto-vibrazione molecolare di agitazione termica e quindi delle correnti elettriche variabili nel tempo degli elementi portatori dicarica elettrica (protoni edelettroni) in accordo con le leggi base dell'elettrodinamica classica ovvero leequazioni di Maxwell. Lafrequenza $f {\displaystyle f}$ e l'intensità $I {\displaystyle I}$ dell'onda elettromagnetica aumentano all'aumentare della temperatura $T {\displaystyle T}$ in conseguenza dell'aumentato moto di agitazione molecolare ovvero dunque delle correnti elettriche atomico-molecolari associate.

Caratteristiche

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Come detto sopra, un corpo nero è un radiatore ideale, emettendo il maggior flusso possibile per unità di superficie, a ogni lunghezza d'onda per ogni data temperatura. Un corpo nero inoltre, assorbe tutta l'energia radiante incidente su di esso: ovvero nessuna energia viene riflessa o trasmessa. I corpi reali invece si discostano più o meno sensibilmente da questa definizione e sono perciò detticorpi grigi. In altri termini si può dire che tutti i corpi reali si comportano più o meno come corpi neri a meno della loro riflettività e trasmittanza essendo in realtà corpi grigi.

La distribuzione di intensità della radiazione di un corpo nero alla temperatura $T {\displaystyle T}$ è data dallalegge della radiazione di Planck:^[5]^[6]

I(\nu )d\nu ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\dfrac {1}{e^{\tfrac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu

dove $I(\nu )d\nu \$ è la quantità dienergia emessa da una superficie di corpo nero sotto forma di radiazione per unità di superficie emittente, ditempo, e nell'intervallo di frequenze della radiazione stessa compreso tra $\nu \$ e $\nu +d\nu \$ (emittanza spettrale), $h {\displaystyle h}$ è lacostante di Planck, $c {\displaystyle c}$ è lavelocità della luce e $k {\displaystyle k}$ è lacostante di Boltzmann.

Espressa in funzione della lunghezza d'onda la distribuzione d'intensità prende la forma:

I(\lambda )d\lambda ={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\dfrac {1}{e^{\tfrac {hc}{\lambda kT}}-1}}d\lambda

È importante osservare che l'espressione di Planck scritta sopra non va intesa come una funzione nel senso ordinario, bensì come una funzione generalizzata nel senso delle distribuzioni, cioè essa ha valore soltanto in espressioni integro-differenziali: pertanto la caratteristica di presentare, per esempio, un massimo in corrispondenza di una determinata frequenza, massimo di emissione che si sposta verso le alte frequenze al crescere della temperatura (legge di Wien), si ritrova anche esprimendo la distribuzione planckiana in termini di lunghezze d'onda, in tal caso la legge di Wien si esprime dicendo che la lunghezza d'onda in corrispondenza della quale vi è massima radiazione si sposta verso lunghezze d'onda più piccole al crescere della temperatura.^[7]

La lunghezza d'onda alla quale l'intensità della radiazione emessa dal corpo nero è massima è data dalla legge di Wien^[8]

\lambda _{\mathrm {max} }T={\text{costante}}=2898\mathrm {\ \mu m\cdot K}

e la potenza totale emessa per unità di superficie (appunto, l'intensità) è data dallalegge di Stefan-Boltzmann

I=\sigma T^{4}\

con

\sigma =5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W/(m^{2}\cdot K^{4})}

Entrambe queste leggi sono deducibili dallalegge della radiazione di Planck, la prima cercandone ilmassimo in termini dellalunghezza d'onda, la secondaintegrando la funzione su tutte lefrequenze da zero ad infinito.

L'oggetto più simile a un corpo nero che si possa realizzare in laboratorio è un corpo cavo dalle pareti interne riflettenti sul quale è praticato un piccolo foro: la luce in ingresso dal foro resta intrappolata all'interno del corpo perché la probabilità che essa fuoriesca dal foro è molto bassa. Inastronomia alcuni oggetti come lestelle sono approssimativamente dei corpi neri. Uno spettro da corpo nero quasi perfetto viene esibito dallaradiazione cosmica di fondo, la cui temperatura è di circa 2,7kelvin.

È importante ricordare che un qualunque corpo che si trovi a temperatura $T\neq 0~\mathrm {K}$ è sorgente diradiazione elettromagnetica dovuta al moto di agitazione termica degli atomi che lo compongono. L'emissione di energia elettromagnetica avviene a spese dell'energia termica.Dunque all'interno della cavità sarà sempre presente una radiazione termica, e nel caso in cui la temperatura rimanga costante (condizioni diequilibrio termodinamico) la distribuzione di radiazione viene dettaspettro di corpo nero.^[9]

All'aumentare della temperatura del corpo nero, oltre a emettere più potenza elettromagnetica per la legge di Stefan-Boltzmann (campana meno schiacciata), per la legge di Wien il corpo stesso emetterà il suo massimo (picco spettrale) di radiazione spostandosi sempre più verso frequenze più alte (lunghezze d'onda più corte) passando così anche per il visibile come accade per le stelle (considerate corpi neri) giustificandone, in tal modo, la loro luminosità (solo in apparente contrasto con la definizione di corpo "nero").

Calcolo dello spettro di corpo nero

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Consideriamo una cavità al cui interno è presente un mezzo diindice di rifrazione $\eta$ . Inoltre supponiamo che il mezzo sia omogeneo e isotropo per cui $\eta$ è invariante rispettivamente per traslazioni e rotazioni. Inoltre supponiamo che ildielettrico non siaferromagnetico per cui $\mu _{r}\simeq 1$ e $\eta ^{2}\simeq \varepsilon _{r}$ .^[10]

All'interno della cavità è possibile definire unadensità di energia elettromagnetica ottenibile a partire dalleequazioni di Maxwell:

\rho (E,B)={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left(\varepsilon _{r}E^{2}+{\frac {c^{2}B^{2}}{\mu _{r}}}\right)

per cui l'energia e.m. totale è

W=\int _{V}\rho dV\

A noi interessa calcolare ladistribuzione spettrale di energia, ovvero la $\rho _{\omega }\$ per cui

d\rho _{\omega }=\rho _{\omega }d\omega \

rappresenta la densità di energia e.m. presente con frequenza compresa tra $\omega \$ e $\omega +d\omega \$ .

Il motivo per cui ci interessa questa quantità e non direttamente l'emittanza spettrale è poiché questa, $I_{\omega }\$ , è legata alla densità di energia delcampo elettromagnetico all'interno della cavità dalla seguente relazione^[6]^[11]

$I_{\omega }\ ={\frac {c}{4}}\rho _{\omega }$ .

Poiché tra le due quantità vi è solo un coefficiente di proporzionalità, si può passare dall'una all'altra immediatamente, e poiché la densità di energia è legata alla distribuzione della radiazione elettromagnetica all'interno della cavità all'equilibrio termico, essa sarà soggetto dell'indagine nella trattazione seguente.

Attraverso un breve ragionamento è possibile vedere come la $\rho _{\omega }\$ possa dipendere esclusivamente dalla frequenza e temperatura e non dalla forma e materiale di cui è costituita la cavità.

Consideriamo infatti due cavità di forma e materiale differente che si trovino alla stessa temperatura $T {\displaystyle T}$ . In entrambe le cavità ci sarà una certa distribuzione di energia elettromagnetica descritta dalle funzioni $\rho _{\omega }^{1}\$ e $\rho _{\omega }^{2}\$ .

Supponiamo che per una generica frequenza $\omega$ valga: $\rho _{\omega }^{1}>\rho _{\omega }^{2},$ allora se uniamo le due cavità attraverso un collegamento ottico con un filtro che permetta il trasferimento di energia alla frequenza $\omega \$ ci sarà un flusso di energia dalla cavità 1 alla cavità 2. Questo però va contro ilsecondo principio della termodinamica perché le due cavità si trovano alla stessa temperatura, dunque concludiamo che dev'essere $\rho _{\omega }^{1}=\rho _{\omega }^{2}\$ , e $\rho _{\omega }=\rho _{\omega }(\omega ,T)\$ .

Per quanto detto possiamo limitarci a considerare una cavità che abbia una geometria semplice, per esempio un cubo di spigolo di lunghezza $a {\displaystyle a}$ . Supponiamo che le pareti siano perfettamente conduttrici: allora è possibile immagazzinare e conservare energia e.m. all'interno della cavità senza perdite purché le frequenze corrispondano alle frequenze di risonanza della cavità. Le frequenze dirisonanza della cavità sono quelle per cui si instaurano delle onde stazionarie, quindi nelle tre direzioni devono essere comprese un numero intero di semilunghezze d'onda. Vediamo per un lato:

l{\frac {\lambda }{2}}=a\Longrightarrow \lambda ={\frac {2a}{l}}\

con $l {\displaystyle l}$ numero intero. Siccome $\omega =2\pi {\frac {c}{\lambda }}$ si ottiene per la pulsazione

\omega =c{\frac {l\pi }{a}}\

Considerando il caso tridimensionale, quello che si ottiene è che le frequenze di risonanza della cavità considerata sono date da:

\omega ={\frac {c}{\eta }}\left[\left({\frac {l\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\

con $l, m, n {\displaystyle l,m,n}$ numeri interi.

Notando che $\omega =kc\$ dove $k {\displaystyle k}$ è ilvettore d'onda, possiamo riscrivere la precedente come

\omega ={\frac {c}{\eta }}{\Big [}(k_{x})^{2}+(k_{y})^{2}+(k_{z})^{2}{\Big ]}^{\frac {1}{2}}\

Si noti poi che per ogni terna ( $l, m, n {\displaystyle l,m,n}$ ) esistono duemodi distinti: iltrasversale elettrico etrasversale magnetico.Permodo si intende una particolare configurazione dei campi elettrico e magnetico che soddisfi la condizione di risonanza. Il modotrasversale elettrico è tale per cui in ogni punto della cavità ilcampo elettrico è diretto nella direzione perpendicolare a ${\hat {z}}\$ ; il modotrasversale magnetico è tale per cui è il campo magnetico ad avere direzione perpendicolare a ${\hat {z}}\$ per ogni punto.

Vogliamo ora calcolare qual è il numero di modi compresi tra 0 e una generica frequenza $\omega \$ , cioè tali da avere un vettore d'onda compreso in modulo tra 0 e ${\frac {\omega \eta }{c}}\$ .

Dunque ci mettiamo nello spazio delle fasi. Tutti i punti individuati da $(k_{x},k_{y},k_{z})\$ che rispettano la condizione di risonanza formano unreticolo la cui cella unitaria ha dimensioni: $\left({\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right)\$ . La condizione $0\leq k\leq {\frac {\omega \eta }{c}}\$ individua una sfera nello spazio delle fasi.

Ogni celletta ha contigui otto modi (i vertici) e allo stesso tempo ogni vertice è condiviso da otto cellette, concludiamo che si ha un modo per ogni cella (in realtà due perché per ogni terna $(k_{x},k_{y},k_{z})\$ c'è un modo trasversale elettrico e trasversale magnetico come visto più sopra).

È facile adesso calcolare il numero di modi compresi all'interno della sfera, tenendo conto che siamo interessati a un solo ottante perché $l, m, n {\displaystyle l,m,n}$ sono numeri naturali e come tali positivi:

N_{\omega }={\frac {\displaystyle {\frac {1}{8}}{\frac {4}{3}}\pi (\omega \eta /c)^{3}}{\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{3}}}\

cioè

N_{\omega }={\frac {1}{3}}{\frac {\omega ^{3}\eta ^{3}}{c^{3}\pi ^{2}}}V\

dove $V\$ è il volume della celletta nello spazio delle fasi.

Per arrivare alla $\rho _{\omega }\$ ci interessa valutare il numero di modi per unità di volume e di frequenza, quindi ci interessa

p_{\omega }={\frac {1}{V}}{\frac {dN_{\omega }}{d\omega }}={\frac {\omega ^{2}\eta ^{3}}{c^{3}\pi ^{2}}}\

A questo punto è semplice passare alla densità spettrale di energia, infatti è sufficiente moltiplicare la precedente per il valore medio dell'energia dei modi alla frequenza $\omega \$ . Proprio in questo passaggio si incontra l'incongruenza dellafisica classica, che non riesce a spiegare l'andamento della distribuzione spettrale della radiazione emessa da un corpo nero.

Classicamente la distribuzione di energia e.m. presente nella cavità, e dovuta al moto di agitazione termica dei vari atomi delle pareti, deve essere la stessa di questa miriade di oscillatori armonici classici che si trovano a una temperatura $T {\displaystyle T}$ .Prendiamo in considerazione una frequenza $\omega \$ , la meccanica statistica ci dice che la probabilità che uno di questi oscillatori alla frequenza $\omega \$ e temperatura $T {\displaystyle T}$ abbia energia compresa tra $E\$ ed $E+dE\$ è data dalla legge diBoltzmann:

dP(E)=Ce^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}dE\

dove $k_{B}$ è la costante di Boltzmann. Quindi il valor medio dell'energia vale

\langle E\rangle ={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }ECe^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}dE}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }Ce^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}dE}}

Poniamo $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ .

Si nota facilmente che

-{\frac {d}{d\beta }}\ln \int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}dE={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }Ee^{-\beta E}dE}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}dE}}=\langle E\rangle

Quindi:

\langle E\rangle =-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left[-{\frac {1}{\beta }}e^{-\beta E}\right]_{0}^{\infty }=-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left({\frac {1}{\beta }}\right)={\frac {1}{\beta }}=k_{B}T\

Per cui secondo la fisica classica:

\rho _{\omega }=p_{\omega }\langle E\rangle ={\frac {\omega ^{2}\eta ^{3}}{c^{3}\pi ^{2}}}k_{B}T\

La precedente è la formula classica diRayleigh-Jeans e non riproduce affatto i dati sperimentali! Infatti la densità spettrale di energia tende a infinito per $\omega$ tendente a infinito e quindi per $\lambda$ tendente a zero. Questo è il cosiddetto fenomeno dellacatastrofe ultravioletta. Inoltre si vede che integrando la densità spettrale di energia su tutte le frequenze possibili si ottiene un'energia infinita!

Ed è proprio qui che entra in giocoPlanck. Egli supera i problemi dellafisica classica supponendo che la radiazione e.m. sia quantizzata, cioè egli discretizza l'energia dei modi considerandola multipla di una quantità legata alla frequenza del modo stesso:

E_{n}=nh\nu \

Allo stesso tempo egli introduce una nuova distribuzione di probabilità per cui la probabilità che il modo in questione possegga un'energia $E_{n}$ vale:

P(E_{n})=Ce^{\frac {-n\hbar \omega }{kT}}\

inoltre siccome l'energia è discretizzata gli integrali sono sostituiti da sommatorie e il valor medio dell'energia vale:

\langle E\rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n\hbar \omega e^{\frac {-n\hbar \omega }{kT}}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }e^{\frac {-n\hbar \omega }{kT}}}}

anche in questo caso si ha che:

\langle E\rangle =-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left[\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \omega \beta }\right]

la sommatoria che compare nella precedente è unaserie geometrica di ragione $e^{-\hbar \omega \beta }$ per cui

\langle E\rangle =-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left[{\frac {1}{1-e^{-\hbar \omega \beta }}}\right]={\frac {\hbar \omega }{e^{\hbar \omega \beta }-1}}

e finalmente riusciamo a ottenere l'espressione della densità spettrale di radiazione del corpo nero:

\rho _{\omega }={\frac {\hbar \eta ^{3}\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\left[e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1\right]}}

la precedente riproduce bene i dati sperimentali se

h=2\pi \hbar =6{,}626\cdot 10^{-34}\,\mathrm {Js}

Inoltre il numero medio di fotoni per modo è dato da

{\bar {q}}={\frac {\langle E\rangle }{h\nu }}={\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

e per frequenze nel campo ottico $(\nu \simeq 10^{14}\,\mathrm {Hz} )\$ alla temperatura $T=300\ \mathrm {K}$ vale ${\bar {q}}\simeq e^{-16}\simeq 10^{-7}\$ .

Si capisce quindi che a temperatura ambiente l'emissione nella banda del visibile (della larghezza di una sola ottava) è completamente trascurabile.

Legge di Wien

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Lo stesso argomento in dettaglio:Legge di Wien.

Lalegge di Wien si ricava andando a considerare per quale lunghezza d'onda si ha un massimo di emissione. Per fare questo bisogna prima passare all'espressione della distribuzione spettrale in funzione di $\lambda \$ :

\rho _{\omega }d\omega =\rho _{\omega }{\frac {d\omega }{d\lambda }}d\lambda =\rho _{\lambda }d\lambda \

\omega =2\pi {\frac {c}{\lambda }}\

d\omega =-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}d\lambda \

per cui:

\rho _{\omega }d\omega ={\frac {\eta ^{3}{\frac {(2\pi c)^{3}}{\lambda ^{3}}}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}\left[e^{\frac {2\pi \hbar c}{\lambda kT}}-1\right]}}\left({\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\right)d\lambda \

e infine:

\rho _{\lambda }d\lambda ={\frac {8\pi hc\eta ^{3}}{\lambda ^{5}\left[e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\right]}}d\lambda \

Per semplificare i calcoli poniamo:

x={\frac {hc}{\lambda kT}}\

e troviamo il massimo della funzione spettrale derivando rispetto a x:

{\frac {d\rho _{\lambda }}{dx}}=0\Longrightarrow e^{-x}+{\frac {x}{5}}-1=0\

La precedente è un'equazione trascendente la cui soluzione approssimata è $x=x_{0}=4{,}9651\$ , quindi

{\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}}=x_{0}=cost\

e infine

\lambda _{\mathrm {max} }T=b\

con b costante,

b=2{,}8978\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m\cdot K}

La precedente esprime la legge di Wien per cui all'aumentare della temperatura il massimo di emissione si sposta verso lunghezze d'onda minori e quindi energie maggiori. Se ne deduce che al variare della temperatura del corpo varia il colore!

Introduciamo quindi il concetto ditemperatura di colore, come la temperatura cui corrisponde un ben determinato massimo di emissione. Questo è per esempio il metodo utilizzato per capire quale sia la temperatura di forni particolarmente potenti per i quali è chiaramente impossibile pensare all'utilizzo di un termometro e, allo stesso modo, è anche utilizzato inastrofisica per stimare la temperatura superficiale delle stelle.

Legge di Stefan - Boltzmann

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Lo stesso argomento in dettaglio:Legge di Stefan-Boltzmann.

La legge di Stefan - Boltzmann riguarda l'intensità di radiazione emessa, quindi incominciamo con il calcolare l'espressione della densità di energia integrando la densità spettrale di energia su tutta la banda di frequenze:

\rho =\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar \eta ^{3}\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}[e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1]}}d\omega \

x={\frac {\hbar \omega }{kT}}\

\rho ={\frac {\eta ^{3}(kT)^{4}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx\

L'integrale che compare nella precedente espressione è calcolabile esattamente e vale ${\frac {\pi ^{4}}{15}}$ . Quindi

\rho ={\frac {\pi ^{2}\eta ^{3}k^{4}}{15c^{3}\hbar ^{3}}}T^{4}\

La densità di energia è chiaramente un'energia per unità di volume. L'intensità è un'energia per unità di superficie e di tempo, quindi in pratica una densità per una velocità. Segue che la dipendenza da $T\$ non cambia e si può scrivere:

F(T)=\sigma T^{4}\

la precedente esprime la legge di Stefan - Boltzmann cercata. $F\$ è dettaemittanza di radiazione, e $\sigma$ è lacostante di Stefan-Boltzmann che vale

\sigma =5{,}67\cdot 10^{-8}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \

Si noti che l'intensità di emissione va con la quarta potenza della temperatura.

Note

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^ ScienzaPerTutti,1. Il problema del corpo nero, suscienzapertutti.infn.it.URL consultato il 24 febbraio 2022.
^Copia archiviata (PDF), suastro.unipd.it.URL consultato l'11 luglio 2017(archiviato dall'url originale il 25 febbraio 2015).
^Il corpo nero - base, sugiornaleastronomia.difa.unibo.it.URL consultato il 24 febbraio 2022.
^"La Fisica di Amaldi", vol. 3, elettromagnetismo, fisica atomica e subatomica, ed. Zanichelli, 2012, pagg. 408 e 416.
^Copia archiviata (PDF), subeta.fisica.uniba.it.URL consultato l'11 luglio 2017(archiviato dall'url originale l'11 giugno 2017).
^a^b Yosef Verbin e Daniel J. Amit,Statistical physics. An introductory course, pp. 387-391.
^Corpo Nero, suscienzagiovane.unibo.it.URL consultato il 24 febbraio 2022.
^Il corpo nero - avanzato, sugiornaleastronomia.difa.unibo.it.URL consultato il 24 febbraio 2022.
^amslaurea.unibo.it,http://amslaurea.unibo.it/7391/1/Carlo_Cannarozzo_tesi.pdf Titolo mancante per urlurl (aiuto).
^campus.unibo.it,http://campus.unibo.it/90568/25/4_radiazione.pdf Titolo mancante per urlurl (aiuto).
^ C. Mencuccini e V. Silvestrini,Fisica II (Elettromagnetismo e Ottica), 1998, pp. 640-642,ISBN 978-88-207-1633-2.

Bibliografia

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Douglas C. Giancoli,Fisica, principi e applicazioni,ISBN 88-408-1015-3, Casa Editrice Ambrosiana, 2000.
C. Mencuccini e V. Silvestrini,Fisica II (Elettromagnetismo e Ottica), Liguori Editore, 1998,ISBN 978-88-207-1633-2.
Daniel J. Amit e Yosef Verbin,Statistical physics. An introductory course, World Scientific, 1999