Uncircuito RL è un circuitoelettrico del primo ordine basato su unaresistenza e sulla presenza di un elemento dinamico, l'induttore.

Si chiamacircuito RL inevoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da unaresistenza e da uninduttore percorso dacorrente. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne ditensione o dicorrente, e questi funziona con corrente alternata.^[1][2]

Per trattare questo circuito è conveniente usare i teoremi che riguardano le correnti vista la dualità lineare del comportamento dei circuiti tra la tensione e la corrente.

Al tempo${\displaystyle t_0=0}$ la corrente che scorre attraversoL è${\displaystyle i_L(0)\ne 0}$, questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando lalegge di Kirchhoff delle correnti, l'equazione del circuito è:

${\displaystyle i(t)+i_L(t)=0\to \frac{V(t)}{R}+i_L(t)=0}$

dove${\displaystyle i(t)}$ è lacorrente elettrica circolante. La relazione caratteristica dell'induttore è ben nota:

${\displaystyle V(t)=L\cdot \frac{d{i}_L(t)}{dt}}$

allora l'equazione del circuito diventa un'equazione differenziale omogenea del primo ordine:

${\displaystyle \frac{L}{R}\cdot \frac{d{i}_L(t)}{dt}+i_L(t)=0\to \frac{d{i}_L(t)}{dt}+\frac{R}{L}{i}_L(t)=0}$

Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

${\displaystyle i_L(t)=i_L(0)\cdot e^{-tR/L}}$

La tensione segue la:

${\displaystyle V(t)=L\cdot \frac{d{i}_L(t)}{dt}=-R\cdot i_L(0)\cdot e^{-tR/L}}$

Al rapporto${\displaystyle \frac{L}{R}=\tau [s]}$ viene dato il nome dicostante di tempo del circuito ed è una quantità caratteristica costante del circuito.

Fisicamente la tensione immagazzinata nell'induttore, espressa dalla relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: ciò produce una corrente elettrica, che dissipa completamente nella resistenzaR l'energia che era immagazzinata nell'induttore; la corrente evolve secondo la legge data dalla soluzione dell'equazione del circuito: essa tende esponenzialmente a zero per${\displaystyle t\to \mathrm{\infty }}$. Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

${\displaystyle i(\tau )=i(0)\frac{1}{e}}$

Ipotizzando che il generatore di corrente eroghi una corrente${\displaystyle I_0}$ costante nel tempo, possiamo scrivere l'equazione di Kirchhoff delle correnti:

${\displaystyle I_0=i(t)+i_L(t)=\frac{V(t)}{R}+i_L(t)}$

dove${\displaystyle V(t)}$ è latensione. Sostituendo nella precedente relazione l'equazione caratteristica dell'induttore si ottiene un'equazione differenziale non omogenea del primo ordine:

${\displaystyle I_0=\frac{L}{R}\cdot \frac{d{i}_L(t)}{dt}+i_L(t)\to \frac{d{i}_L(t)}{dt}+\frac{1}{\tau }{i}_L(t)=\frac{I_0}{\tau }}$

dove${\displaystyle \tau =\frac{L}{R}}$ è la costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

${\displaystyle i_L(t)=\left(i_L(0)-I_0\right)\cdot e^{-t/\tau }+I_0}$

La tensione segue la:

${\displaystyle V(t)=L\cdot \frac{d{i}_L(t)}{dt}=-R\cdot (i_L(0)-I_0)\cdot e^{-t/\tau }}$

Fisicamente la presenza della corrente costante del generatore induce che la corrente ai capi diL${\displaystyle i_L(t)}$ cresca esponenzialmente partendo da${\displaystyle i_L(t=0)=i_L(0)}$ fino a tendere al valore della corrente costante del generatore. Dunque per${\displaystyle t\to \mathrm{\infty }}$ si ha che${\displaystyle i_L(t)\to I_0}$. Viceversa la tensione indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale${\displaystyle R\cdot i_L(0)}$ fino a tendere al valore costante${\displaystyle V_0=R{I}_0}$.

Quando al tendere di${\displaystyle t\to \mathrm{\infty }}$ la corrente${\displaystyle i_L(t)\to I_0=cost}$, il circuito si comporta come uncorto circuito. A regime di corrente costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di corrente costanti e da un induttore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza dell'induttore sia in corto circuito.

In particolare la risposta del circuito RL ad una corrente costante è composta di due parti: il termine

${\displaystyle \left(i_L(0)-I_0\right)e^{-t/\tau }}$

è detto risposta transitoria o transiente del circuito, mentre il termine${\displaystyle I_0}$ è la risposta permanente o a regime del circuito.

Lo stesso argomento in dettaglio:Funzione gradino.

Prendiamo un segnale a gradino del tipo:

Il calcolo della corrente ai capi diL è data per${\displaystyle t>0}$:

${\displaystyle i_L(t)=I_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)}$

Ovviamente invece che a${\displaystyle t=0}$ si può scegliere qualsiasi istante${\displaystyle t_0}$ con le modifiche conseguenti:

Il calcolo della corrente ai capi diL è data per${\displaystyle t>t_0}$:

${\displaystyle i_L(t)=I_0\left(1-e^{-\frac{t-t_0}{\tau }}\right)\cdot u(t-t_0)}$

La corrente ai capi diL per è nulla, per${\displaystyle t>t_0}$ cresce esponenzialmente esattamente come se vi fosse un generatore costante:

${\displaystyle I_0=u(t>t_0)=1\cdot I_0}$

Lo stesso argomento in dettaglio:Onda quadra.

Applicando un segnale periodico a gradino si ha un'onda quadra:

${\displaystyle i(t)=I_0[u(t_i)-u(t_j)]}$

la risposta del circuito RL è:

${\displaystyle i_L(t)=I_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)}$

ma bisogna distinguere i casi in cui e${\displaystyle t>t_0}$, cioè bisogna distinguere tra quando la durata dell'impulso${\displaystyle (t-t_0)}$ è abbastanza lunga da permettere all'induttore di caricarsi quasi totalmente e quando invece questo non avviene. In pratica, poiché la costante di tempo determina tutte le caratteristiche del circuito, bisogna verificare se oppure${\displaystyle \tau >>t_0}$, come nella figura a lato.

Lo stesso argomento in dettaglio:Risposta in frequenza.

Vediamo come si comporta il circuito RL applicando un generatore di onda sinusoidale. In questo caso possiamo applicare la legge di Kirchhoff per il circuito:

${\displaystyle I_0\sin (\omega t)=\frac{V(t)}{R}+i_L(t)}$

con gli stessi ragionamenti fatti all'inizio possiamo riscrivere l'equazione come:

${\displaystyle I_0\sin (\omega t)=\frac{L}{R}\frac{d{i}_L(t)}{dt}+i_L(t)}$

e quindi risolvere l'equazione differenziale a coefficienti costanti con termine noto:

${\displaystyle \frac{d{i}_L(t)}{dt}+\frac{1}{\tau }{i}_L(t)=\frac{I_0\sin (\omega t)}{\tau }}$

nella quale${\displaystyle \tau =\frac{L}{R}}$ è ancora la costante di tempo del circuito. La soluzione generale è data dalla somma della soluzione dell'omogenea associata:

${\displaystyle i_L(t)=i_L(0)e^{-\frac{t}{\tau }}}$

e una soluzione particolare:

${\displaystyle K\sin (\omega t+\theta )}$

dove K è una costante. Dunque:

${\displaystyle i_L(t)=i_L(0)e^{-\frac{t}{\tau }}+K\sin (\omega t+\theta )}$

Anche in questo caso abbiamo una risposta transitoria data dall'esponenziale, la quale in un primo tempo, prevale sulla risposta permanente, data da un'altra sinusoide. Perciò per la durata del periodo di transizione la corrente ai capi diL prevale l'esponenziale e quindi essa si discosta dalla corrente sinusoidale di ingresso, dopo la fase transitoria la corrente ritorna ad essere una sinusoide con uguale pulsazione della corrente di ingresso. L'analisi di questo circuito può anche essere fatta per mezzo delmetodo simbolico utilizzando ifasori, sostituendo alle grandezze sinusoidali il loro corrispondente fasore: i risultati sono identici, in quanto vige lalegge di Ohm simbolica anche per regimi sinusoidali. In alternativa si può usare ilmetodo operatoriale più generale dellatrasformata di Laplace.^[3]

Utilizzando il metodo simbolico:

${\displaystyle \frac{{\overline{I}}_L}{j\omega L}+\frac{1}{\tau }{\overline{I}}_L=\frac{1}{\tau }{I}_0}$

da cui si ricava subito la corrente di uscita ai capi dell'induttore:

${\displaystyle {\overline{I}}_L=\frac{I_{0}j\omega \tau }{1+j\omega \tau }}$

Poiché generalmente questa è una grandezza complessa, essa varia in modulo e argomento:

${\displaystyle |{\overline{I}}_L|=\frac{I_0\omega \tau }{\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}}}$

${\displaystyle arg{\overline{I}}_L=...}$

Per ritornare all'analisi nel tempo dobbiamo risostituire il modulo e l'argomento:

${\displaystyle i_L(t)=|{\overline{I}}_L|\cdot arg{\overline{I}}_L=\frac{I_0\omega \tau }{\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}}\sin (\omega t-...)}$

Da questa ricaviamo le altre informazioni sul circuito:

${\displaystyle V_L(t)=L\cdot \frac{d{i}_L(t)}{dt}=-\frac{\omega L{I}_0}{\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}}\sin (\omega t-...)}$

${\displaystyle i_R(t)=\frac{V_L(t)}{R}=\frac{R{I}_0}{\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}}\sin (\omega t-...)}$

Si vede che il legame tra la corrente di uscita e quella di ingresso è del tipo:

${\displaystyle {\overline{I}}_u=\overline{H}(j\omega )\cdot {\overline{I}}_i}$

in generale${\displaystyle \overline{H}}$ è chiamatafunzione di rete o di trasferimento ed è sempre una funzione reale di variabile complessa${\displaystyle j\omega }$. La sola funzione di rete permette di riconoscere per mezzo del modulo di${\displaystyle \overline{H}}$ e del suo argomento, la risposta del circuito in regime variabile sinusoidale (o periodico in generale). Nel circuito RL in questione l'andamento del modulo e dell'argomento della funzione di rete è in figura (??). Il valore per cui:

${\displaystyle |\overline{H}|=\frac{1}{\sqrt{2}}=...}$

cioè:

${\displaystyle {\omega }_t=\frac{1}{\tau }}$

è chiamatapulsazione di taglio (a volte anche dettafrequenza di taglio impropriamente ma intuitivamente poiché${\displaystyle \omega =2\pi f}$) del circuito: dalla quale si possono dedurre le proprietà filtranti del circuito. Infatti per${\displaystyle \omega ={\omega }_t}$ il modulo e l'argomento di${\displaystyle \overline{H}}$ sono:

${\displaystyle |\overline{H}|=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{ e }arg\overline{H}=-45}$

al di sotto di questa frequenza cioè per:

${\displaystyle |\overline{H}|\approx 0\text{ e }arg\overline{H}\approx -90}$

ciò indica che la risposta è praticamente azzerata con sfasamento massimo. Per${\displaystyle w\to \mathrm{\infty }}$, cioè per tutte le frequenze al di sopra della frequenza di taglio:

${\displaystyle |\overline{H}|\approx 1\text{ e }arg\overline{H}\approx 0}$

quindi il segnale di uscita viene trasmesso pressoché identico a quello di ingresso con sfasamento nullo. Il circuito RL è unfiltro passa alto, per questo motivo.

Un altro modo è quello di usare lametodo operatoriale al circuito RL che trasforma le equazioni differenziali (e integrali) in equazioni algebriche.

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