Talvolta definito «il Principe dei matematici» (Princeps mathematicorum)[1] comeEulero[2] o «il più grande matematico della modernità» (in opposizione adArchimede, considerato dallo stesso Gauss come il maggiore fra i matematici dell'antichità), è annoverato fra i più importanti matematici della storia avendo contribuito in modo decisivo all'evoluzione dellescienze matematiche, fisiche e naturali.[3] Definì la matematica come «la regina delle scienze».[4]
Gauss nacque aBraunschweig, nelducato di Brunswick-Lüneburg (al secolo facente parte delSacro Romano Impero, oggi situato invece nellostato federato tedesco dellaBassa Sassonia), il 30 aprile del1777, figlio unico di una famiglia di bassa estrazione sociale e culturale.[5] Fu battezzato ecresimato in una chiesa vicino alla scuola che poi frequentò da bambino.[6] Gauss era unbambino prodigio e svariati sono gli aneddoti sulla sua precocità matematica; ad esempio, all'età di soli tre anni, almeno secondo la leggenda, avrebbe corretto un errore del padre nel calcolo delle sue finanze.
Un altro aneddoto, più verosimile, racconta che a 9 anni il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. Quasi subito il bimbo Gauss diede la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante ed il suo assistente Martin Bartels. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss; forse mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101: Carl moltiplicò 100 × 101 e divise per due, ottenendo il risultato; oppure - ancora più semplicemente - scrisse in fila i numeri da 1 a 50 e in una fila sotto in senso inverso i rimanenti da 51 a 100, ottenendo così per ogni coppia la somma costante di 101: il risultato era quindi 101 × 50.
I dettagli della storiella sono incerti (vedere[7] per la discussione della fonte originaria diWolfgang Sartorius von Waltershausen e i cambiamenti in altre versioni); Joseph Rotman, nel suo libroA first course in Abstract Algebra, si chiede se ciò sia realmente accaduto. Joaquín Navarro sostiene che in realtà Büttner aveva assegnato un compito ancora più complesso, la somma dei primi 100 numeri della serie 81297 + 81495 + 81693... nella quale ogni termine differisce dal precedente per il valore di 198 e che Gauss lo risolse in pochi minuti come detto prima.[8]
All'università Gauss riscoprì una serie di importanti teoremi: nel 1796 riuscì a dimostrare che unpoligono regolare con un numero di lati che è unprimo di Fermat ècostruibile con riga e compasso (e, conseguentemente, tutti i poligoni con un numero dei lati che è il prodotto di primi di Fermat distinti e unapotenza di due). Questa fu una grande scoperta in un importante campo della matematica; la costruzione dei poligoni aveva occupato i matematici fin dall'epoca degliantichi greci, e la scoperta dette modo a Gauss di scegliere di intraprendere la carriera di matematico anziché difilologo.
Gauss era così eccitato dal risultato ottenuto che richiese che uneptadecagono gli fosse inciso sulla lapide, ma loscalpellino rifiutò dicendo che esso non sarebbe stato distinguibile da un cerchio.[9]
Il1796 fu probabilmente l'anno più produttivo di Gauss. Riuscì a costruire uneptadecagono,[10] inventò l'aritmetica modulare, importantissimo strumento dellateoria dei numeri e dette la prima dimostrazione della legge direciprocità quadratica; congetturò per primo la validità delteorema dei numeri primi, dando un'idea chiara del modo in cui inumeri primi siano distribuiti fra gli interi; scoprì poi che tutti inumeri naturali sono rappresentabili al più come somma di trenumeri triangolari. Tuttavia Gauss non pubblicò queste due ultime scoperte, le tenne per sé: era affetto da una sorta di mania di perfezionismo, che gli impediva di pubblicare dimostrazioni se non le giudicava rigorose. Scriveva invece le sue scoperte nel suo diario in maniera criptica. Per esempio, la scoperta che ogni intero poteva essere rappresentato come somma al più di tre numeri triangolari, la scrisse così sul suo diario: «Eureka! num=». Il primo ottobre, pubblicò un risultato sul numero di soluzioni deipolinomi con coefficienti incampi finiti, che 150 anni dopo portò allecongetture di Weil.
Nel1799, nella sua tesi di dottoratoUna nuova dimostrazione del teorema per il quale ogni funzione algebrica integrale di una variabile può essere risolta in fattori di primo o secondo grado, Gauss dimostrò ilteorema fondamentale dell'algebra. Molti matematici avevano provato a dimostrarlo tra cuiJean le Rond d'Alembert edEulero. Prima di lui, altri matematici, inclusoJean Baptiste Le Rond d'Alembert, avevano proposto false dimostrazioni del teorema, e Gauss criticò apertamente il lavoro di d'Alembert. Paradossalmente, secondo le conoscenze del tempo, la dimostrazione di Gauss non è accettabile, in quanto faceva implicitamente utilizzo delteorema della curva di Jordan. Gauss produsse in seguito quattro diverse dimostrazioni; l'ultima, generalmente precisa, del 1849, chiarì il concetto dinumero complesso.
In quello stesso anno l'astronomo italianoGiuseppe Piazzi scoprì l'asteroideCerere, ma lo poté seguire solo per alcuni giorni finché non scomparve dietro laLuna. Gauss predisse il punto esatto in cui sarebbe riapparso, facendo uso dell'appena scopertometodo dei minimi quadrati. Cerere riapparve nel punto indicato da Gauss. Questo straordinario successo lo fece conoscere anche al di fuori dalla cerchia dei matematici. Cerere fu in seguito riscoperto daFranz Xaver von Zach il 31 dicembre 1801 all'Osservatorio diGotha, e il giorno dopo anche daHeinrich Wilhelm Olbers nella città diBrema.
Il metodo di Gauss consisteva nel determinare unasezione conica nello spazio, dati un fuoco (il sole) e l'intersezione del cono con tre rette date (le linee dello sguardo dalla Terra, che si sta essa stessa muovendo su un'ellisse, al pianeta) e dato il tempo che impiega la Terra per attraversare gli archi formati da queste rette (da cui la lunghezza degli archi può essere calcolata grazie allaseconda legge di Keplero). Questo problema porta ad un'equazione di ottavo grado, di cui una soluzione, l'orbita della Terra, è nota. La soluzione cercata è quindi separata dalle sei rimanenti, basate su condizioni fisiche. In questo lavoro Gauss utilizzò metodi di ampia approssimazione, che egli creò appositamente.[11]
Rendendosi conto che se l'appoggio economico delDuca di Brunswick gli fosse mancato egli sarebbe caduto in miseria occupandosi di solamatematica pura, Gauss si cercò un incarico in qualcheosservatorio astronomico e, nel1807, divenne Professore di Astronomia e Direttore dell'osservatorio di Gottinga, incarico che mantenne fino alla sua morte. Interessante in questo periodo è la sua corrispondenza conSophie Germain, matematica che, sotto lo pseudonimo di Antoine-August Le Blanc, scrisse a Gauss 10 lettere, dal 1804 fino al 1808, in cui gli descriveva la scoperta di un particolare tipo di primo (che prese poi il nome diprimo di Sophie Germain).
La scoperta diCerere da parte di Piazzi, il 1º gennaio 1801, portò Gauss a interessarsi ai moti degliasteroidi perturbati da grandi pianeti. Le sue scoperte furono pubblicate nel1809 nel volumeTheoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lett. "Teoria del moto di corpi celesti che si muovono percorrendo sezioni coniche intorno al sole").
Piazzi fu in grado di osservare e tracciare gli spostamenti di Cerere soltanto per un paio di mesi, seguendolo per tre gradi attraverso il cielo notturno, finché non scomparve dietro il bagliore delSole. Alcuni mesi dopo, quando Cerere sarebbe dovuto riapparire, Piazzi non riuscì a localizzarlo: gli strumenti matematici del tempo non erano in grado di ricavarne la posizione con così pochi dati - tre gradi rappresentano meno dell'1% dell'orbita totale.
Gauss, che aveva 23 anni, venne a sapere di questo problema e si impegnò a risolverlo. Dopo tre mesi di duro lavoro predisse la posizione di Cerere nel dicembre 1801 - appena un anno dopo il suo primo avvistamento - con un errore di appena mezzo grado. Introdusse lacostante gravitazionale di Gauss, e sviluppò il cosiddettometodo dei minimi quadrati, una procedura usatissima ancora oggi per minimizzare l'impatto deglierrori di misurazione. Gauss pubblicò tale metodo solo nel1809, quando fu in grado di dimostrarlo adeguatamente con l'assunzione degli erroridistribuiti normalmente (vediteorema di Gauss-Markov), benché l'avesse usato sin dal 1794.[12] Ad ogni modo, il metodo fu descritto per la prima volta nel1805 daAdrien-Marie Legendre.
In questi anni entrò in conflitto conAdrien-Marie Legendre, poiché sembra che egli avesse scoperto senza pubblicare alcune scoperte di Legendre, come appunto il metodo dei minimi quadrati e la congettura delteorema dei numeri primi. Gauss tuttavia, uomo semplice, non si lasciò coinvolgere in queste dispute. Oggi sembra confermato che effettivamente Gauss abbia preceduto Legendre.
Gauss era un prodigioso "calcolatore mentale". Si dice che si divertisse a setacciare un intervallo dimille numeri in cerca dinumeri primi appena aveva un quarto d'ora di tempo, cosa che normalmente richiederebbe ore e ore di duro lavoro. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così precisi. Rispose «Ho usato ilogaritmi». L'interlocutore allibito gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: «Tabelle? Li ho calcolati mentalmente».
Nel1818 fu chiesto a Gauss di compiere la rilevazionegeodetica delRegno di Hannover, associandola ai precedenti rilevamenti effettuati inDanimarca. Gauss accettò il compito, applicandovi la sua straordinaria abilità nel calcolare, unita all'utilizzazione dell'eliotropo, da lui inventato, costituito da un piccolotelescopio e da una serie di specchi che riflettevano i raggi solari a grandi distanze, per poter effettuare le misure. Intrattenne una regolare corrispondenza conSchumacher,Olbers eBessel, in cui riportava i suoi progressi e discuteva il problema.
Sembra che Gauss sia stato il primo a scoprire le potenzialità dellageometria non euclidea, ma sembra che, per paura di pubblicare un lavoro così rivoluzionario, tenne per sé i risultati. Questa scoperta fu una delle più importanti rivoluzioni matematiche di tutti i tempi. Essa consiste sostanzialmente nel rifiuto di uno o piùpostulati di Euclide, cosa che porta alla costruzione di un modello geometrico consistente e non contraddittorio. Ricerche su questa geometria portarono, fra le varie cose, allateoria della relatività generale diEinstein, che quasi un secolo dopo descrive l'universo come non euclideo. L'amico di GaussFarkas (Wolfgang) Bolyai, con cui aveva giurato "fratellanza nel nome della sincerità", da studente aveva per molti anni provato invano a dimostrare ilV postulato di Euclide. Suo figlioJános Bolyai invece riscoprì la geometria non euclidea nel1829, pubblicando poi il suo risultato nel1832. Dopo averlo letto, Gauss scrisse a Farkas Bolyai, che gli aveva chiesto un parere:"Lodare questo lavoro sarebbe come lodare me stesso: coincide quasi esattamente con le meditazioni che ho fatto trenta, trentacinque anni fa". Questo amareggiò molto Janos, che mise fine ai rapporti con Gauss pensando che egli stesse rubando l'idea. Oggi la precedenza di Gauss è appurata. Alcune lettere di Gauss, anni prima del 1832, rivelano che egli discutesse in modo oscuro riguardo al problema delle linee parallele. Waldo Dunnington, un vecchio studente di Gauss, inGauss, Titano della Scienza sostiene che Gauss fosse assolutamente in possesso della geometria non euclidea molto prima che venisse pubblicata daJános Bolyai, ma che si fosse rifiutato di pubblicarla per il timore della controversia.
Tomba di Gauss nel cimiteroAlbanifriedhof di Gottinga
Nel1831 Gauss iniziò una fruttuosa collaborazione col grande fisicoWilhelm Eduard Weber, che portò alla scoperta di una nuova legge delcampo elettrico (teorema del flusso), oltre che a trovare una rappresentazione per l'unità del magnetismo in termini di massa, lunghezza e tempo, e dellaseconda legge di Kirchhoff. Nel1833, Gauss e Weber costruirono un primitivotelegrafo elettromagnetico, che collegava l'osservatorio con l'istituto di fisica di Gottinga. Gauss fece costruire unosservatorio magnetico nel giardino dell'osservatorio astronomico, e insieme a Weber fondò ilmagnetischer Verein (lett. "club magnetico"), che confermò le misurazioni delcampo magnetico terrestre in diverse regioni del pianeta. Sviluppò un metodo di misurazione dell'intensità orizzontale del campo magnetico, largamente utilizzato per tutta la metà delXX secolo ed elaborò la teoria matematica per la distinzione delle sorgenti del campo magnetico terrestre in interne (nucleo ecrosta) ed esterne (magnetosfera).
Gauss morì a Gottinga, Hannover (ora parte dellaBassa Sassonia,Germania), nel1855 e fu sepolto nel cimitero di Albanifriedhof. Pronunciarono gli elogi funebri il genero Heinrich Ewald eWolfgang Sartorius von Waltershausen, amico di Gauss e suo biografo.Il suo cervello fu studiato daRudolf Wagner, che ne determinò la massa, pari a 1 492 grammi, e l'area cerebrale, pari a 219 588 millimetri quadrati[13] (340 362pollici quadrati). Si trovò inoltre che fosse particolarmente ricco dicirconvoluzioni.[3]
Secondo Waldo Dunnington, la fede di Gauss era basata sulla ricerca della verità. Egli credeva nell'immortalità dell'individualità spirituale, in una permanenza personale dopo la morte, in un ultimo ordine di cose, in unDio eterno, onesto, onnisciente ed onnipotente". Gauss, inoltre, difendeva latolleranza religiosa, credendo che fosse sbagliato disturbare coloro che erano in pace con le loro credenze.[3]
La vita privata di Gauss fu oscurata dalla prematura morte della prima moglie, Johanna Osthoff, nel1809, seguita in breve tempo dalla morte di un figlio, Louis. Gauss entrò indepressione, dalla quale non si riprese mai completamente. Si sposò nuovamente con la migliore amica di Johanna, Friederica Wilhelmine Waldeck, comunemente conosciuta come Minna. Quando nel1831 anche la seconda moglie morì dopo una lunga malattia,[14] una delle sue figlie, Therese, si fece carico della famiglia e si prese cura del padre per il resto della sua vita. La madre di Gauss visse in casa sua dal1817 fino alla morte, nel1839.[3]
Gauss ebbe sei figli. Da Johanna (1780-1809) ebbe Joseph (1806-1873), Wilhelmina (1808-1840) e Louis (1809-1810). Di tutti i figli di Gauss, si diceva che fosse Wilhelmina ad aver ereditato tratti del talento del padre, ma sfortunatamente morì giovane. Anche da Minna Waldeck ebbe tre figli: Eugene (1811-1896), Wilhelm (1813-1879) e Therese (1816-1864).
Gauss ebbe vari conflitti con i figli, poiché pretendeva che nessuno s'interessasse di matematica o scienze, per «paura d'infangare il nome di famiglia»; due dei figli di secondo letto (Eugene e Wilhelm) emigrarono negliStati Uniti. Gauss voleva che Eugene diventasse unavvocato, ma quest'ultimo volle studiare lingue. Padre e figlio litigarono durante una festa, tenuta da Eugene, per la quale Gauss padre rifiutò di pagare; ci vollero molti anni perché la reputazione di Eugene contrastasse la reputazione fra gli amici e i colleghi di Gauss (vedi anche la lettera da Robert Gauss aFelix Klein, 3 settembre1912). Eugene emigrò negliStati Uniti circa nel1832, dopo il litigio col padre; anche Wilhelm emigrò e si stabilì nelMissouri, iniziando a fare ilcontadino ed arricchendosi poi col business delle scarpe aSaint Louis. Therese mantenne la casa per Gauss fino alla sua morte, dopo la quale si sposò.
Monumento diGottinga che ritrae Gauss (seduto) insieme a Weber per commemorare la loro collaborazione
Gauss era un perfezionista e un lavoratore accanito. SecondoIsaac Asimov, mentre stava lavorando ad un problema, sarebbe stato interrotto per riferirgli che sua moglie stava morendo. Gauss avrebbe risposto: «Ditele di aspettare un attimo, sono impegnato».[15] Questo aneddoto è aspramente contestato inGauss, Titano della Scienza di Waldo Dunnington come una «scemenza tipica di Asimov». Non fu uno scrittore molto prolifico, rifiutando di pubblicare qualcosa che non fosse assolutamente perfetto. Il suo motto era difatti «Pauca sed matura» (lett. "poche cose, ma mature"). I suoi diari personali indicano che egli compì molte importanti scoperte matematiche anni o decenni prima che i suoi contemporanei le pubblicassero. Lo storico matematicoEric Temple Bell stima che, se Gauss avesse pubblicato per tempo tutte le sue scoperte, avrebbe anticipato i matematici di almeno cinquant'anni.[16]
Sebbene avesse avuto alcuni studenti, Gauss era noto per detestare l'insegnamento, e prese parte ad un'unica conferenza scientifica, aBerlino nel1828. Rare erano le collaborazioni con altri matematici, che lo consideravano solitario e austero. La sua fama di pessimo insegnante dipendeva anche dal contesto in cui insegnava: Gauss, di umili origini e arrivato all'insegnamento grazie ai suoi sforzi, si trovava spesso ad insegnare a studenti demotivati e impreparati, arrivati all'università più per le loro relazioni sociali che per il loro valore intellettuale. Gauss riteneva che gli studenti dovessero pensare in modo autonomo, mettendo al centro della ricerca i propri sforzi, più che le lezioni e le spiegazioni dei professori.[17] Quando ebbe l'occasione di trovare studenti motivati e capaci, Gauss dedicò molto tempo a dar loro consigli e supporto. Basta citare alcuni dei suoi studenti che divennero importanti matematici:Richard Dedekind, il grandeBernhard Riemann eFriedrich Wilhelm Bessel. Prima che morisse,Sophie Germain fu raccomandata da Gauss affinché ricevesse anche lei lalaurea honoris causa.
La dimostrazione originale di Gauss è importante in quanto contiene il concetto dipiano complesso (o appunto piano di Gauss), un piano cartesiano in cui l'ascissa indica laparte reale e l'ordinata indica laparte immaginaria. Il piano complesso è stato utilizzato poi da moltissimi altri matematici che lo hanno valorizzato appieno.
Gauss risolse appena diciannovenne un problema aperto da millenni, ossia determinare qualipoligoni regolari possono essere costruiti usando soloriga e compasso. La sorprendente risposta fu che si possono costruire con riga e compasso tutti i poligoni regolari tali che il numeron dei lati possa essere scritto nella forma:
La costruzione effettiva dell'eptadecagono fu trovata daJohannes Erchinger pochi anni dopo. Gauss si interessò anche di impacchettamenti disfere, dimostrando un caso speciale dellacongettura di Keplero.
Gauss si occupò dellateoria dei numeri ottenendo interessanti risultati. Terminò leDisquisitiones Arithmeticae, la suamagnum opus, nel 1798, a ventun anni, ma non furono pubblicate prima del 1801. In questo libro, scritto in latino[18], Gauss raccoglie risultati della teoria dei numeri ottenuti da matematici comeFermat,Eulero,Lagrange eLegendre, aggiungendovi importanti nuovi contributi.
LeDisquisitiones coprono argomenti che vanno dalla teoria elementare dei numeri a quel ramo della matematica oggi chiamatoteoria dei numeri algebrica. Tuttavia è bene precisare che Gauss in quest'opera non riconosce esplicitamente il concetto digruppo. Introduce invece, l'aritmetica modulare, divenuta poi fondamentale per lo sviluppo dellateoria dei numeri. L'aritmetica si fonda sull'importante concetto di congruenza:
quando la differenza traa eb è un multiplo din. Gauss studiò anche leequazioni diofantee, dimostrando l'importantissimoteorema di reciprocità quadratica. Espresse per primo questo teorema nel linguaggio dell'aritmetica modulare.
Gauss studiò poi il comportamento deglierrori. Inventò ilmetodo dei minimi quadrati, che tende a ridurre al minimo gli errori di misurazione. Grazie a questo metodo Gauss riuscì a calcolare l'orbita delpianetinoCerere, dopo che erano state compiute solo poche osservazioni empiriche sul suo moto.
Tuttavia il lavoro più importante in questo senso fu la scoperta dellavariabile casuale normale, detta anchegaussiana. La curva è generata dalla funzione:
e descrive il comportamento e l'entità degli errori di misurazione. La variabile normale è sicuramente una delle più importantivariabili casuali, ed è estremamente diffusa instatistica.
Francobollo ritraente Gauss, stampato per il 100º anniversario della sua morte
Dal1989 fino alla fine del2001, il suo ritratto e unadistribuzione normale, insieme ad importanti edifici diGottinga, apparvero sulla banconota da dieci marchi tedeschi. Sull'altro lato della banconota figuravano l'eliotropio ed un approccio ditriangolazione per l'Hannover. La Germania ha addirittura pubblicato tre stampe in onore di Gauss. Una stampa fedele (n. 725) è stata pubblicata nel1955 per il centenario della sua morte; due altre stampe (n. 1246 e n. 1811) sono state pubblicate nel1977, per il 200º anniversario della sua nascita.
Il romanzoDie Vermessung der Welt[19] (2005) diDaniel Kehlmann, tr. it.La Misura del Mondo (2006), esplora la vita di Gauss contrapponendola a quella dell'esploratore tedescoAlexander von Humboldt.
IlCannone di Gauss, un acceleratore diproiettili, chiamato così in seguito alle varie descrizioni matematiche che Gauss fece riguardo agli effetti magnetici degli acceleratori magnetici.
Nellehigh schoolCanadesi, una competizione annuale di matematica organizzata dalCentro per l'Educazione in Matematica e nel Calcolo è stata chiamata in onore di Gauss;
NelCrown College, nell'Università dellaCalifornia (Santa Cruz), un dormitorio è stato chiamato in suo onore;
IlGauss Hauss, un centroRMN all'Università delloUtah;
La Scuola Carl-Friedrich-Gauß per Matematica, Informatica, Amministrazione Aziendale, Economia e Scienze Sociali delTechnische Universität Braunschweig;
LaGaussschule a Braunschweig, un liceo nella sua città natía.
Il Palazzo Gauss - Università dell'Idaho (College d'Ingegneria).
1799: Tesi di laurea sulteorema fondamentale dell'algebra con il titolo:Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse ("Nuova dimostrazione del teorema per il quale ogni funzione algebrica integrale di una variabile può essere risolta in fattori di primo o secondo grado")
1801:Disquisitiones Arithmeticae. Traduzione tedesca di H. MaserUntersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione). New York: Chelsea. 1965.ISBN 0-8284-0191-8 pp. 1–453. Traduzione inglese di Arthur A. ClarkeDisquisitiones Arithemeticae (Seconda edizione, corretta). New York:Springer. 1986.ISBN 0-387-96254-9.
1807:Quaestio de cœlis sub uranis in proiectione quinta.
1808:Theorematis arithmetici demonstratio nova. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen XVI. Traduzione tedesca di H. MaserUntersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione)., pp. 457–462 [Introduce illemma di Gauss, lo usa nella terza dimostrazione della reciprocità quadratica]
1811:Summatio serierum quarundam singularium. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen. Traduzione tedesca di H. MaserUntersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione). New York: Chelsea. 1965.ISBN 0-8284-0191-8, pp. 463–495 [Determinazione del segno dellasomma quadratica di Gauss, la usa per dare la quarta dimostrazione della reciprocità quadratica]
1812:Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam
1818:Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen. Traduzione tedesca di H. MaserUntersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione). New York: Chelsea. 1965.ISBN 0-8284-0191-8, pp. 496–510 [Quinta e sesta dimostrazione della reciprocità quadratica]
1821, 1823 e 1826:Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Drei Abhandlungen betreffend die Wahrscheinlichkeitsrechnung als Grundlage des Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes. Traduzione inglese di G. W. Stewart, 1987, Società per la Matematica Industriale.
1828:Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6. Traduzione tedesca di H. MaserUntersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione). New York: Chelsea. 1965.ISBN 0-8284-0191-8, pp. 511–533 [Fatti elementari riguardo ai residui biquadratici, prova uno dei supplementi della legge della reciprocità biquadratica (il carattere biquadratico di 2)]
1832:Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7. Traduzione tedesca di H. MaserUntersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione)., pp. 534–586 [Introduce gliinteri di Gauss, espone (senza dimostrazione) la legge di reciprocità biquadratica, dimostra la legge supplementare per 1 + i]
Mathematisches Tagebuch 1796–1814, Ostwaldts Klassiker, Harri Deutsch Verlag 2005, mit Anmerkungen von Neumamn,ISBN 978-3-8171-3402-1 (Traduzione inglese con annotazione di Jeremy Gray: Expositiones Math. 1984)
^Come ricordano Giorgio Bagni e Bruno D'Amore ("A trecento anni dalla nascita di Leonhard Euler", inScuola ticinese, vol. 36, n. 281, 2007, pp. 10-11), «Gauss sarà dettoprinceps mathematicorum sulla base di una medaglia d'oro ricevuta nel1855 dall'Università di Gottinga con tale appellativo; ma più di un secolo primaEulero era stato chiamatoprinceps mathematicorum su proposta del suo maestro,Giovanni Bernoulli, in una lettera del 23 settembre1745».
Carl Frederick Gauss, sito di un pro-pro-pronipote di C.F. Gauss, comprendente una riproduzione di una lettera a suo figlio Eugen e un collegamento alla sua genealogia.
.jpg)
.svg)
