Lacaduta dei gravi è uno dei principali tipi di esperimenti svolti daGalileo per studiare lagravità terrestre e ilmovimento dei corpi. Costituisce una delle tappe che ha portato alla nascita dellascienza moderna.^[1]

Galileo Galilei mostrò che i corpi materiali cadono nelvuoto (escludendo quindi qualunque effetto diattrito dell'aria) tutti con la stessaaccelerazione, indipendentemente dalla loromassa; questo fenomeno è conseguenza diretta dell'equivalenza tramassa gravitazionale emassa inerziale. Da essa si dedusse che ogni corpo, in prossimità della superficie terrestre, subisce un'accelerazione pari a circa:

${\displaystyle g\approx 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$

La formula esatta per l'accelerazione può essere ricavata dalla legge dellaforza gravitazionale:

${\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{G{m}_{g}M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}}$

dove

• M è la massa della Terra;
• G è lacostante gravitazionale;
• m_g è la massa (gravitazionale) dell'oggetto soggetto alla forza gravitazionale;
• r è la distanza del corpo dal centro dellaTerra.

Siccome la distanza tra ilgrave e il centro della Terra è pari a circa il raggio terrestreR, questa equazione si approssima con

${\displaystyle \mathbf{F}\approx -\frac{GM{m}_g}{R^2}\hat{\mathbf{r}}=-m_{g}g\hat{\mathbf{r}}=m_g\mathbf{g}}$

dove${\displaystyle g:=\frac{GM}{R^2}}$.

Sostituendo nelsecondo principio della dinamica si ha

${\displaystyle \mathbf{F}=m_i\mathbf{a}=m_g\mathbf{g}}$

Dato che le masse gravitazionali e inerziali sono proporzionali, per esse si sceglie la stessa unità di misura in modo che, semplificando, si ottenga per l'accelerazione

${\displaystyle \mathbf{a}=\mathbf{g}}$

indipendentemente dalla massa del corpo sottoposto alla forza di gravità. La relazione, proiettata lungo la verticale, diventa:

${\displaystyle a_r\approx -9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}}$.

Lalegge oraria che descrive la caduta dei gravi è quella tipica delmoto uniformemente accelerato:^[2]

${\displaystyle x(t)=x_o+v_{o}t+\frac{1}{2}a{t}^2}$

dovex(t) è la distanza percorsa dal corpo (espressa come funzione del tempo),${\displaystyle x_o}$ la posizione del corpo nell'istante iniziale${\displaystyle t_o=0}$,t il tempo impiegato,${\displaystyle v_o}$ la velocità iniziale eda l'accelerazione a cui è sottoposto il corpo.Nel caso in esame, considerando un corpo che è sottoposto all'azione dellaforza di gravità con velocità iniziale${\displaystyle V_o}$ uguale a zero, in unsistema di riferimento che ha verso positivo allontanandosi dal suolo, lalegge oraria scritta sopra diventa:^[3]

${\displaystyle x(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2}$

dove il segno negativo è dovuto al fatto che il corpo si sta muovendo contrariamente al verso scelto come positivo nelsistema di riferimento.
Tuttavia la notazione utilizzata sopra si rivela utile nel caso in cui si stia studiando un moto che avviene in più di un verso (o direzione eventualmente), come per esempio ilmoto del proiettile; se il moto del grave avviene in una sola direzione e in un solo verso è conveniente assegnare valore positivo all'accelerazione di gravità.Se immaginiamo di far cadere in assenza diattrito due oggetti dimassa diversa dalla medesima altezza e con la stessa velocità iniziale${\displaystyle v_o}$, dallalegge oraria segue direttamente che il tempo di caduta sarà identico (si noti che la massa non compare in nessuna delle precedenti equazioni).

Per un grave in caduta libera con velocità iniziale uguale a zero, sottoposto alla solaforza peso, lo spazio percorso (espresso in metri) durante l'n-esimo secondo è pari a:

${\displaystyle g\left(n-\frac{1}{2}\right)}$

Infatti, calcolare tale spazio significa calcolare la differenza tra lo spazio percorso dopo${\displaystyle n}$ secondi e lo spazio percorso dopo${\displaystyle (n-1)}$ secondi, ovvero:

${\displaystyle x(n)-x(n-1)=\frac{1}{2}g{n}^2-\left[\frac{1}{2}g(n-1{)}^2\right]}$

da cui sviluppando i quadrati e semplificando segue il risultato. Il segno positivo nell'accelerazione${\displaystyle g}$ è assunto per determinare uno spazio positivo, indipendentemente da qualsiasi sistema di riferimento.Si noti che, data la generalità dellaformula, il risultato che si ottiene è uguale per tutti gli intervalli di ampiezza 1 secondo.

Per un corpo in caduta libera, la velocità finale${\displaystyle v_f}$ d'impatto con il suolo è uguale a:^[3]

${\displaystyle v_f=\sqrt{2gh}}$

doveh è l'altezza iniziale (espressa in metri) del corpo rispetto al suolo.Le equazioni necessarie al calcolo di${\displaystyle v_f}$ sono quelle della velocitàv(t) e lalegge oraria che caratterizzano ilmoto uniformemente accelerato, ovvero (nelle rispettive forme compatte):

${\displaystyle \{\begin{array}{c}x(t)=\frac{1}{2}g{t}^2\\ v(t)=gt\end{array}}$

Inserendo i dati del problema il sistema diventa:

${\displaystyle \{\begin{array}{c}h=\frac{1}{2}g{t}_f^2\\ v_f=g{t}_f\end{array}}$

dove${\displaystyle t_f}$ è l'istante in cui il corpo impatta con il suolo.Dalla prima equazione si ricava:

${\displaystyle t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}}$

da cui sostituendo nell'equazione della velocità:

${\displaystyle v_f=g\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{g^2\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gh}}$

Allo stesso risultato si poteva giungere utilizzando lalegge di conservazione dell'energia meccanica; infatti, se chiamiamo${\displaystyle E_0}$ l'energia iniziale e${\displaystyle E_1}$ quella finale si avrà:

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{E}_0=U=mgh\\ E_1=T=\frac{1}{2}m{v}_f^2\end{array}}$

dove${\displaystyle v_f}$ è la velocità finale. Dalla legge di conservazione dell'energia segue che:

${\displaystyle mgh=\frac{1}{2}m{v}_f^2}$

da cui:

${\displaystyle gh=\frac{1}{2}{v}_f^2}$;${\displaystyle 2gh=v_f^2}$;${\displaystyle v_f=\sqrt{2gh}}$

La relazione che lega invece la velocità con il tempo è:${\displaystyle v_f=v_0+gt}$

dove${\displaystyle v_0}$ è la velocità iniziale con cui il corpo cade.

Lo stesso argomento in dettaglio:Velocità terminale di caduta e Velocità di regime.

Se si esamina il caso di un corpo incaduta libera sottoposto alla resistenza viscosa di unfluido (ad es. aria), dalsecondo principio della dinamica è possibile esprimere la velocità di tale corpo come funzione del tempo.

${\displaystyle v(t)=\frac{mg}{\beta }\left(1-e^{-\frac{\beta }{m}t}\right)}$

dove β è un coefficiente che varia in base alla forma del corpo e al fluido in cui esso si muove;dimensionalmente:

${\displaystyle [M][L{T}^{-2}]=[\beta ][L{T}^{-1}]⟺[\beta ]=[M{T}^{-1}]=[\frac{Kg}{s}]}$

risultato che si ricava dall'equazione che esprime laforza di resistenza del mezzo:

${\displaystyle f=-\beta v}$

Per individuare la funzione velocità indicata sopra, occorre partire dallaseconda legge della dinamica:

${\displaystyle f=ma=m\frac{dv}{dt}}$

la quale è un'equazione differenziale a variabili separabili:

${\displaystyle mg-\beta v=m\frac{dv}{dt}\Rightarrow \frac{dv}{dt}=g-\frac{\beta }{m}v\Rightarrow \frac{dv}{g-\frac{\beta }{m}v}=dt}$

Integrando ciascun membro:

${\displaystyle {\int }_{v(0)}^{v(t)}\frac{dv}{g-\frac{\beta }{m}v}={\int }_0^{t}dt}$

si ottiene:

${\displaystyle {\left[\ln \left(g-\frac{\beta v}{m}\right)\right]}_{v_0}^v=-\frac{\beta }{m}t\Rightarrow \ln \left(\frac{\beta v-mg}{\beta v_0-mg}\right)=-\frac{\beta }{m}t\Rightarrow \frac{\beta v-mg}{\beta v_0-mg}=e^{-\frac{\beta }{m}t}\Rightarrow v\left(t\right)=\frac{mg}{\beta }+\left(v_0-\frac{mg}{\beta }\right)e^{-\frac{\beta }{m}t}}$

La formula precedente descrive il caso particolare${\displaystyle v_0=0}$

Si nota che:

${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[\frac{mg}{\beta }+\left(v_0-\frac{mg}{\beta }\right)e^{-\frac{\beta }{m}t}\right]=\frac{mg}{\beta }}$

che è il valore costante a cui tende la velocità del corpo in caduta, all'aumentare del tempo (velocità limite ovelocità di regime).Tale risultato mostra come la velocità limite dipenda (oltre che dag) dal rapporto tra la massa del corpo e il coefficiente β: fissatom, la velocità limite diminuisce all'aumentare di β, ovvero all'aumentare della superficie che l'oggetto volge alla direzione del moto.C'è inoltre da notare un'altra caratteristica, se il corpo è in partenza verticalmente con una velocità${\displaystyle v_{y_0}}$ si può scrivere:

${\displaystyle v(t)=v_{y_0}{\mathit{e}}^{-\frac{\beta }{m}t}+\frac{mg}{\beta }\left(1-{\mathit{e}}^{-\frac{\beta }{m}t}\right)}$

Applicando il limite per${\displaystyle m\to \mathrm{\infty }}$ si ha:

${\displaystyle \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[v_{y_0}{\mathit{e}}^{-\frac{\beta }{m}t}+\frac{mg}{\beta }\left(1-{\mathit{e}}^{-\frac{\beta }{m}t}\right)\right]=v_{y_0}+gt}$

Cioè la velocità è la stessa che si avrebbe senza resistenza dell'aria, questo significa che più la massa è grande più la sua traiettoria assomiglia ad una parabola ed il moto è parabolico. In particolare questo ci informa che, se prendiamo due corpi con un coefficiente${\displaystyle \beta }$ uguale ma con massa diversa, quello con massa maggiore avrà una gittata maggiore rispetto a quella con massa minore. Infatti di per sé la resistenza dell'aria fa in modo di ridurre la gittata rispetto a quella parabolica.

Con la resistenza dell'aria il moto del corpo in caduta è diverso da quello ideale parabolico, questo perché durante la fase di volo il corpo subisce un attrito che ne rallenta il percorso, si ha quindi una forza che si oppone al moto che è laresistenza dell'aria. Infatti il corpo si muove dentro un fluido che è l'aria ed è sottoposto quindi ad unattrito viscoso.La forza di attrito che si oppone al moto possiamo esprimerla come:

${\displaystyle \mathbf{D}=b\mathbf{v}}$

Doveb è una costante che dipende strettamente dalle caratteristiche del corpo. Per cui la forza totale agente sul corpo sarà

${\displaystyle \mathbf{F}=\mathbf{P}-\mathbf{D}}$

Scomponendo nelle componenti cartesiane e considerando la forza gravitazionale costante (quindi l'accelerazione gravitazionale sarà pari ag), raccogliendo si può scrivere

${\displaystyle m{a}_x\widehat{u_x}+m{a}_y\widehat{u_y}=-b{v}_x\widehat{u_x}-(mg+b{v}_y)\widehat{u_y}}$

Si ottiene il sistema

${\displaystyle \{\begin{array}{l}m{a}_x=-b{v}_x\\ m{a}_y=-mg-b{v}_y\end{array}}$

Portiamo tutto al primo membro e dividiamo tutto per la massa del corpom, possiamo a questo punto sostituire l'accelerazione con la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo e la velocità con la derivata prima rispetto al tempo, otteniamo

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}=0\\ \ddot{y}+\frac{b}{m}\dot{y}+g=0\end{array}}$

Per semplicità sostituiamo${\displaystyle \epsilon =\frac{b}{m}}$ otteniamo dunque:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\ddot{x}+\epsilon \dot{x}=0\\ \ddot{y}+\epsilon \dot{y}+g=0\\ \epsilon =\frac{b}{m}\end{array}}$

Si tratta di due equazioni differenziali, una soluzione della seconda del sistema è

${\displaystyle u(x)=-\frac{gt}{\epsilon }}$

Inoltre consideriamo anche le condizioni iniziali${\displaystyle x(0)=x_0,\dot{x(0)}=v_{x_0}}$ ed${\displaystyle y(0)=y_0,\dot{y(0)}=v_{y_0}}$. Tutti questi dati ci permettono di risolvere le equazioni differenziali ottenendo le equazioni del moto in forma parametrica

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x(t)=x_0+\frac{v_{x_0}}{\epsilon }\cdot \left(1-{\mathit{e}}^{-\epsilon t}\right)\\ y(t)=y_0-\frac{gt}{\epsilon }+\frac{v_{y_0}\epsilon +g}{{\epsilon }^2}\cdot \left(1-{\mathit{e}}^{-\epsilon t}\right)\\ \epsilon =\frac{b}{m}\end{array}}$

Ed, attraverso delle sostituzioni, l'equazione esplicita di y in funzione di x:

${\displaystyle y=y_0+\frac{\ln \left(1-\frac{\epsilon }{v_{x_0}}\cdot (x-x_0)\right)}{{\epsilon }^2}g+\frac{v_{y_0}\epsilon +g}{v_{x_0}\epsilon }\cdot (x-x_0)}$

La teoria esposta qui sopra tratta solo della caduta dei gravi in verticale. Il campo gravitazionale, inoltre, è supposto costante, cosa che sulla Terra in condizioni normali è un'ottima approssimazione, (infatti dà errori incomparabilmente inferiori a quelli dati dal trascurare la resistenza dell'aria).

ANewton si deve lateoria gravitazionale esatta e completa (non relativistica), e la gloria di aver mostrato che una mela o un sasso cadendo seguono esattamente le stesse equazioni che fanno girare la Terra intorno al Sole. Un sasso lanciato in aria percorre un'ellisse, nel cadere verso il suolo (sempre trascurando la resistenza dell'aria). La traiettoria che vediamo noi è una piccolissima parte di questa ellisse, tanto piccola da essere indistinguibile da un segmento di parabola (che sarebbe la traiettoria seguita se la gravità fosse costante).

Per approfondire vedi:

• Legge di gravitazione universale
• Leggi di Keplero eloro derivazione

• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci,Fisica, vol. 1, 2ª ed., Edises, 2000,ISBN 88-7959-137-1.

• Accelerazione di gravità
• Caduta libera
• Forza di gravità
• Forza peso
• Moto uniformemente accelerato
• Velocità di regime
• Caduta (incidente)

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