Nellarelatività generale, lametrica di Kerr (ovuoto di Kerr) è una soluzione dell'equazione di Einstein che descrive la geometria dellospazio-tempo intorno a un corpo massivo rotante. Secondo questametrica, tali corpi rotanti devono mostrare uneffetto di trascinamento (frame dragging), un'insolita previsione della relatività generale. Le misurazioni di questo effetto di trascinamento fu il principale obiettivo dell'esperimento delGravity Probe B. In parole povere, questo effetto prevede che gli oggetti approssimandosi a una massa rotante vengono a partecipare alla sua rotazione, non a causa di qualsivoglia forza o coppia applicata che vi si possa avvertire, ma piuttosto per la curvatura dello spazio-tempo associato ai corpi in rotazione. A distanze abbastanza ravvicinate, tutti gli oggetti — laluce stessa —devono ruotare insieme al corpo; la regione dove questo si realizza è chiamataergosfera.

La metrica di Kerr è spesso usata per definire ibuchi neri rotanti, che presentano fenomeni ancora più esotici. Questi buchi neri hanno superfici differenti dove la metrica sembra avere unasingolarità; la dimensione e la forma di queste superfici dipendono dallamassa e dalmomento angolare del buco nero. La superficie esterna racchiude l'ergosfera ed ha una forma simile ad una sfera appiattita. La superficie interna segna il "raggio di non ritorno" altrimenti detto "orizzonte degli eventi"; gli oggetti che passano attraverso questo raggio non possono mai più ritornare a comunicare con il mondo esterno. Tuttavia, nessuna superficie è una vera singolarità, poiché la sua apparente singolarità può essere eliminata in unsistema di coordinate diverso. Gli oggetti tra questi due orizzonti devono co-ruotare con il corpo rotante, come si è detto sopra; questo aspetto può essere utilizzato per estrarre energia da un buco nero rotante, fino alla sua energia dimassa a riposo,Mc². Anche i fenomeni più strani possono essere osservati nella regione più interna di questo spazio-tempo, come ad esempio alcune forme di viaggio nel tempo. Ad esempio, la metrica di Kerr permette unacurva spaziotemporale chiusa di tipo tempo, in cui una banda di viaggiatori ritorna nello stesso luogo dopo essersi spostati per un determinato tempo secondo il loro orologio; tuttavia, tornano nello stesso luogoe tempo, come percepiti da una osservatore esterno.

La metrica di Kerr è unasoluzione esatta delleequazioni di campo di Einstein della relatività generale; queste equazioni sono altamente non-lineari, il che rende molto difficili trovare soluzioni esatte. La metrica di Kerr è una generalizzazione dellametrica di Schwarzschild, scoperta daKarl Schwarzschild nel 1916 e che descrive la geometria dellospazio-tempo intorno a un corpo senza carica, perfettamente sferico e non-rotante. La soluzione corrispondente per un corpo concarica, sferico, non-rotante, lametrica di Reissner-Nordström, venne scoperta poco dopo (1916-1918). Ciò nonostante, l'esatta soluzione per un corpo senza carica erotante, lametrica di Kerr, rimase irrisolta fino al 1963, quando venne scoperta daRoy Kerr. L'estensione naturale per un corpo carico e rotante, lametrica di Kerr-Newman, venne scoperta poco dopo, nel 1965. Questi quattro soluzioni correlate possono essere riassunte dalla seguente tabella:

doveQ rappresenta lacarica elettrica del corpo eJ rappresenta il suomomento angolare di rotazione (spin).

La metrica di Kerr^[1][2] descrive la geometria dellospazio-tempo in prossimità di una massaM rotante conmomento angolareJ

dove le coordinate${\displaystyle r,\theta ,\varphi }$ sono unsistema di coordinate sferiche standard, er_s è ilraggio di Schwarzschild

${\displaystyle r_s=\frac{2GM}{c^2}}$

e dove le scale di lunghezza α, ρ e Δ sono state introdotte per brevità

${\displaystyle \alpha =\frac{J}{Mc}}$

${\displaystyle {\rho }^2=r^2+{\alpha }^2{\cos }^2\theta }$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=r^2-r_{s}r+{\alpha }^2}$

Nel limite non relativistico doveM (o, in modo equivalente,r_s) va a zero, la metrica di Kerr diventa la metrica ortogonale per lecoordinate sferoidali oblate

${\displaystyle c^{2}d{\tau }^2=c^{2}d{t}^2-\frac{{\rho }^2}{r^2+{\alpha }^2}d{r}^2-{\rho }^{2}d{\theta }^2-\left(r^2+{\alpha }^2\right){\sin }^2\theta d{\varphi }^2}$

le quali sono equivalenti allecoordinate di Boyer-Lindquist^[3]

${\displaystyle x=\sqrt{r^2+{\alpha }^2}\sin \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle y=\sqrt{r^2+{\alpha }^2}\sin \theta \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r\cos \theta }$

Dal momento che anche un controllo diretto sulla metrica di Kerr comporta calcoli complicati, le componenti dellacontravariante${\displaystyle g^{ik}}$ deltensore metrico sono mostrate sotto nell'espressione per il quadrato delquadrigradiente:

${\displaystyle g^{\mu \nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\mu }}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}=\frac{1}{c^2\mathrm{\Delta }}\left(r^2+{\alpha }^2+\frac{r_{s}r{\alpha }^2}{{\rho }^2}{\sin }^2\theta \right){\left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\right)}^2+\frac{2r_{s}r\alpha }{c{\rho }^2\mathrm{\Delta }}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}-}$

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Delta }{\sin }^2\theta }\left(1-\frac{r_{s}r}{{\rho }^2}\right){\left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }\right)}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{{\rho }^2}{\left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }r}\right)}^2-\frac{1}{{\rho }^2}{\left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }\right)}^2}$

Lo stesso argomento in dettaglio:Effetto di trascinamento.

Possiamo riscrivere la metrica di Kerr nella seguente forma:

${\displaystyle c^{2}d{\tau }^2=\left(g_{tt}-\frac{g_{t\varphi }^2}{g_{\varphi \varphi }}\right)d{t}^2+g_{rr}d{r}^2+g_{\theta \theta }d{\theta }^2+g_{\varphi \varphi }{\left(d\varphi +\frac{g_{t\varphi }}{g_{\varphi \varphi }}dt\right)}^2.}$

Questa metrica è equivalente a un sistema di riferimento co-rotante, ruotante convelocità angolare Ω che dipende sia dal raggior che dallacolatitudine θ, dove Ω viene chiamatoorizzonte di Killing.

${\displaystyle \mathrm{\Omega }=-\frac{g_{t\varphi }}{g_{\varphi \varphi }}=\frac{r_{s}r\alpha c}{{\rho }^2\left(r^2+{\alpha }^2\right)+r_{s}r{\alpha }^2{\sin }^2\theta }.}$

Quindi, unsistema di riferimento inerziale viene trascinato dalla massa rotante centrale a partecipare alla rotazione di quest'ultimo; questo è ilframe-dragging, che è attualmente in grado di essere verificato sperimentalmente.^[4][5]

La metrica di Kerr ha due superfici fisiche rilevanti sulle quali sembra essere singolare. La superficie interna corrisponde a unorizzonte degli eventi simile a quello osservato nellametrica di Schwarzschild; questo si verifica laddove la componente puramente radialeg_rr della metrica va all'infinito. Risolvendo l'equazione quadratica 1/g_rr = 0 si ottiene la soluzione:

${\displaystyle r_{\mathit{i}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{n}\mathit{o}}=\frac{r_s+\sqrt{r_s^2-4{\alpha }^2}}{2}}$

Un'altra singolarità si verifica dove la componente puramente temporaleg_tt della metrica muta il segno da positivo a negativo. Risolvendo di nuovo un'equazione quadraticag_tt=0 si ottiene la soluzione:

${\displaystyle r_{\mathit{e}\mathit{s}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{n}\mathit{o}}=\frac{r_s+\sqrt{r_s^2-4{\alpha }^2{\cos }^2\theta }}{2}}$

A causa del termine cos²θ nella radice quadrata, questa superficie esterna rassomiglia a una sfera appiattita che tocca la superficie interna ai poli dell'asse di rotazione, dove la colatitudine θ è pari a 0 o π; lo spazio tra queste due superfici viene chiamatoergosfera. Ci sono due altre soluzioni per queste equazioni quadratiche ma si trovano dentro l'orizzonte degli eventi, dove non viene utilizzata la metrica di Kerr poiché essa ha proprietà non-fisiche (vedi sotto).

Una particella sperimenta untempo proprio positivo lungo la sualinea di universo, il suo percorso attraverso lospazio-tempo. Tuttavia, questo è impossibile dentro l'ergosfera, doveg_tt è negativo, salvo che la particella stia co-ruotando insieme alla massa internaM con una velocità angolare almeno di Ω. Quindi, nessuna particella può ruotare di fronte alla massa centrale dentro l'ergosfera.

Come per l'orizzonte degli eventi nellametrica di Schwarzschild, le apparenti singolarità per r_interno e r_esterno sono un'illusione creata dalla scelta delle coordinate (i.e., sonosingolarità di coordinate). Infatti, lo spazio-tempo può essere facilmente continuato attraverso di loro tramite una scelta appropriata di coordinate.

Lo stesso argomento in dettaglio:Processo Penrose.

Un buco nero in genere è circondato da una superficie, chiamataorizzonte degli eventi situata nelraggio di Schwarzschild (per un buco nero non-rotante), dove lavelocità di fuga è uguale alla velocità della luce. Dentro questa superficie, nessun osservatore/particella può mantenersi a un raggio costante. È costretto/a a cadere all'interno, e perciò questo è chiamatolimite statico.

Un buco nero rotante ha lo stesso limite statico per il raggio di Schwarzschild ma c'è una superficie aggiuntiva esterna al raggio di Schwarzschild denominata "ergosuperficie" data da${\displaystyle (r-GM{)}^2=G^2{M}^2-J^2{\cos }^2\theta }$ concoordinate di Boyer-Lindquist, che può essere intuitivamente caratterizzata come la sfera dove "la velocità rotazionale dello spazio circostante" è trascinata insieme alla velocità della luce. Dentro questa sfera il trascinamento è maggiore della velocità della luce, e ogni osservatore/particella viene costretto a co-ruotare.

La regione esterna all'orizzonte degli eventi, ma interna alla sfera dove la velocità rotazionale è la velocità della luce, è dettaergosfera (dal grecoergon che significalavoro). Le particelle che cadono dentro l'ergosfera sono costrette a ruotare più veloci e quindi guadagnando energia. Poiché si trovano ancora all'esterno dell'orizzonte degli eventi, esse possono sfuggire al buco nero. Il processo finale è che il buco nero rotante emette particelle energetiche a scapito della sua propria energia complessiva. La possibilità di estrarre energia di rotazione da un buco nero rotante fu proposta dal matematicoRoger Penrose nel 1969 ed è perciò chiamataprocesso Penrose. In astrofisica, i buchi neri rotanti sono una fonte potenziale di grandi quantità di energia e sono utilizzati per spiegare i fenomeni energetici, come ad esempio leesplosioni di raggi gamma.

Ilvuoto di Kerr presenta molte caratteristiche notevoli: l'estensione analitica massimale comprende una sequenza di regioni esterneasintoticamente piane, ciascuna associata ad un'ergosfera, asuperfici stazionarie di limite, all'orizzonte degli eventi, all'orizzonte di Cauchy, allecurve chiuse di tipo tempo e a unasingolarità ad anello. L'equazione geodetica può essere risolta esattamente in forma chiusa. Oltre ai duecampi vettoriali di Killing (che corrispondono allatraslazione temporale e allaassisimmetria), il vuoto di Kerr ammette un notevoletensore di Killing. C'è una coppia dicongruenze nulle principali (unain entrata e unain uscita). Iltensore di Weyl èalgebricamente speciale, infatti ha iltipo di PetrovD. Lastruttura globale è nota. Topologicamente, iltipo di omotopia dello spazio-tempo di Kerr può essere semplicemente caratterizzato come una linea con cerchi uniti ad ogni punto intero.

Da notare che il vuoto di Kerr è instabile rispetto alle perturbazioni nella regione interna. Questa instabilità significa che sebbene la metrica di Kerr sia assi-simmetrica, un buco nero creato attraverso il collasso gravitazionale può non essere così. Questa instabilità implica anche che molte degli aspetti del vuoto di Kerr descritti sopra non sarebbero neanche presenti in tale buco nero.

Una superficie sulla cui luce può orbitare un buco nero è chiamatasfera fotonica. La soluzione di Kerr ha infinitamente moltesfere di fotoni, che si trovano tra una interna e una esterna. Nella soluzione non-rotante di Schwarzschild, con a=0, le sfere di fotoni interne ed esterne degenerano, in modo che tutte le sfere fotoniche si trovano ad avere lo stesso raggio. Più grande è la rotazione del buco nero, più distante l'una dall'altra si muovono le sfere fotoniche interne ed esterne. Un raggio di luce che viaggia in una direzione opposta alla rotazione del buco nero orbiterà in modo circolare il buco nella sfera fotonica esterna. Un raggio di luce che viaggia nella stessa direzione della rotazione del buco nero orbiterà circolarmente nella sfera fotonica interna. Le geodetiche orbitanti con qualche momento angolare perpendicolare all'asse di rotazione del buco nero orbiteranno su sfere fotoniche tra questi due estremi. Poiché lo spazio-tempo è in rotazione, queste orbite presentano una precessione, dato che c'è uno spostamento nella variabile${\displaystyle \varphi }$ dopo aver completato un periodo nella variabile${\displaystyle \theta }$.

La posizione dell'orizzonte degli eventi è determinata dalla radice maggiore di${\displaystyle \mathrm{\Delta }=0}$. Quando, non ci sono soluzioni (valori reali) per questa equazione, e non c'è nessun orizzonte degli eventi. Senza un orizzonte degli eventi che lo nasconda al resto dell'universo, il buco nero cessa di essere un buco nero per diventare invece unasingolarità nuda.^[6]

Sebbene la soluzione di Kerr sembra essere singolare alle radici di Δ = 0, queste sono a dire il verosingolarità di coordinate, e, con una scelta appropriata di nuove coordinate, la soluzione di Kerr può essere agevolmente estesa attraverso i valori di${\displaystyle r}$ corrispondenti a queste radici. La più grande di queste radici determina la posizione dell'orizzonte degli eventi, e la più piccola determina la posizione di un orizzonte di Cauchy. Una curva (diretta al futuro, di tipo tempo) può iniziare all'esterno e passare attraverso l'orizzonte degli eventi. Dopo aver attraversato l'orizzonte degli eventi, la coordinata${\displaystyle r}$ adesso si comporta come una coordinata temporale, quindi deve diminuire fino a quando la curva passa per l'orizzonte di Cauchy.

La regione al di là dell'orizzonte di Cauchy ha diverse caratteristiche sorprendenti. La coordinata${\displaystyle r}$ si comporta nuovamente come una coordinata spaziale e può variare liberamente. La regione interna ha una simmetria di riflessione, in modo che una curva (diretta al futuro di tipo tempo) possa continuare lungo un percorso simmetrico, il quale continua attraverso un secondo orizzonte di Cauchy, attraverso un secondo orizzonte degli eventi, e esce in una nuova regione esterna che è isometrica alla regione esterna originaria della soluzione di Kerr. La curva può quindi fuggire all'infinito nella nuova regione o entrare nell'orizzonte degli eventi del futuro della nuova regione esterna e ripetere il processo. Questa seconda esterna è a volte considerata come un altro universo. D'altra parte, nella soluzione di Kerr, la singolarità per${\displaystyle r=0}$ è un anello, e la curva potrebbe passare attraverso il centro di questo anello. La regione che sta oltre permette curve chiuse di tipo tempo. Dal momento che la traiettoria di osservatori e particelle nella relatività generale è descritta da curve di tipo tempo, è possibile per gli osservatori in questa regione ritornare al loro passato.

Mentre si prevede che la regione esterna della soluzione di Kerr sia stabile, e che tutti i buchi neri rotanti infine affronteranno una metrica di Kerr, la regione interna della soluzione sembra essere instabile, molto simile a una matita in equilibrio sulla sua punta (Penrose 1968).

Il vuoto di Kerr è un esempio particolare di unasoluzione di vuotoassialmente simmetricastazionaria per l'equazione di campo di Einstein. La famiglia di tutte le soluzioni di vuoto assialmente simmetriche stazionarie per l'equazione di campo di Einstein sono ivuoti di Ernst.

La soluzione di Kerr è anche correlata a varie soluzioni di non-vuoto che modellano buchi neri. Per esempio, l'elettrovuoto di Kerr-Newman modella un buco nero (rotante) dotato di una carica elettrica, mentre lapolvere nulla di Kerr-Vaidya modella un buco (rotante) con radiazione elettromagnetica in caduta.

Il caso speciale${\displaystyle \alpha =0}$ della metrica di Kerr produce lametrica di Schwarzschild, che modella un buco neronon-rotante,statico esfericamente simmetrico, nellecoordinate di Schwarzschild. (In questo caso, ogni momento di Geroch ma la massa tende a zero.)

L'interno del vuoto di Kerr, o meglio una sua porzione, èlocalmente isometrico per ilvuoto CPW di Chandrasekhar/Ferrari, un esempio di modello dionda d'urto piana. Ciò è particolarmente interessante, perché lastruttura globale di questa soluzione CPW è abbastanza diversa da quella del vuoto di Kerr, e in linea di principio, uno sperimentatore potrebbe sperare di studiare la geometria (la porzione esterna dell') dell'interno di Kerr organizzando la collisione di due idoneeonde gravitazionali piane.

Ogni vuoto di Ernstasintoticamente piatto può essere caratterizzato dando la sequenza infinita dimomenti multipolari relativistici, dei quali i primi due possono essere interpretati come massa emomento angolare della sorgente di campo. Ci sono formulazioni alternative di momenti multipolari relativistici dovuti ad Hansen, Thorne e Geroch, che risultano essere concordi tra loro. I momenti multipolari relativistici del vuoto Kerr sono stati calcolati da Hansen; essi risultano essere

${\displaystyle M_n=M(i\alpha {)}^n}$

Di conseguenza, il caso speciale delvuoto di Schwarzschild (α=0) dà la "sorgente puntiforme monopolare" della relatività generale.

Attenzione: Non confondere questi momenti multipolari relativistici con ilmomento multipolare di Weyl, derivanti dal trattamento di una certa funzione metrica (formalmente corrispondente al potenziale gravitazionale di Newton), che appare nel grafico di Weyl-Papapetrou per la famiglia di Ernst di tutte le soluzioni di vuoti assial-simmetrici stazionari utilizzando imomenti multipolari scalari euclidei standard. In un certo senso, i momenti di Weyl solo (indirettamente) caratterizzano la "distribuzione di massa" di una sorgente isolata, e risultano dipendenti solo dai momenti relativistici diordine pari. Nel caso di soluzioni simmetriche in tutto il piano equatoriale, i momenti di Weyl diordine dispari tendono a zero. Per le soluzioni del vuoto di Kerr, i primi momenti di Weyl sono dati da

${\displaystyle a_0=M,a_1=0,a_2=M\left(\frac{M^2}{3}-{\alpha }^2\right)}$

In particolare, vediamo che il vuoto di Schwarzschild ha un momento di Weyl di secondo ordine diverso da zero, corrispondente al fatto che il "monopolo di Weyl" è la soluzione delvuoto di Chazy-Curzon, non la soluzione del vuoto di Schwarzschild, che nasce dal potenziale newtoniano di un certorod sottile di densità uniforme di lunghezza finita.

Nella relatività generale del campo debole, è conveniente trattare le fonti isolate usando un altro tipo di multipolo, il quale generalizza i momenti di Weyl per imomenti multipolari di massa e imomenti multipolari del momento, che caratterizzano rispettivamente la distribuzione di massa e di quantità di moto della sorgente. Queste sono quantità multi-indicizzate le cui parti idoneamente simmetrizzate (anti-simmetrizzate) possono essere correlate alle parti reali e immaginarie dei momenti relativistici per la teoria completa non-lineare in una maniera piuttosto complicata.

Perez e Moreschi hanno dato un nozione alternativa di "soluzioni di monopolo" ampliando la tetrade standard NP dei vuoti di Ernst in potenze dir (la coordinata radiale nel grafico di Weyl-Papapetrou). Secondo questa formulazione:

• La sorgente monopolare di massa isolata con momento angolarezero è la famiglia divuoto di Schwarzschild (un parametro),
• La sorgente monopolare di massa isolata con momento angolareradiale è la famiglia delvuoto di Taub-NUT (due parametri; non abbastanza asintoticamente piani),
• La sorgente monopolare di massa isolata con momento angolareassiale è la famiglia delvuoto di Kerr (due parametri).

In questo senso, nella relatività generale, i vuoti di Kerr sono le soluzioni più semplici di vuoto piane asintoticamente assial-simmetriche stazionarie.

Il vuoto di Kerr viene spesso usato come modello di un buco nero, ma se prendiamo la soluzione per valida soltanto all'esterno di qualche regione compatta (soggetta a certe restrizioni), in linea di massima dovremmo essere in grado di utilizzarla come unasoluzione esterna per modellare il campo gravitazionale intorno a un oggetto massivo rotante oltre a un buco nero, come ad es. unastella di neutroni --- o laTerra. Questo funziona molto bene per il caso non-rotante, dove saremo capaci di confrontare l'esterno del vuoto di Schwarzschild a un interno difluido di Schwarzschild, e in effetti a soluzioni più generali difluido statico sfericamente simmetrico perfetto. Tuttavia, il problema di trovare un interno di fluido perfetto rotante che possa essere equiparato all'esterno di Kerr, o comunque a ogni soluzione esterna di vuoto asintoticamente piano, ha incontrato molta difficoltà. In particolare è ora noto che ilfluido di Wahlquist, pensato come candidato per essereaccoppiato a un esterno di Kerr, non ammette alcun tipo dicorrispondenza. Attualmente sembra siano conosciute solo soluzioni approssimative che modellano lentamente le sfere rotanti di fluido (l'analogo relativistico delle palle sferoidali oblate con massa e momento angolare diversi da zero, ma momenti multipolari superiori tendenti a zero). Tuttavia, l'esterno deldisco di Neugebauer/Meinel, unasoluzione di polvere esatta che modella un disco sottile rotante, si avvicina in un caso limite al vuoto di Kerr cona=M.

Le equazioni della traiettoria e la dipendenza dal tempo per una particella nel campo di Kerr sono come segue.

Nell'equazione di Hamilton-Jacobi scriviamo l'azione S nella forma:

${\displaystyle S=-E_{0}t+L\varphi +S_r(r)+S_{\theta }(\theta )}$

dove${\displaystyle E_0}$, m, e L sono consecutivamente l'energiaconservata, lamassa a riposo e la componente delmomento angolare (lungo l'asse di simmetria del campo) della particella, ed effettuano la separazione di variabili nell'equazione di Hamilton Jacobi come segue:

${\displaystyle {\left(\frac{d{S}_{\theta }}{d\theta }\right)}^2+{\left(a{E}_0\sin \theta -\frac{L}{\sin \theta }\right)}^2+a^2{m}^2{\cos }^2\theta =K}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{\left(\frac{d{S}_r}{dr}\right)}^2-\frac{1}{\mathrm{\Delta }}{\left[\left(r^2+a^2\right)E_0-aL\right]}^2+m^2{r}^2=-K}$

dove K è una nuova costante arbitraria. L'equazione dellatraiettoria e la dipendenza dal tempo delle coordinate lungo la traiettoria (equazione dimoto) possono essere ricavate dunque facilmente e direttamente da queste equazioni:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }{E}_0}=const}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }L}=const}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }K}=const}$

• (EN) Stephani, Hans, Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard,Exact Solutions of Einstein's Field Equations, Cambridge, Cambridge University Press, 2003,ISBN 0-521-46136-7.
• (EN)Reinhard Meinel, Ansorg, Marcus; Kleinwachter, Andreas; Neugebauer, Gernot; Petroff, David,Relativistic Figures of Equilibrium, Cambridge, Cambridge University Press, 2008,ISBN 978-0-521-86383-4.
• (EN) O'Neill, Barrett,The Geometry of Kerr Black Holes, Wellesley, MA, A. K. Peters, 1995,ISBN 1-56881-019-9.
• (EN) D'Inverno, Ray,Introducing Einstein's Relativity, Oxford, Clarendon Press, 1992,ISBN 0-19-859686-3.Vedi capitolo per una introduzione leggibile a livello avanzato universitario.
• (EN)Subrahmanyan Chandrasekhar,The Mathematical Theory of Black Holes, Oxford, Clarendon Press, 1992,ISBN 0-19-850370-9.Vedi capitoli 6--10 per uno studio molto approfondito a livello universitario.
• (EN) Griffiths, J. B.,Colliding Plane Waves in General Relativity, Oxford, Oxford University Press, 1991,ISBN 0-19-853209-1.Vedi capitolo 13 per il modello CPW di Chandrasekhar/Ferrari.
• (EN) Adler, Ronald, Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem,Introduction to General Relativity, 2ª ed., New York, McGraw-Hill, 1975,ISBN 0-07-000423-4.Vedi capitolo 7.
• (EN) Penrose R.,Battelle Rencontres, a cura di C. de Witt e J. Wheeler, New York, W. A. Benjamin, 1968, p. 222.
• (EN)Robert Wald,General Relativity, Chicago, The University of Chicago Press, 1984, pp. 312–324,ISBN 0-226-87032-4.

• Metrica di Schwarzschild
• Metrica di Kerr-Newman
• Metrica di Reissner-Nordström
• Spin-flip
• Spazio-tempo di Kerr-Schild

• (EN) Matt Visser:The Kerr spacetime-A brief introduction su arxiv.org
• (EN)R.P. Kerr,Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, inPhysical Review Letters, vol. 11, 1963, pp. 237-238,DOI:10.1103/PhysRevLett.11.237.URL consultato il 3 maggio 2019(archiviato dall'url originale il 19 luglio 2008).
• (EN) Perez, Alejandro;, Moreschi, Osvaldo M.,Characterizing exact solutions from asymptotic physical concepts^{[collegamento interrotto]}, suarxiv.org, 27 dicembre 2000.URL consultato il 13 maggio 2010. Caratterizzazione di tre famiglie standard di soluzioni di vuoto, come indicato in precedenza.
• (EN) Sotiriou, Thomas P., Apostolatos, Theocharis A.,Corrections and Comments on the Multipole Moments of Axisymmetric Electrovacuum Spacetimes, inClass. Quant. Grav., vol. 21, 2004, pp. 5727-5733,DOI:10.1088/0264-9381/21/24/003.URL consultato il 13 maggio 2010.arXiv eprint Fornisce i momenti multipolari relativistici per il vuoto di Ernst (più i momenti multipolari relativistici elettromagnetici e gravitazionali per la generalizzazione con carica).
• (EN)B. Carter,Axisymmetric Black Hole Has Only Two Degrees of Freedom, inPhysical Review Letters, vol. 26, 1971, pp. 331-333,DOI:10.1103/PhysRevLett.26.331.
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• (EN) Krasiński, Andrzej, Verdaguer, Enric; Kerr, Roy Patrick.,Editorial note to: R. P. Kerr and A. Schild, A new class of vacuum solutions of the Einstein field equations, inGeneral Relativity and Gravitation, vol. 41, n. 10, 2009, pp. 2469-2484,DOI:10.1007/s10714-009-0856-0. “… Questa nota vuole essere una guida per quei lettori che desiderano verificare tutti i dettagli [della derivazione della soluzione di Kerr]…”

V · D · M Relatività generale
Equazioni di campo di Einstein ·Formulazione matematica ·Risorse		${\displaystyle G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }}$
Concetti fondamentali	Relatività speciale ·Principio di equivalenza ·Linea di universo ·Geometria di Riemann
Fenomeni	Problema di Keplero ·Lenti ·Onde ·Frame-dragging ·Effetto geodetico ·Orizzonte degli eventi ·Singolarità ·Buco nero
Equazioni	Gravità linearizzata ·Formalismo post-newtoniano ·Equazioni di campo di Einstein ·Equazioni di Friedmann ·Formalismo ADM ·Formalismo BSSN
Teorie avanzate	Kaluza–Klein ·Gravità quantistica
Soluzioni	Schwarzschild ·Reissner-Nordström ·Gödel ·Kerr ·Kerr-Newman ·Kasner ·Taub-NUT ·Milne ·Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ·Onde pp
Scienziati	Einstein ·Minkowski ·Eddington ·Lemaître ·Schwarzschild ·Robertson ·Kerr ·Friedman ·Chandrasekhar ·Hawking

V · D · M Buchi neri
Formazione	Evoluzione stellare ·Collasso ·Stella degenere ·Limite di Tolman-Oppenheimer-Volkoff ·Buco nero primordiale ·Lampo gamma
Proprietà	Termodinamica ·Orizzonte degli eventi ·Singolarità (ad anello) ·Sfera di fotoni ·Ergosfera ·Radiazione di Hawking ·Disco di accrescimento
Dimensione	Micro ·Stellare ·Massa intermedia ·Supermassiccio (Nucleo galattico attivo ·Quasar ·Blazar)
Tipi	di Schwarzschild ·Rotante ·Carico ·Primordiale ·Supermassiccio
Metrica	Schwarzschild ·Kerr ·Reissner-Nordström ·Kerr-Newman
Problemi e modelli alternativi	Teorema no-hair ·Paradosso dell'informazione ·Protezione cronologica ·Ipotesi di censura cosmica ·Buco bianco ·Selezione cosmologica ·Buco nero privo di singolarità ·Stella nera ·Stella di energia oscura
Analogie	buco nero ottico ·buco nero acustico

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