Inmatematica, e più precisamente inalgebra lineare, unabase ortonormale di unospazio vettoriale munito diprodotto scalare definito positivo è unabase composta da vettori dinorma unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno.

Unabase ortogonale è una base di vettori ortogonali (ossia il cui prodotto scalare è nullo) rispetto al prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale, non necessariamente definito positivo. Si tratta di una condizione meno restrittiva rispetto a quella di ortonormalizzazione, e solitamente si costruiscono basi ortonormali a partire da basi ortogonali.

I concetti di base ortonormale e ortogonale generalizzano la nozione disistema di riferimento nelpiano cartesiano, e rendono possibile definire degli assi perpendicolari, e quindi un sistema di riferimento che assegna ad ogni punto delle coordinate su uno spazio vettoriale con dimensione arbitraria.

Sia${\displaystyle V}$ unospazio vettoriale didimensione finita sul campo${\displaystyle K}$, nel quale sia definito unprodotto scalare. Una base ortogonale per${\displaystyle V}$ è unabase composta da vettori${\displaystyle {\mathbf{v}}_1\cdots {\mathbf{v}}_n}$ a due a due ortogonali, cioè tali che:^[1]

${\displaystyle ⟨{\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j⟩=0,i\ne j.}$

Si ponga il prodotto scalare definito positivo. Una base ortonormale è una base ortogonale in cui ogni vettore hanorma uno, cioè tale che:^[2]

${\displaystyle ⟨{\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j⟩={\delta }_{ij},}$

dove${\displaystyle {\delta }_{ij}}$ indica ildelta di Kronecker.

Questa nozione si generalizza ad unospazio di Hilbert${\displaystyle V}$ (che può esserereale ocomplesso, e con dimensione finita o infinita) nel modo seguente: una base ortonormale è un insieme di vettoriindipendenti, ortogonali e di norma 1, chegenerano un sottospaziodenso in${\displaystyle V}$. Una tale base è spesso dettabase hilbertiana, ed ènumerabile se e solo se lo spazio èseparabile.

Se${\displaystyle B}$ è una base ortogonale di${\displaystyle V}$, ogni elemento${\displaystyle \mathbf{x}}$ di${\displaystyle V}$ può essere scritto in maniera unica come:

${\displaystyle \mathbf{x}=\sum _{{\mathbf{v}}_i\in B}\frac{⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_i⟩}{\Vert {\mathbf{v}}_i{\Vert }^2}{\mathbf{v}}_i}$

ed il numero:

${\displaystyle c=\frac{⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_i⟩}{\Vert {\mathbf{v}}_i{\Vert }^2}}$

è dettocoefficiente di Fourier di${\displaystyle \mathbf{x}}$ rispetto al vettore di base${\displaystyle {\mathbf{v}}_i}$.^[3]

Se${\displaystyle B}$ è una base ortonormale si ha:

${\displaystyle \mathbf{x}=\sum _{{\mathbf{v}}_i\in B}⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_i⟩{\mathbf{v}}_i.}$

Lanorma di${\displaystyle \mathbf{x}}$ è quindi data da:^[4]

${\displaystyle \Vert \mathbf{x}{\Vert }^2=\sum _{{\mathbf{v}}_i\in B}|⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_i⟩{|}^2.}$

Se${\displaystyle B}$ è una base ortonormale di${\displaystyle V}$, allora${\displaystyle V}$ è isomorfo a${\displaystyle {\ell }^2(B)}$ nel senso che esiste una mappa lineare e biunivoca${\displaystyle \mathrm{\Phi }:V\to {\ell }^2(B)}$ tale che:

${\displaystyle ⟨\mathrm{\Phi }(\mathbf{x}),\mathrm{\Phi }(\mathbf{y})⟩=⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩,}$

per ogni coppia di vettori${\displaystyle \mathbf{x}}$ e${\displaystyle \mathbf{y}}$ di${\displaystyle V}$.

Se la base di vettori ortonormali${\displaystyle {\mathbf{v}}_1\cdots {\mathbf{v}}_n}$ considerata non è contenuta in alcun altro sistema ortonormale, allora si ha un sistema ortonormale completo.

Ogni spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, possiede basi ortogonali grazie alteorema di Sylvester. In particolare, ognispazio euclideo possiede basi ortonormali che si possono ottenere grazie all'algoritmo diortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Da ogni base ortogonale si può infatti ottenere una base ortonormale normalizzando (dividendo) i componenti della base per la loronorma. Ad esempio, se la base${\displaystyle \{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}}$ è ortogonale la base${\displaystyle \{{\mathbf{v}}_1/|{\mathbf{v}}_1|,{\mathbf{v}}_2/|{\mathbf{v}}_2|\}}$ è ortonormale.

Unamatrice di cambiamento di base fra basi ortonormali è unamatrice ortogonale.

Se${\displaystyle B}$ è una base ortonormale di uno spazio di Hilbert${\displaystyle V}$, ogni elemento${\displaystyle \mathbf{v}}$ di${\displaystyle V}$ si scrive in modo unico come:

${\displaystyle \mathbf{v}=\sum _{\mathbf{b}\in B}⟨\mathbf{v},\mathbf{b}⟩\mathbf{b}}$

e lanorma di${\displaystyle v}$ è data dall'identità di Parseval:

${\displaystyle \Vert \mathbf{v}{\Vert }^2=\sum _{\mathbf{b}\in B}|⟨\mathbf{v},\mathbf{b}⟩{|}^2.}$

Inoltre il prodotto scalare fra due vettori è dato da:

${\displaystyle ⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=\sum _{\mathbf{b}\in B}⟨\mathbf{x},\mathbf{b}⟩⟨\mathbf{b},\mathbf{y}⟩.}$

Queste espressioni hanno senso anche se${\displaystyle B}$ ènon numerabile: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Leserie di Fourier sono un esempio.

• L'insieme${\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}}$ costituisce una base ortonormale (dunque anche ortogonale) di${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$ rispetto alprodotto scalare standard; in generale, lebasi canoniche di${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ sono basi ortonormali.
• L'insieme${\displaystyle \{f_n:n\in \mathbb{Z}\}}$ con${\displaystyle f_n(x)=e^{2\pi inx}}$ costituisce una base ortonormale dello spazio complesso${\displaystyle L^2([0,1])}$. Ciò è di fondamentale importanza nello studio delleSerie di Fourier.
• L'insieme${\displaystyle \{e_b:b\in B\}}$ con${\displaystyle e_b(c)=1}$ se${\displaystyle b=c}$ e${\displaystyle e_b(c)=0}$ altrimenti costituisce una base ortonormale di${\displaystyle l^2(B)}$.

• Serge Lang,Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992,ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) David C. Lay,Linear Algebra and Its Applications, 3ª ed., Addison–Wesley, 2006,ISBN 0-321-28713-4.
• (EN) Gilbert Strang,Linear Algebra and Its Applications, 4ª ed., Brooks Cole, 2006,ISBN 0-03-010567-6.
• (EN) Sheldon Axler,Linear Algebra Done Right, 2ª ed., Springer, 2002,ISBN 0-387-98258-2.

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