Inmatematica, unabase${\displaystyle \mathcal{B}}$^[1]per unospazio topologico${\displaystyle X}$ con topologia${\displaystyle \mathcal{T}}$ è una collezione diaperti in${\displaystyle \mathcal{T}}$ tali che ogni insieme aperto di${\displaystyle \mathcal{T}}$ è unione (finita o infinita) di elementi di${\displaystyle \mathcal{B}}$. Diciamo che la basegenera la topologia${\displaystyle \mathcal{T}}$, i cui aperti si ottengono mediante unione di elementi della base. Evidentemente due topologie con la stessa base sono identiche.

L'utilità delle basi risiede proprio nel fatto che esse sono in grado di caratterizzaretutte le proprietà topologiche dello spazio, descrivendone in maniera completa la topologia.

Una base deve necessariamente godere delle seguenti due proprietà:

• Gli elementi della basericoprono${\displaystyle X}$, cioè la loro unione è${\displaystyle X}$.

Essendo${\displaystyle X}$ aperto, deve essere ottenibile mediante unione di elementi della base. A maggior ragione coincide con l'unione di tutti gli elementi della base.

• Dati due elementi della base, la loro intersezione è ottenibile come unione di elementi della base.

Infatti l'intersezione di due elementi della base deve essere aperta e quindi unione di elementi della base.

Quest'ultima proprietà può essere formulata in maniera equivalente:

• Siano${\displaystyle B_1}$ e${\displaystyle B_2}$ elementi della base e sia${\displaystyle I_B}$ la loro intersezione. Per ogni${\displaystyle x}$ in${\displaystyle I_B}$ c'è un altro elemento della base${\displaystyle B_3}$ contenente${\displaystyle x}$ e contenuto in${\displaystyle I_B}$.

Se la collezione di aperti gode solo della prima proprietà, è unaprebase.Le due condizioni caratterizzano le basi, nel senso che se${\displaystyle X}$ è un insieme privo di struttura topologica e${\displaystyle \mathcal{B}}$ una famiglia di suoi sottoinsiemi che soddisfi le due proprietà allora${\displaystyle \mathcal{B}}$ è base di una topologia per${\displaystyle X}$ e questa, per quanto già detto, è l'unica topologia su${\displaystyle X}$ ad avere${\displaystyle \mathcal{B}}$ come base.

Usando le basi si possono definire agevolmente molte topologie.

• Nell'insieme deinumeri reali${\displaystyle \mathbb{R}}$ , gli intervalli aperti formano una base per la topologia euclidea usuale
• Dato unospazio metrico${\displaystyle (X,d)}$, la sua topologia è definita usando come base tutte lepalle aperte centrate nei vari punti e aventi raggio variabile
• La stessa topologia per lo spazio metrico${\displaystyle (X,d)}$ si ottiene fissando un${\displaystyle k>0}$ e prendendo solo le palle aperte centrate nei vari punti e aventi raggio minore di${\displaystyle k}$
• La stessa topologia per lo spazio metrico${\displaystyle (X,d)}$ si ottiene prendendo solo le palle aperte centrate nei punti di unsottoinsieme denso di${\displaystyle X}$ aventi raggiorazionale minore di${\displaystyle k}$
• Per quanto appena detto, se uno spazio metrico ha un sottoinsieme densonumerabile, allora ha una base numerabile.^[2] Ad esempio, laretta, ilpiano e più in generale lospazio euclideon-dimensionale hanno una base numerabile, benché contengano una quantità di puntipiù che numerabile
• Dato un insieme${\displaystyle X}$, se prendiamo come base tutti gli insiemi che constano di un punto solo e${\displaystyle \varnothing }$ otteniamo latopologia discreta
• Dato un insieme${\displaystyle X}$, se prendiamo come base${\displaystyle X}$ e${\displaystyle \varnothing }$ otteniamo latopologia banale
• Possiamo definire sulla retta reale latopologia della semicontinuità inferiore, che èmeno fine di quella euclidea usuale, prendendo come base l'insieme di tutte le semirette destre date da${\displaystyle x>d}$, doved è un numero reale variabile. Lo spazio che ne risulta non è diHausdorff

• Marco Manetti,Topologia, Springer, 2008,ISBN 978-88-470-0756-7.
• Edoardo Sernesi,Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994,ISBN 978-88-339-5548-3.

• Prebase
• Spazio topologico

• topologia, base di una, inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein,Topological Basis, suMathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Topologia
Concetti diTopologia generale	Spazio topologico ·Base ·Prebase ·Ricoprimento ·Assiomi di chiusura di Kuratowski ·Invariante topologico ·Relazione di finezza ·Partizione dell'unità ·Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo ·Aperto ·Intorno ·Chiuso ·Insieme localmente chiuso ·Insieme chiuso-aperto ·Parte interna ·Chiusura ·Frontiera ·Insieme derivato ·Insieme limite ·Insieme perfetto ·Insieme denso ·Insieme mai denso Punti Punto isolato ·Punto di accumulazione ·Punto di aderenza Funzioni Funzione continua ·Omeomorfismo ·Funzione aperta ·Funzione chiusa ·Funzione propria ·Contrazione ·Retrazione ·Germe di funzione ·Funzione a supporto compatto Successioni Limite ·Limite di una successione ·Successione ·Rete ·Convergenza ·Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass ·Heine-Borel ·Tichonov ·Lemma del tubo ·Urysohn ·Tietze ·Baire ·Brouwer ·punto fisso ·Teorema di Borsuk ·Teorema di Borsuk-Ulam ·Teorema della curva di Jordan ·Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo ·Teoria quantistica dei campi topologica ·K-teoria ritorta ·Topologia di rete ·Controllo della topologia ·Topologia molecolare ·Transitività topologica
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Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità ·Spazio primo-numerabile ·Spazio separabile ·Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione ·Spazio T0 ·Spazio T1 ·Spazio di Hausdorff ·Spazio regolare ·Spazio di Tichonov ·Spazio normale Compattezza Spazio compatto ·Spazio paracompatto ·Spazio localmente compatto ·Spazio di Lindelöf ·Sottospazio relativamente compatto ·Immersione compatta Connessione Spazio connesso ·Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico ·Spazio metrico completo ·Spazio metrizzabile ·Spazio ultrametrico ·Spazio pseudometrico ·Spazio polacco ·Spazio normato ·Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire ·Spazio topologico noetheriano ·Spazio omogeneo ·Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile ·parallelizzabile ·3-varietà ·3-varietà irriducibile) ·Atlante ·Diffeomorfismo (locale ·di Anosov) ·Immersione ·Curva ·Superficie ·Campo vettoriale ·Fibrato (principale ·vettoriale ·Varietà fibrata) ·Fibrato tangente ·Spazio tangente ·Fibrazione di Hopf ·Varietà con bordo ·Teorema dell'intorno tubolare ·Somma connessa ·Teorema di Kneser-Milnor ·Congettura di geometrizzazione di Thurston ·Cobordismo ·Dimensione topologica ·Topologia in dimensione bassa ·Chirurgia di Dehn ·Trasversalità ·Eversione della sfera ·Teoria delle foliazioni ·Decomposizione JSJ
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