Dall'alto verso il basso: da l=0 a 4l,m e yl,-m sono equivalenti tra di loro ma ruotate di 90 gradi attorno all'asse z. Inanalisi matematica , learmoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre , introdotte per la prima volta daLaplace nel1782 .[ 1] orbitali atomici , nella rappresentazione delcampo gravitazionale deipianeti e deicampi magnetici dellepulsar , e nella caratterizzazione dellaradiazione di fondo . Nellagrafica 3D , giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi digeodesia utilizzati nell'EGM96 , il geoide standard di riferimento delWGS84 .
Le armoniche sferiche sonofunzioni complesse continue limitate delle variabili angolariθ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } meccanica quantistica , nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delleconfigurazioni elettroniche di unatomo ), e nell'approssimazione delcampo gravitazionale terrestre.
Le soluzioni dell'equazione di Legendre sono di tipo polinomiale (avendo postol {\displaystyle l} polinomi di Legendre che sono ottenibili perm = 0 {\displaystyle m=0} polinomi di Legendre associati e hanno la forma:[ 2]
P l m ( x ) = ( − 1 ) m ( 1 − x 2 ) m 2 d m P l ( x ) d x m , {\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}P_{l}(x)}{dx^{m}}},} doveP l ( x ) {\displaystyle P_{l}(x)} polinomi di Legendre . In particolare si definisconoarmoniche sferiche ofunzioni sferiche le funzioni
Y l m ( θ , φ ) = ( − 1 ) m + | m | 2 { 2 l + 1 4 π ( l − | m | ) ! ( l + | m | ) ! } 1 2 P l | m | ( cos θ ) e i m φ , {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )={(-1)^{\frac {m+|m|}{2}}}\left\{{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\right\}^{\frac {1}{2}}P_{l}^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },} con la condizione| m | ≤ l . {\displaystyle |m|\leq l.}
Le armoniche sferiche, scritte in coordinate cartesiane, assumono la forma di polinomi complessi omogenei di gradol . {\displaystyle l.}
Sian ^ {\displaystyle {\hat {n}}} versore , quindi un oggetto geometrico individuato dalle coordinate( θ , φ ) . {\displaystyle (\theta ,\varphi ).}
[ Y l m ( n ^ ) ] ⋆ = ( − 1 ) m Y l − m ( n ^ ) . {\displaystyle \left[Y_{l}^{m}({\hat {n}})\right]^{\star }=(-1)^{m}Y_{l}^{-m}({\hat {n}}).} P Y l m ( θ , φ ) = Y l m ( π − θ , φ + π ) = ( − 1 ) l Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle PY_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )} P x y Y l m ( θ , φ ) = Y l m ( θ , φ + π ) = ( − 1 ) m Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle P_{xy}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )} P z Y l m ( θ , φ ) = Y l m ( π − θ , φ ) = ( − 1 ) l + m Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle P_{z}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi )=(-1)^{l+m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )} poichéP z = P P x y {\displaystyle P_{z}=P\,P_{xy}}
Le funzioni diBessel sono legate allefunzioni di Bessel cilindricheJ α {\displaystyle J_{\alpha }} [ 3]
j α ( x ) = π 2 x J α + 1 / 2 ( x ) . {\displaystyle j_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{\alpha +1/2}(x).} Le funzioni diNeumann sono legate allefunzioni di Neumann cilindrichey α {\displaystyle y_{\alpha }} [ 3]
y α ( x ) = π 2 x Y α + 1 / 2 ( x ) = ( − 1 ) α + 1 π 2 x J − α − 1 / 2 ( x ) . {\displaystyle y_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{\alpha +1/2}(x)=(-1)^{\alpha +1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-\alpha -1/2}(x).} Le funzioni diHankel sono definite in modo analogo allefunzioni di Hankel cilindricheH α {\displaystyle H_{\alpha }} [ 4]
h α ( 1 ) ( x ) = j α ( x ) + i y α ( x ) {\displaystyle h_{\alpha }^{(1)}(x)=j_{\alpha }(x)+iy_{\alpha }(x)} h α ( 2 ) ( x ) = j α ( x ) − i y α ( x ) {\displaystyle h_{\alpha }^{(2)}(x)=j_{\alpha }(x)-iy_{\alpha }(x)} Le prime armoniche sferiche sono:[ 5]
Y 0 0 ( x ) = 1 2 1 π {\displaystyle Y_{0}^{0}(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {1 \over \pi }}} Y 1 − 1 ( x ) = 1 2 3 2 π e − i φ sin θ = 1 2 3 2 π ( x − i y ) r Y 1 0 ( x ) = 1 2 3 π cos θ = 1 2 3 π z r Y 1 1 ( x ) = − 1 2 3 2 π e i φ sin θ = − 1 2 3 2 π ( x + i y ) r {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}e^{-i\varphi }\sin \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}{(x-iy) \over r}\\Y_{1}^{0}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over \pi }}\cos \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over \pi }}{z \over r}\\Y_{1}^{1}(x)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}e^{i\varphi }\sin \theta &&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}{(x+iy) \over r}\end{aligned}}} Y 2 − 2 ( x ) = 1 4 15 2 π e − 2 i φ sin 2 θ = 1 4 15 2 π ( x 2 − 2 i x y − y 2 ) r 2 Y 2 − 1 ( x ) = 1 2 15 2 π e − i φ sin θ cos θ = 1 2 15 2 π ( x z − i y z ) r 2 Y 2 0 ( x ) = 1 4 5 π ( 3 cos 2 θ − 1 ) = 1 4 5 π ( − x 2 − y 2 + 2 z 2 ) r 2 Y 2 1 ( x ) = − 1 2 15 2 π e i φ sin θ cos θ = − 1 2 15 2 π ( x z + i y z ) r 2 Y 2 2 ( x ) = 1 4 15 2 π e 2 i φ sin 2 θ = 1 4 15 2 π ( x 2 + 2 i x y − y 2 ) r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{-2i\varphi }\sin ^{2}\theta &&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(x^{2}-2ixy-y^{2}) \over r^{2}}\\Y_{2}^{-1}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{-i\varphi }\sin \theta \cos \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(xz-iyz) \over r^{2}}\\Y_{2}^{0}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}(3\cos ^{2}\theta -1)&&={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}{(-x^{2}-y^{2}+2z^{2}) \over r^{2}}\\Y_{2}^{1}(x)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{i\varphi }\sin \theta \cos \theta &&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(xz+iyz) \over r^{2}}\\Y_{2}^{2}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{2i\varphi }\sin ^{2}\theta &&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(x^{2}+2ixy-y^{2}) \over r^{2}}\end{aligned}}} Rappresentazione schematica diY l m {\displaystyle Y_{l}^{m}} ℜ [ Y ℓ m ] {\displaystyle \Re [Y_{\ell }^{m}]} Le armoniche sfericheY l m {\displaystyle Y_{l}^{m}} linee nodali , cioè l'insieme di punti sulla sfera doveℜ [ Y ℓ m ] = 0 {\displaystyle \Re [Y_{\ell }^{m}]=0} ℑ [ Y ℓ m ] = 0 {\displaystyle \Im [Y_{\ell }^{m}]=0} Y l m {\displaystyle Y_{l}^{m}} m | cerchi lungo le longitudini e ℓ−|m | cerchi lungo le latitudini. Si può determinare il numero di linee nodali di ciascun tipo contando il numero di zeri diY l m {\displaystyle Y_{l}^{m}} Y l m {\displaystyle Y_{l}^{m}} linea di latitudine nodale. D'altra parte, considerandoY l m {\displaystyle Y_{l}^{m}} m | zeri, ciascuno dei quali dà origine a unalinea di longitudine nodale.[ 6]
Le armoniche sferiche sono importanti inmeccanica quantistica perché sonoautofunzioni simultanee degli operatorimomento angolare totale L 2 {\displaystyle L^{2}} z {\displaystyle z} operatore parità :
Y l , m ( θ , φ ) ≡ ⟨ θ , φ | l , m ⟩ . {\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )\equiv \langle \theta ,\varphi |l,m\rangle .} E si ha:
L 2 Y l m = l ( l + 1 ) ℏ 2 Y l m {\displaystyle L^{2}Y_{l}^{m}={l(l+1)}\hslash ^{2}Y_{l}^{m}} L z Y l m = m ℏ Y l m . {\displaystyle L_{z}Y_{l}^{m}=m\hslash Y_{l}^{m}.} Inoltre poiché la parte angolare dellaplaciano può essere scritta in funzione diL {\displaystyle L}
∇ Ω 2 = 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 = − 1 ℏ 2 r 2 L 2 , {\displaystyle \nabla _{\Omega }^{2}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}=-{\frac {1}{\hslash ^{2}r^{2}}}L^{2},} possiamo scrivere le soluzioni dell'equazione di Schrödinger come il prodotto di una funzione radiale per una armonica sferica. Infatti il momento angolare è il generatore delle rotazioni e in un sistema a simmetria sferica deve essere unacostante del moto :
[ H , L ] = 0. {\displaystyle [H,L]=0.} Le armoniche sferiche rappresentano l'ampiezza di probabilità che un sistema caratterizzato dainumeri quantici dell'operatore momento angolare l {\displaystyle l} m {\displaystyle m} θ , φ {\displaystyle \theta ,\varphi } coordinate sferiche .
^ Un resoconto storico può essere trovato in T.M. MacRobert,Capitolo IV Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications , Pergamon Press, 1967. ^ (EN Introduction to the Physics of Matter , Springer, 2014,ISBN 978-3-319-14381-1 . p.13^ a b David J. Griffiths,Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015,ISBN 978-88-08-08747-8 . p.149^ David J. Griffiths,Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015,ISBN 978-88-08-08747-8 . p.408^ David J. Griffiths,Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015,ISBN 978-88-08-08747-8 . p.146^ (EN Quantenspiegelungen – Spherical Harmonics quantenspiegelungen.de .URL consultato il 4 giugno 2025 . (EN Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-04-86-61272-0 . (capitolo 8 ecapitolo 22 )Eduard HeineHandbuch der Kugelfunctionen John D Jackson,Elettrodinamica classica ISBN 978-88-08-09153-6 . Isaac TodhunterAn elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions [collegamento interrotto Norman MacLeod FerrersAn elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them William Ellwood ByerlyAn elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. Francis A. TarletonAn introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2) Edmund T. Whittaker and George N. WatsonModern Analysis (EN spherical harmonic Enciclopedia Britannica (EN Spherical Harmonic MathWorld (EN Armoniche sferiche Encyclopaedia of Mathematics Trattazione analitica mathworld.wolfram.com .Trattazione analitica math.ohio-state.edu .URL consultato il 28 febbraio 2006 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2006) .Video di visualizzazione delle armoniche e loro significato nell'ambito delle vibrazioni di una sfera:(EN Quantenspiegelungen – Spherical Harmonics quantenspiegelungen.de .URL consultato il 4 giugno 2025 . 
Lo stesso argomento in dettaglio:Tavola delle armoniche sferiche.
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