Con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomenifisici "lineari", cioè quelli in cui intuitivamente non entrano in giocodistorsioni, turbolenze e fenomenicaotici in generale. Anche fenomeni più complessi, non solo della fisica ma anche dellescienze naturali esociali, possono essere studiati e ricondotti con le dovute approssimazioni a un modello lineare.
Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti, chiamati "vettori", che possono essere sommati e riscalati.
L'algebra lineare ha le sue origini nello studio dei vettori negli spazicartesiani a due e a tre dimensioni. Un vettore, in questo caso, è unsegmento orientato, caratterizzato da lunghezza (o magnitudine), direzione e verso. I vettori possono essere usati per rappresentare determinate entità fisiche come leforze, e possono essere sommati fra loro e moltiplicati per unoscalare, formando quindi il primo esempio dispazio vettoriale suireali.
L'algebra lineare moderna è stata estesa per comprendere spazi di dimensione arbitraria o infinita. Uno spazio vettoriale di dimensionen è chiamaton-spazio. Molti dei risultati utili nel 2-spazio e nel 3-spazio possono essere estesi agli spazi di dimensione maggiore. Anche se molte persone non sanno visualizzare facilmente i vettori neglin-spazi, questi vettori on-uple sono utili per rappresentare dati. Poiché i vettori, comen-uple, sono listeordinate din componenti, molte persone comprendono e manipolano i dati efficientemente in questa struttura.Ad esempio, ineconomia, si può creare e usare vettori 8-dimensionali (ottuple) per rappresentare ilProdotto Interno Lordo di 8 stati.Si può decidere di visualizzare il PIL di 8 stati per un particolare anno, ad esempio (Italia,Stati Uniti,Gran Bretagna,Francia,Germania,Spagna,Giappone,Australia), usando un vettore (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) dove il PIL di ogni stato è nella sua rispettiva posizione.
Uno spazio vettoriale è definito sopra uncampo, come il campo deinumeri reali o il campo deinumeri complessi. Glioperatori lineari mappano elementi da uno spazio vettoriale su un altro (o su sé stesso), in modo che sia mantenuta la compatibilità con l'addizione e la moltiplicazione scalare definiti negli spazi vettoriali.L'insieme di tutte queste trasformazioni è anch'esso uno spazio vettoriale.Se è fissata unabase per uno spazio vettoriale, ogni trasformazione lineare può essere rappresentata da una tabella chiamatamatrice.Nell'algebra lineare si studiano quindi le proprietà delle matrici, e glialgoritmi per calcolare delle quantità importanti che le caratterizzano, quali ilrango, ildeterminante e l'insieme dei suoiautovalori.
Uno spazio vettoriale (o spazio lineare), come concetto puramente astratto sul quale si provanoteoremi, è parte dell'algebra astratta, e ben integrato in questo campo: alcuni oggetti algebrici correlati ad esempio sono l'anello dellemappe lineari da uno spazio vettoriale in sé, o ilgruppo dellemappe lineari (omatrici) invertibili.L'algebra lineare gioca anche un ruolo importante inanalisi, specialmente nella descrizione dellederivate di ordine superiore nell'analisi vettoriale e nella risoluzione delleequazioni differenziali.
Concludendo, si può dire semplicemente che i problemi lineari della matematica - quelli che esibiscono "linearità" nel loro comportamento - sono quelli più facili da risolvere, e che i problemi "non lineari" vengono spesso studiati approssimandoli con situazioni lineari. Ad esempio nell'analisi, laderivata è un primo tentativo diapprossimazione lineare di una funzione. La differenza rispetto ai problemi non lineari è molto importante in pratica: il metodo generale di trovare una formulazione lineare di un problema, in termini di algebra lineare, e risolverlo, se necessario con calcoli matriciali, è uno dei metodi più generali applicabili in matematica.
Un vettore può essere riscalato, cioè moltiplicato per un numero. Qui sono mostrati i vettori e, ottenuti moltiplicando rispettivamente per 2 e -1.
La nozione più importante in algebra lineare è quella dispazio vettoriale. Uno spazio vettoriale è un insieme di elementi, dettivettori, aventi delle proprietà che li rendono simili ai vettori applicati in un punto fissato (l'origine) del piano o dello spazio.
un vettore può essere riscalato, cioè moltiplicato per unoscalare, cioè un numero, dando così luogo ad un nuovo vettore. le proprietà della moltiplicazione per scalare sonoassociatività, esistenza di un neutro;
la somma vettoriale èdistributiva rispetto al prodotto, mentre il prodotto èdistributivo rispetto alla somma.
Il numero (dettoscalare) appartiene ad uncampo che viene fissato fin dall'inizio: questo può essere ad esempio il campo deinumeri reali o il campo deinumeri complessi.
Ilpiano cartesiano è l'esempio fondamentale di spazio vettoriale. Ogni punto del piano è in realtà identificato univocamente come una coppia di numeri reali. L'origine è il punto. Il punto può essere interpretato alternativamente come punto del piano o come vettore applicato nell'origine che parte da e arriva in.
Analogamente lo spazio cartesiano è formato da triple di punti. Più in generale, leennuple di numeri reali
formano uno spazio vettoriale che viene indicato con. Ancora più in generale, si può sostituire con un altro campo e ottenere quindi lo spazio vettoriale.
che sia compatibile con le operazioni definite su entrambi. Devono cioè valere le proprietà seguenti:
per ogni coppia di vettori in e ogni scalare. I termini "applicazione", "funzione", "trasformazione", "mappa" e "omomorfismo" sono in questo contesto tutti sinonimi. Il termine "lineare" sta a indicare la compatibilità con le operazioni. Un'applicazione lineare manda necessariamente l'origine (di) nell'origine (di):
Una trasformazione lineare può distorcere gli oggetti.
Gli spazi e possono coincidere. In questo caso l'applicazione è più propriamente unatrasformazione di, ovvero una funzione che sposta i punti di, chiamata ancheendomorfismo. Una trasformazione di deve necessariamente tenere fissa l'origine O.
Molte trasformazioni delpiano cartesiano o dello spazio che tengono fissa l'origine O sono lineari: tra queste, lerotazioni (intorno a O), leriflessioni rispetto ad una retta o un piano (passante per O), leomotetie (centrate in O) e leproiezioni (su una retta o piano passante per O).
Una trasformazione lineare può allargare un oggetto orizzontalmente e comprimerlo verticalmente.
Le applicazioni lineari compaiono in contesti molto differenti. Ad esempio, il funzionale
che associa ad una funzione il suointegrale è un'applicazione lineare
I vettori e formano labase canonica del piano cartesiano. Ogni altro vettore si scrive (in modo univoco) comecombinazione lineare di questi due vettori. Ad esempio, il vettore si scrive come.
Un punto ha dimensione zero, una retta ha dimensione uno, un piano ha dimensione due e uno spazio ha dimensione tre. L'algebra lineare permette di definire e trattare in modo rigoroso spazi di dimensione superiore alla terza. Lo spazio fondamentale di dimensione è lo spazio vettoriale delle ennuple, indicato con. Per, questo è l'usualepiano cartesiano.
Ogni spazio vettoriale ha una dimensione. Questa è definita in modo algebrico, come il numero di elementi in unabase per: una base è un insieme di vettori che funge dasistema di riferimento per. Rigorosamente, una base è una successione
divettori indipendenti chegenerano lo spazio. Uno spazio vettoriale può avere anche dimensione infinita: gli spazi vettoriali di dimensione infinita sono spesso più complicati, e molti teoremi di algebra lineare richiedono come ipotesi che abbia dimensione finita.
Le nozioni di base e dimensione si applicano a (che ha dimensione) e aisottospazi ivi contenuti. Essendo però definite in modo puramente algebrico, si applicano anche in contesti molto differenti: ad esempio, lematrici formano uno spazio vettoriale di dimensione. Ipolinomi in una variabile formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita: restringendo però il grado dei polinomi ad un certo valore massimo si ottiene uno spazio vettoriale di dimensione.
Il prodotto scalare euclideo nel piano fra due vettori e è definito come il prodotto delle lunghezze di e della proiezione di su. Esistono però molti altri modi utili di definire un prodotto scalare, in spazi di dimensione arbitraria.
Due vettori e di uno spazio vettoriale possono esseresommati: il risultato è un vettore. Inoltre un vettore e uno scalare possono esseremoltiplicati: il risultato è un vettore. Nella definizione di spazio vettoriale non è però prevista un'operazione di prodotto fra due vettori.
In alcuni contesti è però utile aggiungere un'ulterioreoperazione binaria fra vettori, che si comporti come un prodotto. Il risultato di questo prodotto può essere a sua volta un vettore o uno scalare. Nel primo caso, questa operazione si chiamaprodotto vettoriale, e nel secondoprodotto scalare. L'operazione di prodotto vettoriale risulta però interessante solo in dimensione tre, mentre i prodotti scalari esistono (e sono utili) in tutte le dimensioni: per questo motivo questi ultimi sono molto più studiati.
Nella definizione di spazio vettoriale non è inoltre neppure prevista una nozione dilunghezza (equivalentemente,norma) per i vettori, né diangolo fra due di questi. Entrambe le nozioni di lunghezza e angolo risultano però definite se è fissato un opportuno prodotto scalare.[2]
Un sistema di equazioni lineari è il dato di un certo numero di equazioni lineari in alcune variabili. Usando lematrici e lamoltiplicazione riga per colonne, un sistema può essere scritto in modo stringato nel modo seguente:
In questa espressione è una matrice, è il vettore delle variabili, ..., e è un altro vettore formato da costanti.
L'algebra lineare fornisce moltialgoritmi per determinare le soluzioni di un sistema lineare. Il legame fra i sistemi di equazioni e l'algebra lineare sta nel fatto che la matrice può essere interpretata come applicazione lineare da in: secondo questa interpretazione, le soluzioni sono esattamente lecontroimmagini di.
Ilteorema di Rouché-Capelli fornisce un metodo per contare le soluzioni, senza necessariamente determinarle completamente.[3] Nel caso in cui il sistema sia quadrato e abbia una sola soluzione, questa può essere scritta esplicitamente usando laregola di Cramer. Però tale soluzione teorica è praticamente utilizzabile solo per risolvere sistemi molto piccoli.[4] Mentre i metodi di eliminazione (es.Gauss) e quelli iterativi (es.Gauss-Seidel) consentono di calcolare effettivamente le soluzioni di un sistema lineare, anche di grandi dimensioni.
Una retta nelpiano cartesiano è descritta da un'equazione lineare del tipo. Due rette distinte sono parallele se il sistema formato dalle loro due equazioni non ha soluzione.Tre piani nello spazio possono avere varie configurazioni differenti: in questo caso si intersecano in un punto. Ciascun piano è descritto da un'equazione. Il punto di intersezione è ottenuto come soluzione di un sistema con 3 equazioni e 3 variabili.
Ingeometria analitica una retta o un piano sono descritti da sistemi di equazioni lineari: come si è appena visto, questi possono essere agevolmente studiati con gli strumenti dell'algebra lineare. Si possono quindi affrontare problemi quali le posizioni reciproche di due rette (o piani) nello spazio (che possono essere incidenti, paralleli o sghembi), e come queste variano per trasformazioni lineari.
L'analisi matematica delle funzioni in una variabile non fa uso dell'algebra lineare. L'analisi delle funzioni in più variabili invece dipende fortemente da questo settore. La nozione diderivata è infatti estesa in più variabili a quella didifferenziale: mentre la derivata è un semplice numero reale che indica la pendenza di una funzione in un punto, il differenziale è un'applicazione lineare, che indica sempre la "pendenza" di una funzione (a più variabili) in un punto.
Lameccanica quantistica fa ampio uso dei teoremi più avanzati dell'algebra lineare. Ilmodello matematico usato in questo settore della fisica (formalizzato principalmente daPaul Dirac eJohn Von Neumann) descrive i possibili stati di un sistema quantistico come elementi di un particolarespazio di Hilbert e le grandezze osservabili (quali posizione, velocità, etc.) comeoperatori autoaggiunti. I valori che possono assumere queste grandezze quando vengono effettivamente misurate sono gliautovalori dell'operatore.
L'introduzione e l'uso di questi concetti matematici non banali nella fisica quantistica è stato uno dei maggiori stimoli allo sviluppo dell'algebra lineare nelXX secolo.
Unamatrice è una tabella di numeri, come ad esempio:
Le matrici sono utili in algebra lineare per rappresentare le applicazioni lineari. Questo viene fatto tramite lamoltiplicazione riga per colonna. Ad esempio, la matrice descritta rappresenta una trasformazione del piano cartesiano in sé. Questa trasformazione manda il punto nel punto
Questa trasformazione non è nient'altro che una rotazione antioraria di 90º con centro l'origine.
L'eliminazione di Gauss è un algoritmo che consente di ridurre una matrice in una forma più semplice tramite opportune mosse sulle righe. Questo algoritmo è usato principalmente per determinare le soluzioni di un sistema di equazioni lineari, ma ha anche applicazioni più interne all'algebra lineare: con l'eliminazione di Gauss si può determinare ilrango, ildeterminante o l'inversa di una matrice, si può estrarre una base da uninsieme di generatori.
Unatrasformazione lineare delpiano cartesiano descritta da unamatrice quadrata. Il determinante della matrice fornisce delle informazioni sulla trasformazione: ilvalore assoluto descrive il cambiamento di area, mentre il segno descrive il cambiamento diorientazione. Nell'esempio qui riportato, la matrice ha determinante -1: quindi la trasformazione preserva le aree (unquadrato di area 1 si trasforma in unparallelogramma di area 1) ma inverte l'orientazione del piano (cambia il verso della freccia circolare).
Ildeterminante è un numero associato ad unamatrice quadrata, generalmente indicato come. Da un punto di vista algebrico, il determinante è importante perché vale zero precisamente quando la matrice non èinvertibile; quando non è zero, fornisce inoltre un metodo per descrivere lamatrice inversa tramite laregola di Cramer.
Da un punto di vista geometrico, il determinante fornisce molte informazioni sulla trasformazione associata ad: il suo segno (sui numeri reali) indica se la trasformazione mantiene l'orientazione dello spazio, ed il suovalore assoluto indica come cambiano le aree degli oggetti dopo la trasformazione.
In questa trasformazione lineare dellaGioconda, l'immagine è modificata ma l'asse centrale verticale rimane fisso. Il vettore blu ha cambiato lievemente direzione, mentre quello rosso no. Quindi il vettore rosso è un autovettore della trasformazione e quello blu no.
Per caratterizzare un endomorfismo è utile studiare alcuni vettori, chiamatiautovettori. Geometricamente, un autovettore è un vettore che non cambia direzione. Da un punto di vista algebrico, si tratta di un vettore tale che
per qualche scalare, dettoautovalore. L'endomorfismo è particolarmente semplice da descrivere se èdiagonalizzabile: geometricamente, questo vuol dire che esiste una base di autovettori; algebricamente, vuol dire che l'endomorfismo può essere rappresentato tramite unamatrice diagonale, come ad esempio
Gli autovalori possono essere trovati agevolmente calcolando ilpolinomio caratteristico della matrice associata, definito come
Gli autovalori di sono precisamente le radici di questo polinomio. Gli autovettori si organizzano in sottospazi vettoriali chiamatiautospazi. Quando lo spazio vettoriale è uno spazio di funzioni, l'autovalore è una particolare funzione, chiamataautofunzione.
Un endomorfismo diagonalizzabile è rappresentabile in modo agevole tramite una matrice diagonale. Non tutti gli endomorfismi sono però diagonalizzabili: ad esempio, unarotazione antioraria del piano cartesiano di angolo è rappresentata dalla matrice
che (per diverso da 0 e) non ha autovalori né autovettori, e quindi a maggior ragione non può essere diagonalizzabile. Un altro esempio di matrice non diagonalizzabile è la seguente
Se il campo considerato è però il campo deinumeri complessi, è comunque possibile rappresentare l'endomorfismo tramite una matrice che assomiglia il più possibile ad una matrice diagonale, come nel secondo esempio mostrato. Questa rappresentazione, dettaforma canonica di Jordan, caratterizza completamente gli endomorfismi. Esiste un'analoga rappresentazione nel campo reale, leggermente più complicata.
Similmente ad un endomorfismo, anche un prodotto scalare può essere rappresentato da unamatrice quadrata. Anche in questo contesto, la forma più semplice da trattare è quella in cui la matrice risulta essere diagonale, e questo accade precisamente quando si fissa unabase ortogonale.
A differenza degli endomorfismi, in questo contesto è sempre possibile trovare una matrice diagonale. In altre parole, per qualsiasi prodotto scalare è possibile trovare basi ortogonali. Se il prodotto scalare èdefinito positivo, un algoritmo efficiente a questo scopo è l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Per prodotti scalari più generali si può usare l'algoritmo di Lagrange.
Ilteorema della dimensione (odel rango, o anchedi nullità più rango) è un teorema che mette in relazione le dimensioni delnucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare, secondo la formula:
Qui Im e Ker denotano immagine e nucleo, mentre è la dimensione deldominio di. Questo risultato è anche chiamatoteorema del rango, perché tradotto nel linguaggio delle matrici assume la forma seguente:
Qui rk e null indicano rispettivamente ilrango e l'indice di nullità di una matrice del tipo.
Ilteorema di Rouché-Capelli dà alcune informazioni sull'insieme delle soluzioni di un generico sistema lineare:
Il teorema afferma due cose:
il sistema ha soluzione se e solo se le matrici e hanno lo stessorango;
se ci sono soluzioni, queste formano unsottospazio affine di dimensione, dove è il numero di incognite (cioè il numero di colonne di).
In particolare, il numero di soluzioni può essere solo zero, uno o infinito (se le equazioni sono a coefficienti reali o complessi).
Il teorema è generalmente usato per determinare rapidamente se un sistema ammette una o più soluzioni: non può però essere usato per determinarle esplicitamente. Uno strumento per questo scopo è ilmetodo di eliminazione di Gauss.
La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni di vari sottospazi, definiti a partire da due sottospazi e entrambi contenuti uno spazio fissato. La formula è la seguente:
Nell'espressione compaiono i sottospazi ottenuti come somma e intersezione di e.
I metodi dell'algebra lineare sono stati estesi ad altre branche della matematica, grazie al loro successo. Nella teoria deimoduli si sostituisce ilcampo degli scalari con unanello. L'algebra multilineare si occupa dei problemi che mappano linearmente 'molte variabili' in un numero differente di variabili, portando inevitabilmente al concetto ditensore. Nellateoria spettrale degli operatori si riescono a gestire matrici di dimensione infinita applicando l'analisi matematica in una teoria non puramente algebrica. In tutti questi casi le difficoltà tecniche sono maggiori.Inoltre, l'algebra lineare viene a essere fondamentale per ambiti riguardanti l'ottimizzazione, in particolare laricerca operativa. Infine l'algebra risulta centrale in tutte le operazioni di machine learning e deep learning[5]. E più in generale è fondativa dello studio deibig data[6].
^Lo spazio delle soluzioni di un sistema è unospazio affine, ed il teorema di Rouché-Capelli fornisce un metodo per calcolarne la dimensione. Il numero di soluzioni può essere solo 0, 1 o infinito.
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