Inmatematica, l'algebra differenziale costituisce il punto di contatto tra l'algebra astratta e l'analisi matematica, in quanto studia lestrutture algebriche munite di un'operazione di "derivazione", definita come una particolareoperazione unariainterna che soddisfa la regola fondamentale della derivata, cioè laregola di Leibniz.

Unanello differenziale è unanello${\displaystyle R}$ equipaggiato di unaderivazione, cioè di unafunzione

${\displaystyle \mathrm{\partial }:R\to R}$

che soddisfi le proprietà diadditività e laregola di Leibniz:

${\displaystyle \mathrm{\partial }(r+s)=\mathrm{\partial }(r)+\mathrm{\partial }(s)}$

${\displaystyle \mathrm{\partial }(rs)=\mathrm{\partial }(r)s+r\mathrm{\partial }(s)}$

Occorre fare attenzione alla scrittura della seconda identità, in quanto l'anello potrebbe non esserecommutativo e quindi l'usuale scrittura${\displaystyle \mathrm{\partial }(rs)=r\mathrm{\partial }(s)+s\mathrm{\partial }(r)}$ potrebbe essere falsa. In generale la regola si può esprimere come

${\displaystyle \mathrm{\partial }\circ M=M\circ (\mathrm{\partial }\otimes \mathrm{id})+M\circ (\mathrm{id}\otimes \mathrm{\partial }).}$

dove${\displaystyle M:R\times R\to R}$ è la moltiplicazione dell'anello e${\displaystyle (f\otimes g)(x,y)=(f(x),g(y))}$.

Uncampo differenziale è, di conseguenza, un anello differenziale che sia anche uncampo. In questo caso non è più necessario l'accorgimento precedente, in quanto la moltiplicazione è sempre commutativa.

Usando semplicemente i due assiomi imposti, si riescono a dimostrare, in ogni anello differenziale unitario, alcune proprietà dell'operatore di derivazione già note dall'analisi reale:

${\displaystyle \mathrm{\partial }(1)=\mathrm{\partial }(0)=0,}$

${\displaystyle \mathrm{\partial }(-f)=-\mathrm{\partial }(f),}$

dove con${\displaystyle 1}$ e${\displaystyle 0}$ si sono indicati i dueelementi neutri rispettivamente della moltiplicazione e dell'addizione. Se l'anello è commutativo e${\displaystyle g}$ è invertibile allora vale ancheregola del quoziente:

${\displaystyle \mathrm{\partial }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\mathrm{\partial }(f)-f\mathrm{\partial }(g)}{g^2}.}$

Ilcampo delle costanti di${\displaystyle F}$ è definito come

${\displaystyle K=\{c\in F:\mathrm{\partial }(c)=0\}}$

Dati due campi differenziali${\displaystyle (F,{\mathrm{\partial }}_F)}$ e${\displaystyle (G,{\mathrm{\partial }}_G)}$, unomomorfismo differenziale è unomomorfismo di campi che "commuti" con la derivazione, cioè tale che

${\displaystyle \varphi ({\mathrm{\partial }}_F(f))={\mathrm{\partial }}_G(\varphi (f))}$

Se${\displaystyle G}$ è un'estensione di${\displaystyle F}$ e l'inclusione canonica di${\displaystyle F}$ in${\displaystyle G}$ è un omomorfismo differenziale, cioè se

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_F(f)={\mathrm{\partial }}_G(f)}$

per ogni${\displaystyle f\in F,}$ allora${\displaystyle G}$ si dice un'estensione differenziale.

Un elemento di un campo differenziale${\displaystyle f}$ si dirà unlogaritmo se esiste un elemento${\displaystyle g}$ tale che

${\displaystyle \mathrm{\partial }(f)=\frac{\mathrm{\partial }(g)}{g}.}$

Un elemento di un campo differenziale${\displaystyle f}$ si dirà un'esponenziale se esiste un elemento${\displaystyle g}$ tale che

${\displaystyle \mathrm{\partial }(f)=f\mathrm{\partial }(g).}$

L'anello dei polinomi${\displaystyle K[x]}$ nella variabile${\displaystyle x}$ sul campo${\displaystyle K}$ è un anello differenziale se munito dell'operatore

${\displaystyle p=\sum _{j=0}^n{a}_j{x}^j\mapsto p^{\prime }=\sum _{j=0}^{n-1}(j+1)a_{j+1}{x}^j}$

con${\displaystyle p^{\prime }=0}$ se${\displaystyle n=0}$ (cioè se ilpolinomio è costante). Si verifica che${\displaystyle \alpha }$ è unaradice multipla di${\displaystyle p}$se e solo se${\displaystyle p^{\prime }(\alpha )=0}$.

Nel caso${\displaystyle K=\mathbb{Q}}$, si può dire che una derivazione sul campo${\displaystyle \mathbb{Q}(x)}$ dellefunzioni razionali nella variabile${\displaystyle x}$ a coefficientirazionali che estenda la derivazione su${\displaystyle \mathbb{Q}[x]}$ appena introdotta è completamente caratterizzato dalla condizione${\displaystyle \mathrm{\partial }(x)=1}$. Il suo campo delle costanti è${\displaystyle \mathbb{Q}}$.

Avendo introdotto la derivazione in modo formale, si può anche parlare diintegrale indefinito di un elemento di un campo differenziale. Più precisamente, dato un${\displaystyle f}$ in${\displaystyle F}$, il processo di integrazione indefinita di${\displaystyle f}$ consiste nel determinare un'estensione differenziale${\displaystyle G}$ di${\displaystyle F}$ nella quale esiste un elemento${\displaystyle g=\int f}$ tale che${\displaystyle \mathrm{\partial }(g)=f}$.

È necessario ammettere che${\displaystyle g}$ stia in un'arbitraria estensione di${\displaystyle F}$ e non in${\displaystyle F}$ stesso: ad esempio, nel caso${\displaystyle \mathbb{Q}(x)}$ sopra introdotto, si può dimostrare che non esiste un elemento${\displaystyle g}$ tale che${\displaystyle \mathrm{\partial }(g)=\frac{1}{x}.}$

Data questa definizione di integrale si ritrova identica anche la cosiddetta regola diintegrazione per parti:

${\displaystyle \int f\cdot \mathrm{\partial }(g)=f\cdot g-\int g\cdot \mathrm{\partial }(f).}$

Sia${\displaystyle A}$ un'algebra sul campo${\displaystyle K.}$ Si può definire una derivazione su${\displaystyle A}$ come una funzionelineare${\displaystyle \mathrm{\partial }:A\to A}$ che soddisfi la regola di Leibniz. In tal caso${\displaystyle A}$ è dettaalgebra differenziale su un campo.

• Differenziali di Kähler
• Campo differenzialmente chiuso
• Teoria di Galois differenziale

• (EN) Eric W. Weisstein,Derivation Algebra, suMathWorld, Wolfram Research.

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• Algebra differenziale

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