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Accelerazione

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Infisica, in primo luogo incinematica, l'accelerazione è unagrandezza vettoriale che rappresenta la variazione dellavelocità nell'unità ditempo. In termini differenziali, è pari alladerivata rispetto altempo del vettore velocità.[1] NelSI l'unità di misura del modulo dell'accelerazione è ilm/s², ovverometro al secondo quadrato. Le derivate temporali della velocità di ordine superiore al primo vengono studiate nelmoto vario.

Quando non specificato, per "accelerazione" si intende l'accelerazione traslazionale, sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è unatraslazione nello spazio. Il termine, "accelerazione", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di unavelocità in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione delmotorotatorio, per definire l'accelerazione di rotazione si usano l'accelerazione angolare e l'accelerazione areolare.

Definizione

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In alto: rappresentazione della velocità (variabile dipendente) in funzione del tempo (variabile indipendente). L'accelerazione, definita come la derivata della velocità rispetto al tempo, ha un valore pari alla pendenza della retta tangente, mostrata in blu nella figura.
In basso: andamento della derivata, che rappresenta il valore dell'accelerazione in funzione del tempo.

L'accelerazione di unpunto materiale è la variazione della suavelocità rispetto al tempo. Il modo più immediato per quantificare tale variazione consiste nel definire l'accelerazione mediaa¯{\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}} come il rapporto tra la variazione di velocitàΔv=v2−v1{\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}} al tempo finalev2=v(t2){\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} (t_{2})} e inizialev1=v(t1){\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {v} (t_{1})} posseduta dall'oggetto, e l'intervallo finito di tempoΔt=t2−t1{\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}} di durata del moto:[2]

a¯=v2−v1t2−t1=ΔvΔt{\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}

Un modo preciso per caratterizzare l'accelerazione si ottiene considerando la velocità in ogni istante di tempo, ovvero esprimendo la velocità in funzione del tempo e, ove la funzione è continua, calcolandone laderivata. Si definisce in questo modo l'accelerazione istantanea:

a(t)=dv(t)dt{\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t}}}

Si tratta del limite per l'intervallo di tempo tendente a zero delrapporto incrementale che definisce l'accelerazione media:

a=limΔt→0ΔvΔt=limΔt→0v(t+Δ t)−v(t)Δt{\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {v} (t+\Delta \ t)-\mathbf {v} (t)}{\Delta t}}}

L'accelerazione media coincide con l'accelerazione istantanea quando quest'ultima è costante nel tempo (a(t)=costante{\displaystyle \mathbf {a} (t)={\text{costante}}}), e si parla in tal caso dimoto uniformemente accelerato.

Nel moto del punto materiale su una curva, il vettore accelerazione in un punto è orientato verso la concavità della traiettoria in quel punto. Può succedere che durante il moto il vettore velocità cambi soltanto in direzione e verso, restando costante in modulo, come ad esempio nel caso dimoto circolare uniforme. La componente del vettore accelerazione nella direzione del moto è in questo caso nulla, e il vettore è quindi radiale (perpendicolare alla traiettoria). Data una traiettoria curvilinea arbitraria e continua, per individuare la direzione ed il verso dell'accelerazione di un oggetto che la percorre si utilizza il metodo delcerchio osculatore.

In un contesto più formale, sias(t){\displaystyle s(t)} lalunghezza di un arco dellacurva percorsa dall'oggetto in moto. Seds{\displaystyle ds} è lo spostamento dell'oggetto nel tempodt{\displaystyle dt}, lanorma della velocità istantanea nel puntor=(x,y,z){\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)} è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:[3]

v=dsdt=ddt(dx2+dy2+dz2)=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2{\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\right)={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}}

con il vettore velocità che è quindi scritto come:

v=vT^{\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {\hat {\mathbf {T} }} }

doveT^{\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}} è il vettore unitario tangente alla curva. Il modulo dell'accelerazione istantanea è allora:

a=dvdt=d2sdt2=dxdtd2xdt2+dydtd2ydt2+dzdtd2zdt2(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2=dxdsd2xdt2+dydsd2ydt2+dzdsd2zdt2=drds⋅d2rdt2{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}}={\frac {dx}{ds}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{ds}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{ds}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\cdot {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}

ed il vettore accelerazione è dato da:[3]

a=dvdt=d2rdt2=d2sdt2T^+k(dsdt)2N^{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}{\hat {\mathbf {T} }}+k\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}{\hat {\mathbf {N} }}}

dovek{\displaystyle k} è lacurvatura e si sono evidenziate la componente in direzione del moto e la componente in direzione perpendicolare, conN^{\displaystyle {\hat {\mathbf {N} }}} vettore unitario normale alla curva. In generale è possibile introdurre una terna di versori ortonormali, dettatriedro di Frenet, costituita ortogonalizzando i vettori velocità, accelerazione ed un terzo vettore, generato dal prodotto vettoriale dei primi due. I versori così generati prendono il nome diversore tangente,normale ebinormale. L'accelerazione giace sempre, per costruzione, nel piano individuato dal versore tangente e da quello normale. Lageometria differenziale sfrutta il triedro di Frenet per permettere di calcolare in ogni punto lacurvatura e latorsione della traiettoria.

Componenti dell'accelerazione

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Componente centripeta e tangenziale dell'accelerazione

In uno spazio a tre dimensioni si può scrivere l'accelerazione come:

a=axi^+ayj^+azk^{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {k} }}}

dovei^{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}},j^{\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}} ek^{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} sono i versori delsistema di riferimento cartesiano utilizzato. Poiché, nella sua definizione generale, l'accelerazione è il vettore che quantifica la variazione di direzione e modulo della velocità, data una traiettoria qualsiasi, è sempre possibile scomporre l'accelerazione del corpo in una componente ad essa tangente, dettaaccelerazione tangenziale, e in una componente perpendicolare, dettaaccelerazione normale:

a=atT^+anN^{\displaystyle \mathbf {a} =a_{t}{\hat {\mathbf {T} }}+a_{n}{\hat {\mathbf {N} }}}

L'accelerazione tangenziale descrive il cambiamento innorma della velocità, mentre quella normale è associata alla variazione della direzione della velocità.[4]

Sapendo che lavelocità linearev{\displaystyle \mathbf {v} }, che è sempre tangente alla traiettoria, è legata allavelocità angolareω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} dalla relazione:

v=ω×r{\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }

dove×{\displaystyle \times } denota ilprodotto vettoriale,ω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} lavelocità angolare er{\displaystyle \mathbf {r} } ilraggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato. Pertantov{\displaystyle \mathbf {v} } è ortogonale al piano formato daω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} e dar{\displaystyle \mathbf {r} }, e viceversa, il vettoreω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} è ortogonale al piano formato dav{\displaystyle \mathbf {v} } e dar{\displaystyle \mathbf {r} }, cioè dal piano sul quale avviene il moto.

Cerchio osculatore in una traiettoria qualunque

Data una traiettoriaC{\displaystyle C} giacente in un piano, e tracciato per un puntoP{\displaystyle P} in moto ilcerchio osculatore, ovvero la circonferenza tangente in ogni istante alla traiettoria inP{\displaystyle P}, la quale approssima al meglio la traiettoria in quel punto, si trova che:

a=dvdt=ddt(ω×r)=ω×r˙+ω˙×r=α×r+ω×v{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )={\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }

doveα{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} è l'accelerazione angolare. Considerando laderivata del vettore velocitàv=vT^{\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {T} }}}, si ha:

a=dvdt=ddt(vT^)=dvdtT^+dT^dtv=dvdtT^+v2rN^{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v{\hat {\mathbf {T} }})={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} t}}v={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}+{\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {N} }}}

Eguagliando quanto ottenuto dalle equazioni precedenti e identificando i termini si ha che le componenti sono:

at=dvdtT^=α×ran=v2rN^=ω×v{\displaystyle \mathbf {a} _{t}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} \qquad \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {N} }}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }

In due dimensioni il versore normale è univocamente determinato, mentre in tre dimensioni bisogna specificarlo; infatti, esso risulta parallelo al raggio del cerchio osculatore.

Moto rettilineo

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Da quanto mostrato segue inoltre che se la componente normale dell'accelerazione è nulla, allora il moto si svolge su una retta; infatti, la direzione del vettore velocità è costante, e dato che la velocità è sempre tangente alla traiettoria, quest'ultima è rettilinea. Nel caso in cui l'accelerazione tangenziale sia costante si ha unmoto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, anche la componente tangenziale dell'accelerazione sia nulla, il vettore velocità è allora costante e si ha unmoto rettilineo uniforme.

Moto circolare

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Lo stesso argomento in dettaglio:Moto circolare.
Componenti dell'accelerazione del moto circolare generico

Viceversa, se a essere costante è la componente normale la traiettoria risulterà circolare. In questo caso, essa prenderà il nome diaccelerazione centripeta[5] perché punta istante per istante verso il centro della circonferenza. Se l'accelerazione angolare, quindi anche l'accelerazione tangenziale, è costante, si ha un moto circolare uniformemente accelerato. Invece, nel caso di moto circolare uniforme l'accelerazione angolare è nulla, per cui l'accelerazione si riduce alla sola componente centripeta, pertanto la velocità angolare sarà costante nel tempo.

Accelerazioni apparenti

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Un osservatore solidale a unsistema di riferimento non inerziale sperimenterà delle accelerazioni apparenti. Per ilteorema delle accelerazioni di Coriolis, le accelerazioni apparenti dall'osservatore sono due: la prima dettaaccelerazione centrifuga, avente modulo e direzione identici all'accelerazione centripeta, ma con verso opposto, e la seconda che prende il nome diaccelerazione complementare, oaccelerazione di Coriolis, il cui valore è:

aCo=−2ω×v{\displaystyle \mathbf {a} _{\text{Co}}=-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }

Significato geometrico

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Il segno dell'accelerazione istantanea può essere interpretato come laconcavità del grafico spazio-tempo del moto.

L'accelerazione media si rappresenta con il grafico velocità-tempo, dal quale si comprende come l'accelerazione media sia uguale alla pendenza dellaretta che congiunge i punti iniziale e finale del grafico velocità-tempo in cui andiamo a calcolare la media.

L'accelerazione istantanea è latangente alla curva velocità-tempo nel punto fissato, così come è il significato geometrico della derivata prima. Essa è quindi uguale allapendenza della retta tangente alla curva nel punto in cui viene calcolata.

Attraverso lo studio della curva nel grafico velocità-tempo si possono ricavare ulteriori importanti informazioni: dall'angolo che la tangente forma con l'asse del tempo si evince che l'accelerazione è negativa se la tangente forma un angolo superiore ai 90 gradi con l'asse delle ascisse, è positiva se rimane sotto i 90 gradi mentre è nulla se la tangente è parallela all'asse. Inoltre, si noti come a valori positivi della curva accelerazione-tempo corrispondano valori crescenti della curva velocità-tempo. Poiché l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, si può anche ricavare l'andamento della relazione accelerazione-tempo anche studiando laconcavità del grafico.

Accelerazione nei sistemi di punti materiali

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Se glin{\displaystyle n} punti materiali di un sistema sono in movimento, solitamente, la posizione delcentro di massa varia. Pertanto, nell'ipotesi in cui la massa totalem=∑i=1n{\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}} sia costante, l'accelerazione del centro di massa sarà:

aG=dvGdt=ddtpm=m(dmdt∑i=1nvi+m∑i=1ndvidt)+pdmdtm2=F(e)m{\displaystyle \mathbf {a} _{G}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{G}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathbf {p} }{m}}={\frac {\displaystyle {{\cancel {m}}\left({\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {v} _{i}+m\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}}{\mathrm {d} t}}\right)+\mathbf {p} {\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}}}{m^{\cancel {2}}}}={\frac {\mathbf {F} ^{(e)}}{m}}}

dovep{\displaystyle \mathbf {p} } laquantità di moto totale del sistema eF(e){\displaystyle \mathbf {F} ^{(e)}} è la sommatoria delleforze esterne.

Accelerazione di gravità

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Lo stesso argomento in dettaglio:Accelerazione di gravità.

Note

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  1. ^(EN)IUPAC Gold Book, "acceleration, a", sugoldbook.iupac.org.
  2. ^McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology.
  3. ^abWeisstein, Eric W.Acceleration. From MathWorld.
  4. ^Infatti, laforza associata alla componente normale dell'accelerazione non compielavoro sull'oggetto, essendo nullo ilprodotto scalare della forza con lo spostamento.
  5. ^Accelerazione centripeta, subritannica.com.

Bibliografia

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Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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Controllo di autoritàThesaurus BNCF8645 ·LCCN(EN) sh85000344 ·GND(DE) 4144870-4 ·BNF(FR) cb11978022j(data) ·J9U(EN, HE) 987007292957505171
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