Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Fara í innihald
WikipediaFrjálsa alfræðiritið
Leit

Heildun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Heildun (einnig þekkt semtegrun úr ensku og flest öllum öðrum tungumálum orðinuintegration, sjásamheiti innan stærðfræðinnar) er sústærðfræðilega aðgerð sem notuð er íörsmæðareikningi til þess að finnamarkgildi allra yfir- og undirsummafalls á tilteknubili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reiknaflatarmál svæðisins á milliferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili).

Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að reiknaákveðið heildi á tilteknubili með því að finna fyrststofnfall fallsins sem heilda skal og taka síðanmismun stofnfallsins í endapunktum bilsins.

Dæmi: Fallið, sem heilda skal,:f(x)=axn{\displaystyle f(x)=ax^{n}}, á sér stofnfall,

∫axndx=axn+1n+1+c{\displaystyle \int ax^{n}dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}, þar semc er óskilgreindurfasti.

(Athuga ber að ekki er unnt að finna stofnfall nema í undantekningartilvikum.)

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrirlatneska orðið ‚summa‘ enLeibniz skóp þetta tákn.

Andhverfa heildunar nefnistdeildun.


Skilgreining á óákveðnu heildi

[breyta |breyta frumkóða]

Að leysa óákveðin heildi snýst um að finna stofnföll falls. Hér reynum við að gefa greinagóða skilgreiningu á óákveðnu heildi með því að kynna fyrst til sögunnar skilgreiningu á stofnfalli. Næst bendum við á mikilvægan eiginleika stofnfalla að þau halda áfram að vera stofnföll þótt fastar séu lagðir við þau. Í lokin skilgreinum við óákveðin heildi með tveimur mismunandi skilgreiningum, sem mengi, og sem fall, þar sem síðari skilgreiningin er meira notuð.

Skilgreining á stofnfalli

[breyta |breyta frumkóða]

Látumf{\displaystyle f} vera raungiltfall af einni raunbreytistærð.f{\displaystyle f} hefurstofnfallF{\displaystyle F} efF′(x)=f(x){\displaystyle F'(x)=f(x)} fyrir öllx∈dom(f){\displaystyle x\in {\text{dom}}(f)} þar semdom(f){\displaystyle {\text{dom}}(f)} táknarformengif{\displaystyle f}.

Tilvist margra stofnfalla

[breyta |breyta frumkóða]

EfF(x){\displaystyle F(x)} er stofnfallf(x){\displaystyle f(x)}, þá erG(x)=F(x)+C{\displaystyle G(x)=F(x)+C} líka stofnfallf(x){\displaystyle f(x)} þar semC{\displaystyle C} er einhverrauntölufasti.

Mengi allra stofnfalla falls

[breyta |breyta frumkóða]

EfF(x){\displaystyle F(x)} er stofnfallf(x){\displaystyle f(x)}, þá er hægt að rita öll stofnföllf(x){\displaystyle f(x)} á formF(x)+C{\displaystyle F(x)+C} þar semC{\displaystyle C} er einhver rauntölufasti.

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem mengi]

[breyta |breyta frumkóða]

Látumf{\displaystyle f} vera raungiltfall af einni raunbreytistærð með stofnföll. Þá er óákveðna heildif{\displaystyle f} skilgreint sem mengi allra stofnfallaf{\displaystyle f} og mengið er táknað á eftirfarandi máta:

∫f(x)dx{\displaystyle \int f(x)dx}

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem fall]

[breyta |breyta frumkóða]

Látumf{\displaystyle f} vera raungiltfall af einni raunbreytistærð með stofnfallF{\displaystyle F}. Þá er óákveðna heildif{\displaystyle f} skilgreint á eftirfarandi máta:

∫f(x)dx=F(x)+C{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}

þar semC{\displaystyle C} er einhver rauntölufasti.

Munurinn á mengja- og fallaskilgreiningunum

[breyta |breyta frumkóða]

Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu er oftast notuð ef átt er við óákveðið heildi. Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu tengist mengjaskilgreiningunni á óákveðnu heildinu á þann hátt að það er hægt er að stika öll stofnföll falls með framsetningunni í fallaskilgreiningunni. Þ.e.a.s. mengjaframsetningin á óákveðnu heildinu af fallinuf{\displaystyle f} með eitthvað stofnfallF{\displaystyle F} er:

∫f(x)dx={F(x)+C:C∈R}⏟Ef mengjaskilgreiningin er notuð{\displaystyle \underbrace {\int f(x)dx=\{F(x)+C:C\in \mathbb {R} \}} _{\text{Ef mengjaskilgreiningin er notuð}}}

en fallaframsetningin á óákveðnu heildinu er:

∫f(x)dx=F(x)+C⏟Ef fallsskilgreiningin er notuð, hér er C bara einhver rauntölufasti{\displaystyle \underbrace {\int f(x)dx=F(x)+C} _{\text{Ef fallsskilgreiningin er notuð, hér er C bara einhver rauntölufasti}}}.

Skilgreiningar á ákveðin heildi

[breyta |breyta frumkóða]

Það eru til margar skilgreiningar á ákveðnum heildum. Hins vegar eru ekki allar skilgreiningarnar jafngildar.

Algengustu skilgreiningarnar eru Riemann heildi og Lebesgue heildi.

Riemann heildi[1]

[breyta |breyta frumkóða]

Hjálparskilgreining [Möskvastærð á skiptingu]

[breyta |breyta frumkóða]

LátumP={a=t0<t1<⋯<tn=b}{\displaystyle P=\{a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b\}} vera skiptingu á[a,b]{\displaystyle [a,b]}.

MöskvastærðP{\displaystyle P} er skilgreind semmesh(P):=max{tk−tk−1:k=1,…,n}{\displaystyle {\text{mesh}}(P):=\max\{t_{k}-t_{k-1}:k=1,\dots ,n\}}.

Uppsetning

[breyta |breyta frumkóða]

Látumf{\displaystyle f} vera takmarkað raungilt fall á[a,b]{\displaystyle [a,b]}, þ.e.a.s. það er tilM≥0{\displaystyle M\geq 0} þ.a.|f(x)|≤M{\displaystyle |f(x)|\leq M} fyrir öllx∈[a,b]{\displaystyle x\in [a,b]}.

LátumP={a=t0<t1<⋯<tn=b}{\displaystyle P=\{a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b\}} vera skipting á[a,b]{\displaystyle [a,b]}.

LátumΩ(f,P)={∑k=1nf(xk)(tk−tk−1):xk∈[tk−1,tk],k=1,…,n}{\displaystyle \Omega (f,P)=\{\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(t_{k}-t_{k-1}):x_{k}\in [t_{k-1},t_{k}],k=1,\dots ,n\}} vera mengi allra Riemann summa fyrir fallf{\displaystyle f} og skiptinguP{\displaystyle P}.

Skilgreiningin

[breyta |breyta frumkóða]

Falliðf{\displaystyle f} er Riemann-heildanlegt á[a,b]{\displaystyle [a,b]} ef það er tilr∈R{\displaystyle r\in \mathbb {R} } þ.a. fyrir öllϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} það er tilδ>0{\displaystyle \delta >0} þ.a.|S−r|<ϵ{\displaystyle |S-r|<\epsilon } fyrir allar Riemann summurS∈Ω(f,P){\displaystyle S\in \Omega (f,P)} meðmesh(P)<δ{\displaystyle {\text{mesh}}(P)<\delta }.

Ef talanr{\displaystyle r} er til, þá kallast hún Riemann heildif{\displaystyle f} yfir[a,b]{\displaystyle [a,b]} og er táknuð sem∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}.

Darboux heildi[1]

[breyta |breyta frumkóða]

Skilgreiningin á Darboux heildi er jafngild skilgreiningunni á Riemann heildi og sambærileg skilgreining er notuð í kúrsinum Stærðfræðigreining I sem er kennd í HÍ[2].

Uppsetning

[breyta |breyta frumkóða]

Látumf{\displaystyle f} vera takmarkað raungilt fall á[a,b]{\displaystyle [a,b]}, þ.e.a.s. það er tilM≥0{\displaystyle M\geq 0} þ.a.|f(x)|≤M{\displaystyle |f(x)|\leq M} fyrir öllx∈[a,b]{\displaystyle x\in [a,b]}.

LátumP={a=t0<t1<⋯<tn=b}{\displaystyle P=\{a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b\}} vera skipting á[a,b]{\displaystyle [a,b]}.

Neðri og efri Darboux summur

[breyta |breyta frumkóða]

Skilgreinum neðri Darboux summuf{\displaystyle f} m.t.t.P{\displaystyle P} semL(f,P):=∑i=1n(ti−ti−1)infx∈[ti−1,ti]f(x){\displaystyle L(f,P):=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\inf _{x\in [t_{i-1},t_{i}]}f(x)}.

Skilgreinum efri Darboux summuf{\displaystyle f} m.t.t.P{\displaystyle P} semU(f,P):=∑i=1n(ti−ti−1)supx∈[ti−1,ti]f(x){\displaystyle U(f,P):=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\sup _{x\in [t_{i-1},t_{i}]}f(x)}.

Neðri og efri Darboux heildi

[breyta |breyta frumkóða]

Skilgreinum neðra Darboux heildif{\displaystyle f} semL(f):=sup{L(f,P):P er skipting af [a,b]}{\displaystyle L(f):=\sup\{L(f,P):P{\text{ er skipting af }}[a,b]\}}.

Skilgreinum efra Darboux heildif{\displaystyle f} semU(f):=inf{U(f,P):P er skipting af [a,b]}{\displaystyle U(f):=\inf\{U(f,P):P{\text{ er skipting af }}[a,b]\}}.

Skilgreiningin

[breyta |breyta frumkóða]

f{\displaystyle f} er Darboux heildanlegt á bili[a,b]{\displaystyle [a,b]} ef neðri og efri Darboux heildif{\displaystyle f} eru til ogL(f)=U(f){\displaystyle L(f)=U(f)}. Eff{\displaystyle f} er Darboux heildanlegt á bili[a,b]{\displaystyle [a,b]}, þá kallast talanL(f)=U(f){\displaystyle L(f)=U(f)} Darboux heildif{\displaystyle f} yfir[a,b]{\displaystyle [a,b]} og er táknuð sem∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}.

Samband milli óákveðin og ákveðin heildi

[breyta |breyta frumkóða]

Óákveðin og ákveðin heildi eru skilgreind á mismunandi máta. Hins vegar gefa heiti þeirra til kynna að þessi hugtök tengjast. Athugið að hér notumst við við fallaskilgreininguna á óákveðnum heildum til að lýsa tengslin milli óákveðin og ákveðin heildi. Meginmunur óákveðna og ákveðinna heilda er að óákveðin heildi eru föll en ákveðin heildi eru tölur. Þessi hugtök tengjast þó í gegnumundirstöðusetningu örsmæðareiknings.

Lausn óákveðins heildis með ákveðnu heildi

[breyta |breyta frumkóða]

Í gegnum fyrri undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota ákveðin heildi til að leysa óákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fallf{\displaystyle f} sem er samfellt á bilinu[a,b]{\displaystyle [a,b]}. Þá segir fyrri undirstöðusetningin að eftirfarandi ákveðna heildi er eitt af stofnföllumf{\displaystyle f}:

F(x)=∫axf(t)dt{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}

Þá getum við leyst þetta ákveðna heildi og stungið inn í óákveðna heildið, þ.e.a.s.

∫f(x)dx=F(x)+C=∫axf(t)dt+C{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C=\int _{a}^{x}f(t)dt+C}

þar semC{\displaystyle C} er einhver rauntölufasti.

Lausn ákveðins heildis með óákveðnu heildi

[breyta |breyta frumkóða]

Í gegnum seinni undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota óákveðin heildi til að leysa ákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fallf{\displaystyle f} sem er Riemann-heildanlegt á bilinu[a,b]{\displaystyle [a,b]} og við viljum heilda fallið yfir þetta bil. Við getum leyst ákveðna heildið∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} með því að finna stofnfall fallsins með óákveðnu heildi og notað svo seinni unfirstöðusetninguna til að reikna ákveðna heildið með því að nota aðeins stofnfallið.

Þ.e.a.s. með eftirfarandi skrefum:

  1. Finna stofnfall með óákveðinni heildun:G(x)=∫f(x)dx{\displaystyle G(x)=\int f(x)dx}.
  2. Reikna ákveðna heildið með seinni undirstöðusetningunni:∫abf(x)dx=G(b)−G(a){\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)}.

Heildunarreglur

[breyta |breyta frumkóða]

Dæmi

[breyta |breyta frumkóða]

Heildum falliðf(x)=1x{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}} með tilliti til x. Það er ritað þannig:

∫1xdx{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x}}}dx}

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

=∫(x)−1dx=∫(x12)−1dx=∫x−12dx{\displaystyle =\int ({\sqrt {x}})^{-1}dx=\int \left(x^{\frac {1}{2}}\right)^{-1}dx=\int x^{-{\frac {1}{2}}}dx}

Þá getum við heildað skv reglunni:

∫axndx=axn+1n+1+C{\displaystyle \int ax^{n}dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+C}

þannig að:

∫x−12dx=x1212+C=x12⋅21+C=2x12+C{\displaystyle \int x^{-{\frac {1}{2}}}dx={\frac {x^{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}+C={\frac {x^{\frac {1}{2}}\cdot 2}{1}}+C=2x^{\frac {1}{2}}+C}

svo niðurstaðan er:

∫1xdx=2x12+C{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=2x^{\frac {1}{2}}+C}

Heildunaraðferðir

[breyta |breyta frumkóða]

Tilvísanir

[breyta |breyta frumkóða]
  1. ↑1,01,1Ross, Kenneth A. (2013).Elementary Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer New York.doi:10.1007/978-1-4614-6271-2.ISBN 978-1-4614-6270-5.
  2. ↑„6. Heildun — Stærðfræðigreining I (STÆ104G) 2018“.edbook.hi.is. Afrit afupprunalegu geymt þann 18. mars 2020. Sótt 22. mars 2020.
Sótt frá „https://is.wikipedia.org/w/index.php?title=Heildun&oldid=1906136“
Flokkur:
Falinn flokkur:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp