Örsmæðareikningur,stærðfræðigreining,reiknivísi,deilda- og heildareikningur eðadiffur- og tegurreikningur (á latínu:calculus; „steinvala“) er aðferð ístærðfræði, sem felst í að notamarkgildi til að ákvarðahallatöluferils ogflatarmál undir ferlinum.
Helstu aðgerðir í örsmæðareikningi eru tvær,heildun ogdeildun, sem einnig nefnast tegrun og diffrun. Einnig ermarkgildishugtakið mjög mikilvægt, en til viðbótar komaferilheildi,stiglar og ýmsar aðrar aðgerðir.
Í örsmæðareikningi er fengist við stærðir sem verðaóendanlegar og því hefur reynst nauðsynlegt að víkka útrauntalnaásinn þ.a. hann innihaldi einnig stökinplús óendanlegt () ogmínus óendanlegt (). (Sjáútvíkkaði rauntalnaásinn.)
Eitt af því sem höfðaði til manna var það að geta mælt hallatölurmargliða af hærri gráðum en 1 og annarra falla sem eru ekki beinar línur, svo semsínus. Auðvelt er að finnahallatölu línu sem lýst er með jöfnunni, þar sem að hallatalan er einfaldlega.
Það sem að upphafsmenn stærðfræðigreiningarinnar áttuðu sig á var að til þess að mæla hallatölu þurfti að mæla hana út frá tveimur punktum og hlutfallslegi mismunurinn á þeim punktum er hallatalan. Með því að minnka bilið á milli þeirra tveggja punkta óendanlega mikið var hægt mæla hallatöluna út frá að því er virðist einum punkti:
og stundum er notað
Þá stefnirmarkgildi beggja þessara stæðna á hallatölu fallsins í punktinum þegar að stefnir á 0. Þessi aðgerð er oftast rituð eða, og er kölluðdeildun.
Vegna þess að hallatalan í þessum tiltekna punkti er þá þekkt, þá er hægt að finna línu með sömu hallatölu, en hún hefur jöfnuna
Eingöngu ein slík lína er til, en hún kallastsnertill fallsinsf, þar sem að hún gengur ekki í gegn umf í þessum punkti, heldur rétt strýkur við hana. Allar aðrar línur með sömu hallatölu sem ganga í gegnum fallið eru kallaðirsniðlar.
Eftir að diffrun hafði verið skilgreind sáu menn að það gæti verið kostur að geta tekið aðgerðina til baka og myndi slík aðferð hafa þann eiginleika að mæla flatarmálið undir tilteknu falli. Sú aðgerð er kölluðheildun og er skilgreind á ýmsa vegu. Hér verður fjallað lítillega umRiemann-heildið:
Riemannheildi er skilgreint sem summa undir- og yfirsumma falls á mælanlegu bili. Það er að segja, stikuð eru út visst mörg bil til þess að mæla fallið á, og fyrir hvert þeirra er mældyfirsumma annars vegar ogundirsumma hins vegar. Summurnar eru allar lagðar saman, og útkoman er flatarmálið undir fallinu:
þar sem að, þar sem að U er undirsumman og Y er yfirsumman.
Örsmæðareikningur var innleiddur á sautjándu öld til þess að mæta vaxandi þörf manna fyrir útreikninga í vísindum. Einkum var um að ræða þörf fyrir að geta tengthröðun,hraða ogvegalengd hlutar á hreyfingu,hallatölur snertla og breytingarhraða (rate of change),hágildi oglággildi falla (t.d. mestu og minnstu fjarlægð reikistjörnu frá sólu),lengd ferils,flatarmál undir ferli,rúmmál óreglulegra hluta (t.d.rúmmál snúðs) og svo framvegis.Enn þann dag í dag er örsmæðareikningur besta stærðfræðileiðin til útreikninga af þessu tagi og varla er til sú fræðigrein sem ekki nýtur góðs af á einn eða annan hátt.
Upphafsmenn örsmæðareiknings voru samtímamennirnirIsaac Newton (1642 - 1727) í Englandi ogGottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) í Þýskalandi. Þeir voru báðir framúrskarandistærðfræðingar í sinni tíð. Þó voru þeir langt því frá að vera vinir, og voru mjög harðir keppinautar lengst af - hvor um sig taldi hinn loddara og sjálfan sig hinn eina sanna höfund örsmæðareikningsins.Deila Newtons og Leibniz teygði arma sína þvert yfir Evrópu, og stóðu vísindamenn altént með öðrum hvorum þeirra. Frægt er aðBernoulli bræður lögðu fyrir Newton margar þrautir sem þeir töldu að væri ógerlegt að leysa með hans útgáfu örsmæðareikningsins. Til að myndabrachistochrones vandamálið, á meðan að stuðningsmenn Newtons á borð viðJohn Kiell ogFatio de Fullier lögðu mjög svipaðar þrautir fyrir Leibniz.
