Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dariSupermanifold di en.wikipedia.org.Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong padaProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula:panduan penerjemahan artikel)

Dalamfisika danmatematika,supermanfiold adalah generalisasi dari konseplipatan berdasarkan ide yang berasal darisupersimetri. Beberapa definisi sedang digunakan, beberapa di antaranya dinyatakan di bawah ini.

Sebuah definisi informal umumnya digunakan di catatan fisika dan pengenalan kuliah. Itu mendefinisikansupermanifold sebagai sebuahlipatan dengan koordinasibosonik danfermionik. Secara lokal, itu tersusun darigrafik koordinat yang membuatnya terlihat seperti "datar",superruang Euklidean. Koordinat-koordinat lokal ini sering kali dilambangkan dengan

${\displaystyle (x,\theta ,\overline{\theta })}$

Dimana${\displaystyle x}$ adalah (bernilai bilangan real) koordinatruang waktu,${\displaystyle \theta }$ dan${\displaystyle \overline{\theta }}$ adalah "arah" spasialnilai Grassmann.

Interpretasi fisik dari koordinat nilai Grassmann merupakan subjek dari diskusi; eksperimen eksplisit mencari untuksupersimetri tidak memberikan hasil yang positif. Bagaimanapun, penggunaan variabel Grassmann memperkenankan untuk penyederhanaan yang besar dari sebuah bilangan dari hasil matematis yang penting. Ini termasuk, diantaranya definisi yang padat dariintegral fungsional, perawatan yang tepat dari hantu-hantu dalamkuantisasi BRST, pembatalan ketakterhinggaan dalamteori medan kuantum. Karya tulis padateori indeks Atiyah-Singer, dan penggunaan terbaru untuksimetri cermin.

Penggunaan dari koordinat nilai Grassmann telah muncul bidang darisupermatematika, dimana sebagian besar geometri bisa digeneralisasikan menjadi superekuivalen, termasukgeometri Riemann dan sebagian besar teori darigrup Lie danaljabar Lie (seperti superaljabar Lie, dan sebagainya). Bagaimanapun, masalah pun tetap, termasuk ekstensi yang tepat darikohomologi deRham ke supermanifold.

Tiga definisi yang berbeda dari supermanifold sedang digunakan. Salah satu definisinya adalah sebagai berkas di atas ruang bercincin, ini terkadang disebut "pendekatan aljabar-geometri".^[1] Pendekatan ini memiliki keanggunan matematis, tetapi bisa belum tentu dalam berbagai perhitungan dan pemahaman berdasarkan intuisi. Pendekatan yang kedua bisa disebut "pendekatan konkret";^[1] karena mampu dengan sederhana dan tentu saja menggeneralisasikan sebuah kelas konsep yang luas dari matematika biasa. Hal itu membutuhkan penggunaan dari sebuah bilangan tak terhingga dari generator supersimetris dalam definisi tersebut; bagaimanapun, semua kecuali bilangan terbatas dari generator tidak membawa konten, seperti pendekatan konkret membutuhkan penggunaan dari topologi kasar yang membuat hampir semua dari mereka ekuivalen. Dengan heran, kedua definisi ini, salah satunya dengan bilangan terbatas dari generator supersimetris, dan salah satunya dengan bilangan tak terbatas dari generator ekuivalen.

Pendekatan ketiga mendeskripsikan supermanifold sebagaitopos dasar darisuperpoin. Pendekatan ini masih menjadi topik penelitian aktif.^[2]

Meskipun supermanifold merupakan kasus spesial darimanifold nonkomutatif, struktur lokalnya membuat mereka lebih cocok untuk mempelajari dengan alat dari standargeometri diferensial danruang bercincin lokal

Sebuah supermanifold${\displaystyle \mathbf{M}}$ dari dimensi${\displaystyle (p,q)}$ adalah sebuahruang topologi${\displaystyle M}$ dengan sebuah berkas darisuperaljabar, biasanya dilambangkan${\displaystyle O_{\mathbf{M}}}$ atau${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}(\mathbf{M})}$, yang secara lokal isomorfik${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^p)\otimes {\mathrm{\Lambda }}^{\bullet }({\xi }_1,\dots {\xi }_q)}$, dimana yang terakhir adalah aljabar Grassmann dari generator${\displaystyle q}$.

Sebuah supermanifold${\displaystyle \mathbf{M}}$ dari dimensi${\displaystyle (1,1)}$ terkadang disebutpermukaan super-Riemann.

Menurut sejarah, pendekatanini berhubungan denganFelix Berezin,Dimitry Leites, danBertram Kostant.

Sebuah definisi lainnya menggambarkan supermanifold dengan cara yang mirip denganlipatan terdiferensial, kecuali bahwa ruang model${\displaystyle {\mathbb{R}}^p}$ telah diganti olehsuperruang model${\displaystyle {\mathbb{R}}_c^p\times {\mathbb{R}}_a^q}$.

Untuk membenarkan definisi ini, sangat sulit untuk menjelaskan apa itu${\displaystyle {\mathbb{R}}_c}$ dan${\displaystyle {\mathbb{R}}_c}$${\displaystyle {\mathbb{R}}_c}$. Ini diberikan sebagai subruang real genap dan ganjil dari ruang satu dimensi daribilangan Grassmann,, yang menurut konvensi, dihasilkan oleh bilangan terhitung tak terbatas dari variabel antikomutatif, yaitu ruang satu dimensi yang diberikan oleh${\displaystyle \mathbb{C}\otimes \mathrm{\Lambda }(V)}$, dimana${\displaystyle V}$ adalah tak terbatas dimensi. Sebuah anggota${\displaystyle z}$ diistilahkanreal jika${\displaystyle z=z^{\ast }}$; anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan genap dari generator Grassmann membentuk ruang${\displaystyle {\mathbb{R}}_c}$ daribilangan-c, sementara anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan ganjil dari generator Grassmann membentuk ruang${\displaystyle {\mathbb{R}}_c}$ daribilangan-a. Catatan bahwa bilangan-c komutatif, sementara bilangan-a antikomutatif. Ruang${\displaystyle {\mathbb{R}}_c^p}$ dan${\displaystyle {\mathbb{R}}_a^q}$ yang kemudian didefinisikan sebagai produk Kartesius lipatan-${\displaystyle p}$ dan lipatan-${\displaystyle q}$ dari${\displaystyle {\mathbb{R}}_c}$ dan${\displaystyle {\mathbb{R}}_a}$.^[3]

Sama seperti kasus dari manifold biasa, supermanifold kemudian didefinisikan sebagai kumpulan dari diagram yang direkatkan dengan fungsi transisi yang berbeda.^[3] Definisi ini dalam diagram membutuhkan bahwa fungsi transisi memilikistruktur mulus danJacobian bukan nol. Ini bisa hanya diselesaikan jika diagram individual menggunakantopologi yang jauh lebih kasar daripada ruang vektor topologi di aljabar Grassmann. Topologi ini diperoleh${\displaystyle {\mathbb{R}}_c^p}$ ke${\displaystyle {\mathbb{R}}^p}$ dan kemudian menggunakan topologi biasa dengan itu. Hasil topologibukanruang Hausdorff, tetapi bisa disebut "proyektif Hausdorff".^[3]

Definisi ini ekuivalen untuk yang pertama tidak semuanya jelas; bagaimanapun, ini adalah penggunaan dari topologi kasar yang membuatnya seperti itu, dengan menerjemahkan sebagian besar "poin" identik. Yaitu,${\displaystyle {\mathbb{R}}_c^p\times {\mathbb{R}}_a^q}$ dengan topologi kasar pada dasarnya isomorfik^[1][4] ke${\displaystyle {\mathbb{R}}^p\otimes {\mathrm{\Lambda }}^{\bullet }({\xi }_1,\dots {\xi }_q)}$.

Menurut sejarah, pendekatan ini berhubungan denganAlice Rogers,Bryce DeWitt dan dikerjakan oleh Kadczyk dan Pilch.

Tidak seperti manifold biasa, supermanifold tidak sepenuhnya tersusun dari satu titik. Sebagai gantinya, salah satu mengambil dua sudut pandang yang struktur dari supermanifold${\displaystyle \mathbf{M}}$ yang terdapat di dalam berkas${\displaystyle O_{\mathbf{M}}}$ dari "fungsi mulus". Dalam dua sudut pandang, sebuah pemetaan injektif berkorespondensi ke injeksi dari berkas.

Pendekatan alternatif untuk kedua sudut pandang menggunakanpengarah tujuan.

Jika${\displaystyle \mathbf{M}}$ adalah sebuah supermanifold dari dimensi${\displaystyle (p,q)}$, maka ruang yang mendasari${\displaystyle M}$ mewarisi struktur darilipatan diferensial yang berkas dari fungsi mulus adalah${\displaystyle O_{\mathbf{M}}/I}$, dimana${\displaystyle I}$ adalah ideal yang dihasilkan oleh semua fungsi ganjil. Demikian juga${\displaystyle M}$ adalah submanifold dari${\displaystyle \mathbf{M}}$.

• Misalkan${\displaystyle M}$ adalah manifold,Bundel tangen ganjil${\displaystyle \mathrm{\Pi }TM}$ adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas${\displaystyle \mathrm{\Omega }(M)}$ dari pembentukan diferensial di${\displaystyle M}$.
• Lebih umum, misalkan${\displaystyle E\to M}$ menjadibundel vektor. Lalu${\displaystyle \mathrm{\Pi }E}$ adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(\mathrm{\Lambda }{E}^{\ast })}$. Faktanya,${\displaystyle \mathrm{\Pi }}$ adalah functor dari kategori dari bundel vektor ke kategori dari supermanifold.
• Supergrup Lie merupakan contoh dari supermanifold.

Teorema Batchelor menyatakan bahwa setiap supermanifold isomorfik nonkanonik ke supermanifold dari bentuk${\displaystyle \mathrm{\Pi }E}$. Kata "nonkanonis" mencegah salah satu dari kesimpulan bahwa supermanifold hanya dimuliakan bundel vektor; meskipun functor peta surjektif${\displaystyle \mathrm{\Pi }}$ ke kelas isomorfis dari supermanifold, ini tidak bertentangan dari kategori. Ini dipublikasikan oleh Marjorie Batchelor dalam 1979.

Bukti dari teorema Batchelor mengandalkan cara penting pada keberadaanpartisi dari persatuan, jadi ini tidak berlaku untuk supermanifold analisis real atau kompleks.

Dalam berbagai penerapan fisika dan geometri, supermanifold dilengkapi denganstruktur simplektis ganjil Grassmann. Semua objek geometris di supermanifold bertingkat. Secara khusus, bundel dari dua bentuk dilengkapi dengan penilaian. Sebuah bentuk simplektis ganjil${\displaystyle \omega }$ di supermanifold tertutup, bentuk ganjil, menginduksikan pasangan nondegenerasi pada${\displaystyle TM}$. Seperti supermanifold yang disebutmanifold-P. Dimensi bertingkatnya diperlukan${\displaystyle (n,n)}$, karena bentuk simplektis ganjil menginduksikan sebuah pasangan dari variabel ganjil dan genap. Ada versi dari teorema Darboux untuk manifold-P, yang memperkenankan salah satunya untuk melengkapi manifold-P secara lokal dengan sebuah kumpulan dari koordinat-koordinat dimana bentuk simplektis ganjil${\displaystyle \omega }$ ditulis sebagai

${\displaystyle \omega =\sum _{i}d{\xi }_i\wedge d{x}_i,}$

dimana${\displaystyle x_i}$ adalah koordinat-koordinat genap, dan${\displaystyle {\xi }_i}$ adalah koordinat-koordinat ganjil. (Sebuah bentuk simplektis ganjil jangan bingung dengan sebuahbentuk simplektis genap Grassmann pada sebuah supermanifold. Sebaliknya, versi Darboux dari sebuah bentuk simplektis genap adalah

${\displaystyle \sum _{i}d{p}_i\wedge d{q}_i+\sum _j\frac{{\epsilon }_j}{2}(d{\xi }_j{)}^2,}$

dimana${\displaystyle p_i,q_i}$ adalah koordinat-koordinat genap,${\displaystyle {\xi }_i}$ adalah koordinat-koordinat ganjil dan${\displaystyle {\epsilon }_j}$ adalah${\displaystyle +1}$ atau${\displaystyle -1}$.)

Diberikan 2-bentuk simplektis ganjil${\displaystyle \omega }$ didefinisikankurung Poisson dikenal sebagaiantikurung dari dua fungsi${\displaystyle F}$ dan${\displaystyle G}$ pada sebuah supermanifold oleh

${\displaystyle \{F,G\}=\frac{{\mathrm{\partial }}_{r}F}{\mathrm{\partial }{z}^i}{\omega }^{ij}(z)\frac{{\mathrm{\partial }}_{l}G}{\mathrm{\partial }{z}^j}.}$

Disini${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_r}$ dan${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_l}$ adalahturunan kanan dan kiri masing-masing dan${\displaystyle z}$ adalah koordinat-koordinat dari supermanifold. Dilengkapi dengan tanda kurung ini, aljabar dari fungsi pada supermanifold menjadi sebuahaljabar antikurung.

Sebuahtransformasi koordinat bahwa mempertahankan antikurung disebuttransformasi-P. JikaBerezinian dari transformasi-P.sama dengan satu maka itu disebut transformasi-SP.

Menggunakanteorema Darboux untuk bentuk simplektis ganjil bisa menunjukkan bahwa manifold-P dibangun untuk himpunan terbuka dari superruang${\displaystyle {\mathcal{R}}^{n|n}}$ direkatkan bersama oleh transformasi-P. Manifold dikatakanmanifold-SP jika fungsi transisi ini bisa dipilih menjadi transformasi-SP. Dengan jelas, salah satu mendefinisikan manifold-SP sebagai supermanifold dengan 2-bentuk ganjil non-degenerasi${\displaystyle \omega }$ danfungsi densitas${\displaystyle \rho }$ yang setiap pengatur koordinat adakoordinat Darboux dimana${\displaystyle \rho }$ secara identik sama dengan satu.

Salah satunya mungkin mendefinisikanoperator Laplacian dari manifold-SP sebagai operator yang mengambil fungsi${\displaystyle H}$ ke satu setengahdivergensi dari lapangan vektor Hamiltonian yang sesuai. Secara eksplisit salah satunya mendefinisikan

${\displaystyle \mathrm{\Delta }H=\frac{1}{2\rho }\frac{{\mathrm{\partial }}_r}{\mathrm{\partial }{z}^a}\left(\rho {\omega }^{ij}(z)\frac{{\mathrm{\partial }}_{l}H}{\mathrm{\partial }{z}^j}\right)}$.

Dalam koordinat Darboux definisi ini diturunkan menjadi

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=\frac{{\mathrm{\partial }}_r}{\mathrm{\partial }{x}^a}\frac{{\mathrm{\partial }}_l}{\mathrm{\partial }{\theta }_a}}$

dimana${\displaystyle x^a}$ dan${\displaystyle {\theta }_a}$ adalah koordinat genap dan ganjil yang dimana

${\displaystyle \omega =d{x}^a\wedge d{\theta }_a}$.

Laplacian adalah nol dan nilpoten

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^2=0}$.

Salah satunya mendefinisikankohomologi dari fungsi${\displaystyle H}$ terhadap Laplacian. DalamGeometry dari kuantisasi Batalin-Vikovisky,Albert Schwarz telah membuktikan bahwa integral dari sebuah fungsi${\displaystyle H}$ melalui submanifold Lagrangian${\displaystyle L}$ yang bergantung hanya pada kelas kohomologi dari${\displaystyle H}$ dan pada kelashomologi dari bagian dari${\displaystyle L}$ dalam bagian dari supermanifold sekelilingnya.

Struktur sebelum SUSI pada sebuah supermanifold dari dimensi${\displaystyle (n,m)}$ adalah distribusi dimensi-${\displaystyle m}$ ganjil${\displaystyle P\subset TM}$. Dengan seperti distribusi salah satu mengaitkan tensor Frobenius${\displaystyle S^{2}P\mapsto TM/P}$ (ketika${\displaystyle P}$ ganjil, simetris miring tensor Frobenius adalah sebuah operator simetris). Jika tensor ini nondegenerasi, misalnya terletak di lintasan terbuka dari${\displaystyle GL(P)\times GL\left(\frac{TM}{P}\right)}$,${\displaystyle M}$ disebutmanfiold-SUSI. struktur SUSI dalam dimensi${\displaystyle (1,k)}$ sama denganstruktur kontak.

• Superruang
• Supersimetri
• Supergeometri
• Manifold bertingkat
• Formalisme Batalin-Vilkovisky

• Joseph Bernstein, "Lectures on Supersymmetry (notes by Dennis Gaitsgory)",Quantum Field Theory program at IAS: Fall Term
• A. Schwarz, "Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization", ArXiv hep-th/9205088
• C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez,The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991)ISBN0-7923-1440-9
• L. Mangiarotti, G. Sardanashvily,Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000)ISBN981-02-2013-8 (arXiv:0910.0092)

• Super manifolds: an incomplete survey at the Manifold Atlas.

• Fisika matematis
• Struktur manifold
• Manifold yang digeneralisasikan
• Supersimetris

• Artikel yang dimintakan pemeriksaan atas penerjemahannya
• Artikel yang perlu diperiksa terjemahannya Oktober 2022
• Artikel yang diterjemahkan secara kasar