Artikel ini membutuhkanrujukan tambahan agar kualitasnyadapatdipastikan. Mohon bantu kamimengembangkan artikel ini dengan caramenambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus. Cari sumber: "Sifat pembatalan" – berita ·surat kabar ·buku ·cendekiawan ·JSTOR(Desember 2009)

Dalammatematika, pengertian daripembatal adalah perampatan dari gagasanterbalikkan.

Sifat-sifat diantaranya adalah:

• Unsur${\displaystyle a}$ dalammagma${\displaystyle (M,\ast )}$ memilikisifat pembatalan ruas kiri jika untuk semua${\displaystyle b}$ dan${\displaystyle c}$ pada${\displaystyle M}$,${\displaystyle a\ast b=a\ast c}$ selalu menyiratkan bahwa${\displaystyle b=c}$.
• Unsur${\displaystyle a}$ pada magma${\displaystyle (M,\ast )}$ memilikisifat pembatalan ruas kanan jika untuk semua${\displaystyle b}$ dan${\displaystyle c}$ pada${\displaystyle M}$,${\displaystyle b\ast a=c\ast a}$ selalu menyiratkan${\displaystyle b=c}$.
• Unsur${\displaystyle a}$ dalam magma${\displaystyle (M,\ast )}$ memilikisifat pembatalan kedua ruas jika keduanya adalah pembatalan ruas kiri dan ruas kanan.
• Magma${\displaystyle (M,\ast )}$ memiliki sifat pembatalan kiri jika semua${\displaystyle a}$ di magma adalah sifat membatalkan ruas kiri, dan definisi serupa berlaku untuk sifat membatalkan ruas kanan atau sifat membatalkan kedua ruas.
• Unsur terbalikkan ruas kiri adalah pembatalan kiri, dan ini sejalan untuk ruas kanan dan kedua ruas.

Contoh mengenai sifat pembatalan, ialah: setiapkuasigrup, dan dengan demikian setiapgrup, bersifat membatalkan.

Untuk mengatakan bahwa unsur${\displaystyle a}$ dalam magma${\displaystyle (M,\ast )}$ adalah pembatal-kiri, artinya fungsinya${\displaystyle g:x\mapsto a\ast x}$ adalahinjektif.^[1] Bahwa fungsi${\displaystyle g}$ adalah injeksi menyiratkan bahwa diberikan beberapa persamaan bentuk${\displaystyle a\ast x=b}$, di mana satu-satunya yang tidak diketahui adalah${\displaystyle x}$, hanya ada satu kemungkinan nilai${\displaystyle x}$ memenuhi persamaan. Lebih tepatnya, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi${\displaystyle f}$, kebalikan dari${\displaystyle g}$, sehingga untuk semua${\displaystyle x}$,${\displaystyle f(g(x))=f(a\ast x)=x}$. Dengan kata lain, untuk semua${\displaystyle x}$ dan${\displaystyle y}$ pada${\displaystyle M}$, jika${\displaystyle a\ast x=a\ast y}$, maka${\displaystyle x=y}$.^[2]

Bilangan bulat positif (sama-sama taknegatif) membentuk sebuah pembatalsemigrup terhadap penambahan. Bilangan bulat taknegatif membentuk pembatalanmonoid di bawah penambahan.

Faktanya, semigrup atau monoid bebas mana pun mematuhi hukum pembatalan, dan secara umum, suatu semigrup atau monoid yang membenamkan ke dalam grup (seperti yang dengan jelas ditunjukkan dalam contoh di atas) akan mematuhi hukum pembatalan.

Dalam nada yang berbeda, (subgrup dari) semigrup perkalian unsur darigelanggang yang bukan pembagi nol (yang hanya merupakan himpunan dari semua unsur bukan nol jika cincin yang dimaksud adalahranah, seperti bilangan bulat) memiliki sifat pembatalan. Perhatikan bahwa ini tetap valid.

Meskipun hukum pembatalan berlaku untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagianbilangan real danbilangan kompleks (dengan pengecualian tunggal perkalian dengannol dan pembagian nol dengan bilangan lain), ada sejumlah struktur aljabar di mana hukum pembatalan tidak sah.

Perkalian silang dari dua vektor tidak mematuhi hukum pembatalan. Jika${\displaystyle \mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times \mathbf{c}}$, maka ini tidak mengikuti bahwa${\displaystyle \mathbf{b}=\mathbf{c}}$ bahkan jika${\displaystyle \mathbf{a}\ne 0}$.

Perkalian matriks juga tidak selalu mematuhi hukum pembatalan. Jika${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{C}}$ dan${\displaystyle \mathbf{A}\ne 0}$, maka salah satunya harus menunjukkan bahwa matriks${\displaystyle \mathbf{A}}$terbalikkan (yaitu memiliki${\displaystyle det(\mathbf{A})\ne 0}$, dimana${\displaystyle det}$ berartideterminan) sebelum salah satunya dapat menyimpulkan${\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{C}}$. Jika${\displaystyle det(\mathbf{A})=0}$, maka${\displaystyle \mathbf{B}}$ mungkin tidak sama dengan${\displaystyle \mathbf{C}}$, karenamatriks persamaan${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B}}$ tidak akan memiliki penyelesaian tunggal untuk matriks${\displaystyle \mathbf{A}}$ takterbalikkan.

Perhatikan juga bahwa jika${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{C}\mathbf{A}}$ dan${\displaystyle \mathbf{A}\ne 0}$ dan matriks${\displaystyle \mathbf{A}}$ adalah terbalikkan (yaitu memiliki${\displaystyle det(\mathbf{A})\ne 0}$), itu belum tentu benar${\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{C}}$. Pembatalan hanya bekerja untuk persamaan${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{C}}$ dan${\displaystyle \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{C}\mathbf{A}}$ (asalkan matriks itu${\displaystyle \mathbf{A}}$ adalahterbalikkan) dan bukan untuk persamaan${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{C}\mathbf{A}}$ dan${\displaystyle \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{C}}$.

• Grup Grothendieck
• Unsur terbalikkan
• Semigrup pembatalan
• Ranah integral

• Aljabar takasosiatif
• Sifat operasi biner
• Sifat unsur aljabar

• Semua artikel yang membutuhkan referensi tambahan
• Artikel yang membutuhkan referensi tambahan Desember 2022